微积分习题库.doc

习题1—2
1．确定下列函数的定义域：
（1）； （2）； （3）；
（4）；（5）
2．求函数

的定义域和值域。
3．下列各题中，函数和是否相同？
（1）； （2）；
（3）； （4）。
4．设证明：

5．设且，试确定的值。
6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？
（1） （2）； （3）；
（4）； （5） （6）。
7．设为定义在上的任意函数，证明：
（1） 偶函数； （2）为奇函数。
8．证明：定义在上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。
9．设 定义在上的奇函数，若在上单增，证明：在上也单增。
10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：
（1） （2）； （3）；
（4）； （5） （6）。
11．下列各组函数中哪些不能构成复合函数？把能构成复合函数的写成复合函数，并指出其定义域。
（1） （2）； （3）；
（4） （5） （6）。
12．下列函数是由哪些简单函数复合而成的？
（1） （2）；
（3） （4）。
13．求下列函数的反函数：
（1）； （2）； （3）。

习题1—3
1．利用数列极限定义证明：如果，则，并举例说明反之不然。

习题1—4
1．设
（1）作函数的图形； （2）根据图形求极限与；
（3）当时，有极限吗？
2．求下列函数极限：
（1）； （2）； （3）。
3．下列极限是否存在？为什么？
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）。

习题1—5
求下列极限
1．； 2. ； 3. ；
4．； 5. ； 6. 。

习题1—6
1．求下列极限：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）；
（7）； （8）； （9）；
（10）； （11）； （12）。
2．利用极限存在准则证明：
（1）；
（2）数列，…的极限存在；
（3）。

习题1—7
1．当无限增加时，下列整标函数哪些是无穷小？
（1）； （2）； （3）； （4）。
2．已知函数

（1）当时，上述各函数中哪些是无穷小？哪些是无穷大？
（2）当时，上述各函数中哪些是无穷小？哪些是无穷大？
（3）“是无穷小”，这种说法确切吗？
3．函数在是是否有界？又当地，这个函数是否为无穷大？为什么？
4．求下列极限
（1）； （2）； （3） ；
（4）； （5）； （6）；
5．求下列极限：
（1）； （2）； ；；；（3）；
（4）； （5）； （6）。
6．下列各题的做法是否正确？为什么？
（1）
（2）
（3）。
7．证明：当时，，。
8．利用等价无穷小的性质，求下极限：
（1）； （2）；
（3）（为正整数）；（4）。
9．当时，是是多少阶无穷小？
10．当时，是是多少阶无穷小？
11．当时，是是多少阶无穷小？

习题1—8
1．研究下列函数的连续性，并画出函数的图形：
（1）； （2）；
（3）； （4）。
2．指出下列函数的间断点，说明这些间断点属于哪一类？如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续。
（1）； （2）； （3）。
3．为何值时函数在[0，2]上连续？
4．讨论函数的连续性，若有间断点，判断共类型。

习题1—9
1．设连续，证明也是连续的。
2．若在上连续，且在上恒为正，证明：在上迹连续。
3．求下列极限：

（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）；
（7）； （8）； （9）；
（10）； （11）
（12）。

习题1—10
1．证明：方程在区间（1，2）上至少有一个根。
2．设在闭区间[a，b]上连续，是[a，b]内的个点，证明：，使得

习题2—1
1．用导数定义求下列函数的导数：
（1） （是常数）； （2）； （3）。
2．下列各题中假定存在，按照导数定义观察下列极限，指出表示什么？
（1）； （2），其中，；
（3）。
3．利用幂函数求导数公式，求下列函数的导数：
（1）； （2）；
（3）； （4）。
4．已知函数，求。
5．已知函数，求。
6．自由落体运动（g=9.8米/秒2）。
（1）求在从秒到（）秒时间区间内运动的平均速度，设秒，秒，0.001秒；
（2）求落体在5秒末的瞬时速度；
（3）求落体在任意时刻的瞬时速度。
7．函数在某点没有导数，函数所表示的曲线在该点是不是就没有切线？举例说明。
8．设函数为了使函数在处连续可导，，应取什么值？
9．求曲线在及处的切线斜率。
10．求曲线上取横坐标为及的两点，作过这两点的割线。问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？
12．证明函数数在处连续，但不可导。
13．函数在处的导数是否存在，为什么？
14．讨论下列函数在指定点处的连续性与可导性：
（1）在点处；
（2）在点处；
（3）在点处。

