快速傅里叶变换实验.docx

2011010541机14 林志杭
一、实验目的
1．加深对几个特殊概念的理解：“采样”……“混叠”；“窗函数”（截断）……“泄漏”；
“非整周期截取”……“栅栏”。
2．加深理解如何才能避免“混叠”，减少“泄漏”，防止“栅栏”的方法和措施以及估计这些因素对频谱的影响。
3．对利用通用微型计算机及相应的FFT软件，实现频谱分析有一个初步的了解。
二、实验原理
为了实现信号的数字化处理，利用计算机进行频谱分析――计算信号的频谱。由于计算机只能进行有限的离散计算（即DFT），因此就要对连续的模拟信号进行采样和截断。而这两个处理过程可能引起信号频谱的畸变，从而使DFT的计算结果与信号的实际频谱有误差。有时由于采样和截断的处理不当，使计算出来的频谱完全失真。因此在时域处理信号时要格外小心。
时域采样频率过低，将引起频域的“混叠”。为了避免产生“混叠”，要求时域采样时必须满足采样定理，即：采样频率fs必须大于信号中最高频率fc的2倍（fs＞2fc）。因此在信号数字处理中，为避免混叠，依不同的信号选择合适的采样频率将是十分重要的。
频域的“泄漏”是由时域的截断引起的。时域的截断使频域中本来集中的能量向它的邻域扩散（如由一个δ（f）变成一个sinc（f），而泄漏的旁瓣将影响其它谱线的数值。时域截断还会引起“栅栏效应”，对周期信号而言，它是由于截断长度不等于周期信号的周期的整数倍而引起的。因此避免“栅栏”效应的办法就是整周期截断。
综上所述，在信号数字化处理中应十分注意以下几点：
1．为了避免“混叠”，要求在采样时必须满足采样定理。
为了减少“泄漏”，应适当增加截断长度和选择合适的窗
对信号进行整周期截取，则能消除“栅栏数应”。
增加截断长度，则可提高频率分辨率。
三、预习内容
熟悉Matlab语言、函数和使用方法；利用Matlab所提供的FFT函数编写程序。
四、实验内容及步骤
调通所编写的程序，对下列信号〔函数〕进行离散FFT变换，根据题目的要求……FFT变换点数〔截断长度〕及采样频率，计算各点的傅里叶变换值，画出频谱图，对典型的谱线标出其幅值及相角。
（－）内容：
1．
代码：
N=input('N=');
n=input('n=');
t=1:1:N;
w=2*pi;
x1=sin(w*(t-1)/n+pi/6)+sin(2*w*(t-1)/n)+cos(3*w*(t-1)/n);
y=fft(x1);
y=fftshift(y);
an=angle(y)/pi*180;
y=abs(y)/N;
figure(1);
bar(t,y,0.3);
grid on;
以下类似
（1）采样频率fs=8 f0，截断长度N＝16
幅频谱

相频谱

①最高频率为3，采样频率为8，满足采样定理。采样点数N=16，分辨率：。关注频率为正负1、2、3倍频
（2）fs=8 f0，N＝32
幅频谱

相频谱

①最高频率为3，采样频率为8，满足采样定理。采样点数N=32，分辨率：。关注频率为正负1、2、3倍频
②由上述分析可见，两种采样均满足采样定理，不出现混叠。
③以上截取方式相当于添加了矩形窗函数，理论上存在泄漏效应但由于均为整周期截取（2倍及4倍原函数周期），故没有出现现泄露现象。
④由于整周期截取，未产生栅栏效应。
⑤误差分析：
明显关注频率为正负1、2、3倍频，理论上分解的幅值及相角与做FFT得到的值一样，幅值误差及相角误差均为零。
2．
（1）fs=8 f0，N＝16
幅频谱

相频谱

①最高频率为11，采样频率为8，不满足采样定理。采样点数N=16，分辨率：。关注频率为正负1、11倍频
（2）fs=32 f0，N＝32
幅频谱

相频谱

①最高频率为11，采样频率为32，满足采样定理。采样点数N=32，分辨率：。关注频率为正负1、11倍频
②（1）中采样不满足采样定理，正负11倍频未取到，在正负3倍频处出现混叠，要消除混叠则可以增加采样频率。（2）中采样满足采样定理，未出现混叠。
③以上截取方式相当于添加了矩形窗函数，理论上存在泄漏效应但由于均为整周期截取（2倍及1倍原函数周期），故没有出现泄露现象。
④由于整周期截取，未产生栅栏效应。
⑤误差分析：