习题2—2
1．求下列函数的导数：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）；
（7）； （8）； （9）。
2．求下列函数在指定点处的导数：
（1），求，；
（2），求。
3．求下列函数的导数（其中，是自变量，是大于零的常数）：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）；
（7）；（8）； （9）；
（10）； （11）； （12）；
（13）； （14）； （15）；
（16）； （17） （18）；
（19）； （20）； （21）；
（22）； （23）； （24）；
（25） （26）； （27）；
（28）； （29）；（30）；
（31）；（32）；（33）；
（34）； （35）； （36）；
（37）； （38） （39）。
4．求与曲线相切且通过点（1，2）的直线方程。
5．求曲线的平行于直线的法线方程。
6．抛物线上哪一点的切线与直线交成45°角。
7．求过曲线上横坐标的点处的法线方程，并求从原点到该法线的距离。
8．设对可导，求：
（1）； （2）；
（3） （4）。

习题2—3
1．求下列函数的二阶导数：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）；
（7）； （8）；（9）。
2．验证函数是常数）满足关系式。
3．验证函数满足关系式。
4．求下列函数的高阶导数：
（1），求； （2），求。
5．若存在，求下列函数的二阶导数：
（1） （2）； （3）。
6．试从导出。

习题2—4
1．求下列方程所确定的隐函数的导数：
（1）； （2）； （3）；
（4） （5）； （6）。
2．利用对数求导法求下列函数的导数：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）。
3．求圆过点（2，1）的切线方程。
4．设，求。
5．设，求。
6．已知， 求 。
7．已知星形线， 求 。
8．已知摆线，求 。
9．求下列曲线在给定点处的切线和法线方程：
（1），在处； （2），在处。
10．已知质点运动方程为
（1）求质点出发时所在的位置；
（2）秒时的水平与铅直方向的速度；
（3）求水平方向加速度与铅直方向加速度。
11．验证参量方程，
所确定的函数满足关系式
。
12．一架直升机离开地面时，距离一观察者120米，它以40米/秒的速度垂直上飞，求起飞后15秒时，飞机飞离观察者的速度？
13．将水注入深8米、上顶直径8米的正圆锥形容器中，其速率每分钟4立方米，当水深为5米时，其表面上升的速度为多少？
14．有一长为5米的梯子，靠在墙上，若它的下端沿地板以3米/秒的速度离开墙脚滑动，问：
（1）当其下端离开墙脚多少米，梯子的上、下端滑动的速率相同？
（2）它的下端离开墙脚1.4米时，梯子上端下滑的速率是多少？
（3）何时它的上端下滑的速率为4米/秒？

习题2—5
1．求下列函数的微分
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）；
2．求下列函数在指定点的微分：
（1），在和时；
（2），在和处。
3．求下列函数在指定条件下的微分：
（1）； （2），当从变到时。
4．若函数，
（1）在处，，试计算及；
（2）将点处的微分，增量和在函数图形上标出。
5．填空：
（1）； （2） （3）；
（4）； （5）； （6）
（7）；（8）。

习题3—1
1．验证在上满足Rolle定理的条件，并在上，找出使的。
2．以定义在[1，3]上的函数为例，说明Rolle定理是正确的。
3．已知函数，但在[-1，1]没有导数为零的点，这与Rolle定理是否矛盾？为什么？
4．验证函数在[0，1]上满足Lagrange中值定理的条件，并在区间（0，1）内找出使成立的。
5．当时，对于函数在（，）上能否找到满足有限增量公式的点？这与Lagrange中值定理是否矛盾？
6．不用求出函数的导数，说明方程有几个实根？并指出它们所在的区间。
7．证明恒等式：。
8．若方程有一个正根，证明：方程必有一个小于的正根。
9．若函数在上具有二阶导数，且其中，，证明：在（）上至少有一点，使得。
12．证明下列不等式：
（1）； （2）；
（3）当时，。

习题3—2
1．求下列各题的极限：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）；
（7）；（8）； （9）；
（10）； （11）； （12）。
2．验证存在，但不能用L¢Hospital法则计算。

习题3—3
1．将的多项式表为（）的多项式。
2．应用Maclaurin公式，将函数表示为的多项式。
3．当时，求函数的三阶Taylor公式。
4．当时，求函数的阶Taylor公式，并写出拉格朗日型余项。

习题3—4
1．判定函数的单调性。
2．证明：单调增加。
3．判定函数的单调性。
4．证明：在不含点的任何区间都是单调增加的。
5．求下列函数的单调区间：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）。
6．证明下列不等式：
（1） ； （2）；
（3）； （4）。
7．试证方程只有一个实根。
8．试确定方程的实根个数，并指出这些根所在范围。
9．单调函数的导函数是否必为单调函数？（研究：）

习题3—5
1．求下列函数的极值：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）。
2．求下列函数在指定区间上的最大值和最小值：
（1）， ；
（2） ；

（3）， ；
（4）， ；
（5）， ；
（6）， ；
（7）， 。
3．将8分为两部分，怎样分才使它们的立方之和为最小？
4．设一球的半径为，内接于此球的圆柱体的最高为，问为多大时圆柱的体积最大？
5．过平面上一已知点引一条直线，要使它在二坐标轴上的截距都为正，且它们之和为最小，求此直线的方程。
6．对某个量进行次测量，得到个测量值，试证：当取这上数的算术平均值时，所产生的误差的平方和：为最小。
7．有一杠杆，支点在它的一端，在距支点0.1m处挂一重量为49kg的物体，加力于杠杆的另一端，使杠杆保持水平（图3.5.3），如果杠杆本身每米的重量为5kg，求最省力的杆长？
8．从一块半径为的圆铁片上挖去一个扇形做成一个漏斗（图3.5.4）。问留下的扇形的中心角为多大时，做成的漏斗的容积最大？

习题3—6
1．求下列各函数的凹凸区间及拐点：
（1）； （2） （a为任意正数）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）。
2．问和为何值时，点（1，3）为曲线的拐点？
3．求曲线的拐点。

4．试确定中的的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。

习题3—7
求下列曲线的渐近线：
1．；
2．；
3．；
4．；
5．。

习题3—8
描绘下列函数的图形：
1．。
2．。
3．。
4．。
5．。
6．。

习题3—9
1．求抛物线在顶点处的曲率及曲率半径。
2．计算曲线上点（0，1）处的曲率。
3．求曲线在处的曲率。
4．求曲线在处的曲率。
5．证明曲线在任何一点处的曲率半径为。

习题3—10
1．试证明方程在区间（）内有惟一的实根，并用切线法求这个根的近似值，使误差不超过0.01。
2．求方程的近似根，使误差不超过0.01。

习题4—1
1．定积分的几何意义可否解释为：介于曲线，轴与之间的曲边梯形的面积？
2．设物体沿轴，在变力的作用上，由点移到点，试用定积分概念（积分和式的极限）来表示变力所作的功
3．利用定积分的几何意义，说明下列等式：
（1）； （2）；
（3）； （4）。
4．把下列定积分写成积分和式的极限：
（1）； （2）。
5．根据定积分的性质，说明下列积分哪一个的值较大？
（1）与； （2）与；
（3）与； （4）与。
6．求由 确定的隐函数对的导数。
7．计算下列各导数：
（1）； （2）；
（3）； （4）。
8．计算下列各定积分：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5） （6）；
（7）； （8）设，求。
9．求下列极限
（1）； （2）
10．设，
求在[0，2]上的表达式，并讨论在（0，2）内的连续性。
11．求极限
。