明显关注频率为正负1、11倍频，理论上分解的幅值及相角与做FFT得到的值比较：（1）中采样正负1倍频的幅值相角均无误差，但由于未采到正负11倍频，故误差为100％ 。（2）中采样的幅值及相角误差均为0。
3．
（1）fs=8 f0，N＝16
幅频谱

相频谱

①最高频率为，采样频率为8，满足采样定理。采样点数N=16，分辨率：。关注频率为倍频
（2）fs=32 f0，N＝32
幅频谱

相频谱

①最高频率为，采样频率为32，满足采样定理。采样点数N=32，分辨率：关注频率为倍频
②由上述分析可见，2种采样均满足采样定理，未出现混叠。
③以上截取方式相当于添加了矩形窗函数，理论上存在泄漏效应，由于均未整周期截取，故出现了泄露现象。除两条幅值较大的谱线外，还出现了一些幅值较小的谱线。且由于（2）中窗宽度更小，泄露更加明显。
④由于非整周期截取，产生了栅栏效应，频谱图中只有整周期频率而无。且（2）中分辨率较低，相对（1）栅栏效应更明显。要减少泄露效应，可以采用其他类型的窗函数，或将截断长度调整为整周期。要避免栅栏效应，可以将截断长度调整为整周期。然而由于该种x(t)中频率为无理数，难以做到整周期截断，因此不能完全避免泄露和栅栏效应。
⑤误差分析：

明显关注频率为倍频，理论上分解的幅值及相角与做FFT得到的值比较：实际所求并没有理论的频率，故用3倍频来近似。
理论、实际的幅值和相角分别为：
（1）中：1、，0deg、57deg，
（2）中：1、2，0deg、27.7deg
故误差：
（1）中：
（2）中：
4．
对信号加窗（Hanning Window）
（1）fs=8 f0，N＝16
幅频谱

相频谱

①最高频率为，采样频率为8，满足采样定理。采样点数N=16，分辨率：。关注频率为倍频
（2）fs=32 f0，N＝32
幅频谱

相频谱

①最高频率为，采样频率为32，满足采样定理。采样点数N=32，分辨率：。关注频率为倍频
②2种采样均满足采样定理，未出现混叠。
③以上方式相当于添加了汉宁窗函数，理论上存在泄漏效应且由于均未整周期截取，故出现了泄露现象。除两条幅值较大的谱线外，还出现了一些幅值较小的谱线。且由于（2）中窗宽度更小，泄露更加明显。要减少泄露效应，可以采用其他类型的窗函数，或将截断长度调整为整周期。
④由于非整周期截取，产生了栅栏效应，频谱图中只有整周期频率而无。且（2）中分辨率较低，相对（1）栅栏效应更明显。要避免栅栏效应，可以将截断长度调整为整周期。然而由于该种x(t)中频率为无理数，难以做到整周期截断，因此不能完全避免泄露和栅栏效应。
⑤误差分析：
明显关注频率为倍频，理论上分解的幅值及相角与做FFT得到的值比较：实际所求并没有理论的频率，故用3倍频来近似。
理论、实际的幅值和相角分别为：
（1）中：1、0.422，0deg、deg，
（2）中：1、2，0deg、
故误差：
（1）中：
（2）中：
可见：在为按整周期截取时，采用汉宁窗函数所得到的结果相对矩形窗并没有得到改善。
5．
（1）fs=8 f0，N＝16
幅频谱

相频谱

①最高频率为，采样频率为8，满足采样定理。采样点数N=16，分辨率：
（2）fs=32 f0，N＝32
幅频谱
相频谱

①最高频率为，采样频率为32，满足采样定理。采样点数N=32，分辨率：。
②2种采样均满足采样定理，未出现混叠。
③以上截取方式相当于添加了矩形窗函数，理论上存在泄漏效应且由于均未整周期截取，故出现了泄露现象。除两条幅值较大的谱线外，还出现了一些幅值较小的谱线。
④由于非整周期截取，产生了栅栏效应。要减少泄露效应，可以采用其他类型的窗函数，或将截断长度调整为整周期。要避免栅栏效应，可以将截断长度调整为整周期。且由于该种
x(t)中频率为有理数，易做到整周期截断，因此可完全避免泄露和栅栏效应。
⑤误差分析：