习题4—2
1．求下列不定积分（其中，a，m，n，g为常数）：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）；
（7）； （8）；（9）；
（10）； （11）；（12）；
（13）； （14）； （15）；
（16）；（17）； （18）；
（19）； （20）； （21）。
2．和是否都是的原函数？
3．已知曲线上任意一点的切线的斜率为切点横坐标的二倍，求满足上述条件的所有曲线方程，并求出过点（0，1）的曲线方程。
4．一物体由静止开始运动，经和后的速度是（米/秒），问：
（1）在3秒后物体离开出发点的距离是多少？
（2）物体走完360米需要多少时间？

习题4—3
1．计算下列不定积分：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）；
（7）； （8）； （9）；
（10）； （11）； （12）；
（13）； （14）； （15）；
（16）； （17）； （18）；
（19）； （20）； （21）；
（22）； （23）； （24）；
（25）； （26）； （27）；
（28）； （29）； （30）；
（31）； （32）； （33）；
（34）； （35）； （36）。
2．计算下列定积分
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）；
（7）； （8） （9）；
（10）； （11）； （12）；
（13）； （14）； （15）；
（16）；（17）；（18）。
3．利用函数的奇偶性计算下列积分
（1）； （2）；
（3）； （4）。
4．设为连续函数，证明：
。
5．设在上连续，证明：
。
6．对于任意常数，证明：
。
7．证明：。
8．证明：。
9．证明：。
10．设是以为周期的连续函数，证明：的值与无关。
11．若是连续函数且为奇函数，证明：是偶函数；
若连续函数且为偶函数，证明：是奇函数。

习题4—4
1．计算下列不定积分：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）；
（7）； （8）； （9）；
（10）； （11）；（12）；

（13）； （14）； （15）；
（16）； （17）； （18）；
（19）； （20）；（21）。
2．计算下列定积分：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）；（6）；
（7）； （8）； （9）。

习题4—5
1．求下列不定积分：
（1）； （2）； （3）
（4）；（5）； （6）；
（7）； （8） （9）；
（10）； （11）； （12）；
（13）； （14）； （15）；
（16）； （17）； （18）。
2．用学过的方法求下列不定积分
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）；
（7）； （8）； （9）；
（10）； （11）； （12）；
（13）； （14）； （15）；
（16）； （17）；（18）；
（19）；（20）； （21）；
（22）； （23）； （24）。

习题5—2
1．求由下列各曲线所围图形的面积：
（1）及直线； （2）及直线；
（3）轴与直线；（4）与直线及。
2．求由下列曲线所围图形的面积：
（1）； （2）； （3）。
3．求下列各曲线所围图形的公共部分的面积：
（1）及； （2）及。

习题5—3
1．设曲线与三角直线围成的曲边梯形，求绕轴旋转一周所成的旋转体积。
2．求与围成的图形绕轴旋转所成的旋转体体积。
3．有一铸件，系由抛物线与直线围成的图形绕轴旋转而成的旋转体。试算出其质量（长度单位是10-2m，铸件密度7.8×103kg/m3）。
4．求下列曲线围成的图形沿给定轴旋转产生的旋转体之体积：
（1），，绕轴； （2），绕轴。
5．设有截锥体，高为上、下底为椭圆，椭圆的轴长分别为，和，，求截锥体的体积。
6．计算底面是半径为的圆，而垂直于底而上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的体积（图5.3.5）。

习题5—4
1．计算曲线上相应于的一段弧的长度。
2．计算曲线上相应于的一段弧的长度。
3．求曲线的弧长。
4．计算星形线的全长。
5．计算渐伸线上相应于从0到的一段弧的长度。
6．求对数螺线自到的一段弧长。
7．求曲线自到的一段弧长。
8．求心形线的全长。
9．计算曲线从到的弧长。

习题5—6
1．直径为20厘米，高为80厘米的圆柱体内充满压强为10Newton/厘米2的蒸气，设温度保持不变，要使蒸气体积缩小一半，问需要做多少功?
2．一物体按规律作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，计算物体在由移至时，克服媒质阻力所做的功。
3．洒水车上的水箱是一个横向的椭圆柱体，尺寸如图5.6.5所示，当水箱装满水时，计算水箱的一个端面所受的压力。
4．有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10米和6米，高为20米，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力。
5．一高为5米的圆柱形贮水桶，其底半径为3米，桶内装满了水，问把桶内的水全部吸收需要做多少功?
6．一底为8厘米，高为6厘米的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3厘米，试求它每面所受的压力。
7．边长为和()的矩形薄板，与液面成角斜沉于液体内，长边平行于液面而位于深ｈ处，试求薄板每面所受的压力(假设液体比重为重力加速度为ｇ)。
8．设有长为，线密度为的均匀细棒，在与棒的一端垂直距离为单位处有一质量为的质点，试求细棒对质点的吸引力。
9．设有一半径为R，中心角为的圆弧形细棒，其线密度为常数，在圆心处有一质量为的质点，试求这细棒对质点的引力。

习题5—7
1．一物体以速度（米/秒）作直线运动，算出它在到秒这段时间内的平均速度。
2．求函数在区间上的平均值。

习题6—1
判断下列广义积分的敛散性，如果收敛，则计算广义积分的值。
1．； 2. 。

习题6—2
判别下列广义积分的敛散性，如果收敛，则计算广义积分的值。
1．； 2. ；
3．； 4. ；

习题7—1
1．在空间直角坐标系中，画出下列各点：
。
2．求点关于（1）各坐标面，（2）各坐标轴，（3）坐标原点的对称点的坐标。
3．自点分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标。
4．一边长为的立方体放置在面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在轴和轴上，求它各顶点的坐标。
5．求点到各坐标轴的距离。
6．在面上，求与三个已知点，和等距离的点。
7．证明：以三点，，为顶点的三角形是等腰三角形。

习题7—2
1．设向量与同和轴的夹角相等，而与同的夹角是前者的两倍，求向量的方向余弦。
2．设向量的方向余弦分别满足下列条件，试问这些向量与坐标轴、坐标面的关系如何？
（1）； （2）； （3）
3．分别求出向量及的模，并写出单位向量。
4．设向量，证明两两正交。

习题7—3
1．设为非零向量，问它们分别满足什么条件时，下列等式成立？
（1）； （2）。
2．设，试用表示。
3．在中，设，，分别为，的中点，试用表示向量，，。
4．设，证明：对任意一点，有。
5．已知两点和，用坐标表示式表示向量及。
6．向量的终点的坐标为（2，-1，7），求它的始点A的坐标，并求的模及其方向余弦。
7．已知三力同时作用于一点，求合力的大小和方向余弦。
8．求平行于向量的单位向量。

习题7—4
1．判别下列结论是否成立，为什么？
（1）若，则或；（2）；（3）。
2．设，求
（1）及； （2）的夹角的余弦。
3．设向量和的夹角，又，，试计算。
4．已知为单位向量，且满足，计算。
5．已知向量满足条件，证明。
6．求与及轴都垂直的单位向量，这样的向量共有几个？
7．设质量为100千克的物体从点沿直线移动到，计算重力所作的功（长度单位为米，重力的方向为轴负方向）。
8．已知，计算。
9．已知，问为何值时与互相垂直？
10．已知向量和，计算
（1）； （2）； （3）。
11．已知，求的面积。

习题8—1
1．一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离，求这动点的轨迹方程。
2．动点到点与到点距离的平方和等于常量，求动点轨迹方程。
3．方程表示什么曲面？
4．动点到点（2，0，0）的距离为到点（-4，0，0）的距离的一半，求动点的轨迹方程。