可见关注频率为倍频，实际所求并没有理论的频率，故用1倍频近似。
理论、实际的幅值和相角分别为：
（1）中：1、，-60deg、-deg，
（2）中：1、，-60deg、-deg故误差：
（1）中：
（2）中：
由于截断长度虽不是整周期但比较接近，故幅值误差不大，但相角误差较大。
（一） 典型函数FFT变换（重排FFT结果，使DC在谱图中间。）
1、 对不同占空比方波信号FFT分析（均取每周期点数200，总点数400，依照实验指导书生成方波。）
从上到下依次为：方波信号、幅频信号、相频信号。
（1） 占空比3％

（2） 占空比6％

（3） 占空比9％

（4） 占空比20％

（5） 占空比40％

（6） 占空比60％

（7） 占空比80％

（8） 占空比90％

分析：由以上占空比不同的方波的频谱图可见，在占空比50%以下，随着占空比的增大，幅值较大的特征频率向低频集中。在占空比50%以下，可以发现方波占空比越大，低频分量越多的特点。而相角则无明显的变化规律。由此推断得到：当占空比为100％（常数信号）时，能量全部集中在DC分量上（delta函数），而当占空比为0（单位脉冲信号）时，能量均匀分布在各个频率上（常数），两种极端的情况都符合前述变化规律。
2、 用伪随机模仿白噪声信号进行FFT分析
伪随机信号：

幅频图：

相频图:

明显能量几乎完全集中在频率为0（DC分量）上，所以伪随机信号的频谱图具有随机信号的特征。利用该特点，可以利用伪随机信号生成随机数或者其他有用的随机信号，便于进行工程应用。
（二） 实际信号频谱分析
1、 电风扇振动信号分析
采样频率128Hz，采样点数为512。为提高频谱分辨率做128点的FFT（截断长度128）。为了减小外界干扰带来的误差，将采样点数分为4组（按点号1～128、129～256、257～384、385～512分），分别求得每组数据的FFT以后求平均，即可得到较为准确的频谱图。分析振动时，一般只考虑幅值（能量）大小，而不考虑相角，故只做出幅频图即可。
（1） 低速
matlab程序：
x1=ls(1:128);
x2=ls(129:256);
x3=ls(257:384);
x4=ls(385:512);
y1=fft(x1);
y1=fftshift(y1);
y1=abs(y1)/128;
y2=fft(x2);
y2=fftshift(y2);
y2=abs(y2)/128;
y3=fft(x3);
y3=fftshift(y3);
y3=abs(y3)/128;
y4=fft(x4);
y4=fftshift(y4);
y4=abs(y4)/128;
y=(y1+y2+y3+y4)/4;
n=1:128;
bar(n,y,0.3);
grid on;
幅频图：

可见幅值较大的特征谱线频率为10Hz、20Hz、30Hz、48Hz，幅值分别为、、、4。
（2） 高速
matlab程序：
x1=hs(1:128);
x2=hs(129:256);
x3=hs(257:384);
x4=hs(385:512);
y1=fft(x1);
y1=fftshift(y1);
y1=abs(y1)/128;
y2=fft(x2);
y2=fftshift(y2);
y2=abs(y2)/128;
y3=fft(x3);
y3=fftshift(y3);
y3=abs(y3)/128;
y4=fft(x4);
y4=fftshift(y4);
y4=abs(y4)/128;
y=(y1+y2+y3+y4)/4;
n=1:128;
bar(n,y,0.3);
grid on;
幅频图：

可见幅值较大的特征谱线频率为14Hz、27Hz、42Hz、48Hz，幅值分别为、、、。
分析以上两种转速下的振动结果可见，不论转速高低，48Hz均出现在特征频率中，与转速无关，说明这部分可能是电风扇机械或电子部件固有的振动频率。而其他的特征频率从低速的10Hz、20Hz、30Hz变为高速时的14Hz、27Hz、42Hz，转速越快，频率越高，说明这些可能和电机、扇叶等旋转部件有关，同时，10,20,30；14,27,42分别为1:2:3.与电风扇的三片叶片有关。分析振幅大小可以得出结论:电扇低速时振动主要产生自本身的固有振动（固有频率下的振动），高速时的振动则主要产生自旋转部件，如电机、扇叶等的振动。