习题8—2
1．平面与平面平行（但不重合）的条件是什么？
2．指出下列平面的特殊位置，并画出各平面：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）
3．求过点（3，0，-1）且与平面平行的平面方程。
4．求过点（2，9，-6）且与连接坐标原点的线段OM垂直的平面方程。
5．求过（1，1，-1），（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程。
6．一平面过轴且与的夹角为，求它的方程。
7．一平面过点（1，0，-1）且平行于向量和，求平面方程。
8．分别按下列条件求平面方程
（1）平行于而且经过点（2，-5，3）；
（2）通过轴和点（-3，1，-2）；
（3）平行于轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）。

习题8—3
1．求点（1，2，1）到平面的距离。
2．求过点（4，-1，3）且平行于直线的直线方程。
3．确定下列各组中的直线和平面间的位置关系：
（1）和； （2）和；
（3）和。
4．求过两点（3，-2，1）和（-1，0，2）的直线方程。
5．用对称式方程及参数方程表示直线。
6．求直线和平面间的夹角。
7．求过点（1，2，-1）且与直线垂直的平面方程。
8．求二直线和的夹角的余弦。
9．直线在平面内吗？
10．求过点（0，2，4）且与两平面和平行的直线方程。
11．求过点（3，1，-2）且通过直线的平面方程。
12．求与直线及都平行且过原点的平面方程。
13．求点（-1，2，0）在平面上的投影。
14．求点（3，-1，2）到直线距离。
15．求直线在平面上的投影直线的方程。

习题9—1
1．指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形？
（1）； （2）； （3）； （4）；
2．指出下列方程在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形？
（1）； （2）
3．将坐标面上的抛物线绕轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。
4．将坐标面上的圆绕轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。
5．将坐标面上的双曲线分别绕轴及轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。

习题9—2
1．画出下列方程所表示的曲面：
（1）； （2）；
（3）； （4）
2．说明下列旋转曲面是怎样形成的？
（1）； （2）
（3）； （4）
3．画出下列方程表示的曲面：
（1）； （2）；
（3）。

习题9—3
1．画出下列曲线在第一卦限内的图形
（1）； （2）；
（3）。
2．分别求母线平行于轴及轴而且通过曲线

的柱面方程。
3．求在平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程（任写出三种不同形式的方程）。
4．将下面曲线的一般方程化为参数方程
（1）； （2）
5．求螺旋线

在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程。
6．求曲线

在面上的投影曲线的方程。
7．指出下列方程所表示的曲线
（1） （2）；
（3）； （4）；
（5）。

习题10—1
1．已知函数，试求。
2．已知函数。试求。
3．求下列各函数的定义域：
（1）；
（2）。
4．函数在何上是间断的？

习题10—2
1．设函数，
（1）求函数在点处的偏增量和全增量；
（2）当从2变到2.1，从2变到1.9时，求与的值各为多少？
2．设，求及
3．设，求。
4．设，求。
5．设，求及。
6．设，当时，求。
7．求下列函数的偏导数
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）；
（7）； （8）； （9）
8．求曲线在点处的切线与纵轴正向所成的角度。
9．求下列函数的全微分：
（1）； （2） （3）
（4）； （5）； （6）；
（7）； （8）； （9）。
10．求下列函数在给定点处的全微分：
（1），（1，1）； （2）。
11．试示当，，，时，函数的全微分及全增量的值。

习题10—3
1．设求。
2．设，求。
3．设，证明
。
4．设，求。
5．设，求。
6．设，其中 可微函数，验证
。
7．设，求。
8．设，求。
9．设，求。
10．设，求。
11．设，求。
12．设，求。
13．设，求。
14．设，，在处，求全导数的值。
15．设，在处，求全导数的值。
16．设，求。
17．设，求。

习题10—4
1．设，求。
2．设，求。
3．设，求。
4．设，求。
5．设，求和。
6．设，求和。
7．设，求和。
8．求由方程所确定的函数的全微分。
9．求由方程组

所确定的隐函数的导数和。
10．地由方程组

所确定的隐函数的偏导数和。

习题10—5
1．求下列函数的二阶偏导数：
（1） （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）。
2．设，验证。
3．设，求，及。
4．设，求。
5．设，求。
6．设，验证。

习题10—6
1．求函数在点（1，2）沿着与轴正向构成60°角的方向导数。
2．求函数在点（1，2）沿着从该点到点（4，6）的方向导数。
3．求函数在点（1，1）沿着第一象限角平分线的方向导数。
4．求函数在点（2，1，3）沿着从该点到点（5，5，15）的方向导数。

习题11—1
1．求曲线在点处的切线及法平面方程。
2．求曲线在点处的切线及法平面方程。
3．求曲线在处的切线及法平面方程。
4．在曲线上求一点，使在该点的切线平行于平面。
5．求曲面在点（2，1，0）处的切平面及法线方程。
6．求曲面在点（3，1，1）处的切平面及法线方程。
7．求曲面在点（2，-3，1）处的切平面及法线方程。

8．求曲面在点（）处的切平面及法线方程。
9．求椭球面上点（-1，-2，3）处的切平面与平面的夹角。

习题11—2
1．求函数的极值。
2．求函数的极值，其中，。
3．求函数的极值。
4．求下列已知函数在指定条件下的极值：
（1），若； （2），若，
（3），若，。
5．从斜边长为的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形。
6．在半径为的半球内求一个体积最大的内接长方体。

习题12—1
1．证明Riemann积分中值定得。

习题12—2
1．求的值，其中，。
2．求的值，其中，。
3．求的值，其中，。
4．求的值，其中，。
5．按照下列指定的区域将二重积分化为累次积分：
（1）所围成的区域；
（2）所围成的区域；
（3）在第一象限中所围成的区域；
（4）所围成的区域；
（5）所围成的区域。
6．改变下列累次积分的积分次序：
（1） （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）。
7．计算下列二重积分：
（1）所围成的区域；
（2）所围成的区域；
（3）所围成的区域；
（4）所围成的区域。
8．把下列直角坐标形式的累次积分变为极坐标形式的累次积分：
（1）； （2）；
（3）。
9．将下列二重积分变成极坐标形式，并计算共值：
（1），为圆所围在第一象限中的区域；
（2），为圆所围在第一象限中的区域；
（3），为圆及直线围成的第一象限内的区域；
（4）。

习题12—3
1．利用下列给出的积分区域，把化为三次积分：
（1）由曲面及平面所围成的区域；
（2）由曲面及所围成的区域。
2．计算下列三重积分：

（1），其中，；
（2），其中，所围成的四面体。
3．利用柱面坐标计算下列三重积分：
（1），其中，：柱面及平面，所围成的区域；
（2），其中，：锥面及平面所围成的区域。
4．利用球面坐标计算下列三重积分：
（1），其中，：半球面（）及平面所围成的区域；
（2），其中，：球面围成的区域。
5．适当选择坐标计算下列三重积分：
（1），其中，：柱面及平原所围成的在第一卦限内的区域；
（2），其中，：球面所围成的区域。

习题12—4
1．求锥面被柱面所截下部分的曲面面积。
2．求球面为平面所夹部分的曲面面积。
3．计算平面被三个坐标面所割出部分的面积。
4．求直线上，由至的一段线段绕轴旋转所得的旋转曲面的面积。
5．求抛物柱面及平面所围成的物体（密度为1）的质量。
6．求由球面围成的，密度为的球面的质量。
7．求旋转抛物面及平面所围成的物体的质量（密度为）。
8．求由圆锥面与平面所围立体的重心（密度）。
9．求由旋转抛物面与平面所围立体的重心（密度）。
10．求半径为，高为，密度的均匀圆柱体，绕过中心而平行于母线的轴的转动惯量。
11．求半径为，高为，密度的均匀圆柱体，绕过中心而垂直于母线的轴转动时的转动惯量。
12．一个物体是由两个半径各为和的同心球面围成的，已知材料的密度与到球心的距离成反比，且在距离等于1处时，密度为，求物体的全部质量。
13．球面上任一点的密度在数量上等于此点到坐标原点的距离的平方，试求球体的重心。

习题12—5
1．求，其中，是点（0，-2）到点（4，0）的直线段。
2．求，其中，是由所围成的矩形路线。
3．求，其中，为圆周。
4．求，其中，为曲线。
5．求，其中，为以为顶点的三角形的边。
6．求，其中，为抛物线由点到点的一段弧。
7．求，其中，为有界的螺线。
8．求，其中，为螺线。

习题12—6
1．求，其中，为抛物面，在平面上的部分，分别如下：
（1）； （2）； （3）。
2．求，其中，为平面=1在第一卦限中的部分。
3．求，其中，为平面及三个坐标所围成的四面体的表面。
4．求，其中，为上半球面。

习题13—1
1．求曲线上的点，使该点的切线平行于平面。
2．求曲线在处的切线和法平面方程。
3．已知，其中，均为常向量，求函数。
4．一质点以常角速度在圆周上运动，其中为圆函数。证明其加速度为
，
其中，为速度的模。
5．设，求。

习题13—2
1．指出下列数量场所在的空间区域，并指出其等值面：
（1）； （2）。
2．求数量场经过点的等值面方程。
3．求数量场对应于的等值面，其中，
。

习题13—3
1．求，其中，是抛物线上从点（0，0）到点（2，4）的一段弧。
2．求，其中，是由直线围成的按逆时针方向绕行的矩形回路。
3．求，沿曲线：
（1）； （2）； （3）； （4）。
4．求，其中，为圆周由到的弧段。
5．求，其中，为曲线上从到的曲线弧段。
6．求，其中，为曲线上从到的曲线弧段。
7．求，其中，是从点（1，1，1）到点（2，3，4）的直线段。
8．把第二类曲线积分化成第一类曲线积分，其中，为沿抛物线从点（0，0）到点（1，1）的曲线弧段。
9．把第二类曲线积分化为第一类曲线积分，其中，为曲线上相应于从0变到1的曲线弧段。

习题13—4
1．应用Green公式将曲线积分

化为边界线所围成区域上的二重积分，其中，依逆时针方向，且域不包含原点。
2．应用Green公式计算曲线积分
，
其中，为按逆时针方向绕椭圆一周的路径。
3．计算曲线积分
，
其中，为由点到点的上半圆周。
4．利用曲线积分计算星形线所围成的图形的面积。
5．验证沿分段光滑的任意闭路的曲线积分
，
其中，为连续函数。
6．验证沿分段光滑的任意闭路的曲线积分
，
其中，关于中间变量有一阶连续偏导数。
7．证明只与的起止点有关而与所取的路径无关，其中，不经过轴，并求曲线积分

的值。
8．证明只与的起止点有关而与所取的路径无关，并求曲线积分

的值。
9．力在坐标轴上的投影为，由该力构成力场，证明质点在此场内移动时，场力所做的功与路径无关。
10．设在半平面中有力构成力场，其中为常数，。证明在此力场中力所做的功与所取路径无关，而只与起止点有关。
11．验证下列在整个平面内是某一函数的全微分，并求出这样的一个函数：
（1）； （2）；
（3）；
（4）；
（5）。

习题13—5
1．计算，其中，为椭球面的部分，取椭球面的外侧为正。
2．计算，其中，为球面的下半部的下侧。
3．计算，其中，为三个坐标面及平面，，围成的正方体表面的外侧。
4．把第二类曲面积分化为第一类曲面积分：
（1）是平面在第一卦限的部分的上侧；
（2）是抛物面在平面上方的部分的上侧。

习题13—6
1．应用Stokes公式计算下列曲线积分：
（1），其中，为椭圆 ，若从轴正向看去时，该椭圆取逆时针方向；
（2），其中，是圆周，若从轴正向看去，取逆时针方向。
2．应用O—G公式计算下列曲面积分：
（1），其中，是由平面及三个坐标面围成的正方体表面外侧；
（2），其中，为球面的外侧；
（3），其中，为球面的外侧。

习题13—7
1．直接应用方向导数公式和作为梯度在该方向上的投影这两种方