高二数学19圆锥曲线有关的最值问题培优教案.doc

圆锥曲线有关的最值问题一.选择题：1设F，F为双曲线 (00)的两个焦点，过F的直线交双曲线同支于A，B两点，如果，则的周长的最大值是（ ）.（A） （B） （C） （D）2已知连结双曲线与的四个顶点围成的四边形的面积为，连结其四个焦点围成的四边形面积为，则：的最大值是（ ）.（A） （B） （C） （D）3当时，方程所表示的圆的圆心轨迹是曲线C，则曲线C上的点到原点距离的最小值是（ ）.（A）2 （B） （C） （D）4已知点M（1，1），是椭圆的左焦点，P是椭圆上任一点，则+有最小值，最小值为（ ）.（A） （B） （C） （D）5如果实数，满足等式，那么的最大值是（ ）.（A） （B） （C） （D）6以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，椭圆长轴的最小值是（ ）.（A） （B） （C）2 （D）7若点A的坐标为(3,2),F为抛物线的焦点,点P在该抛物线上移动,为使+取得最小值,点P的坐标应为( )(A)（0，0） (B)（1，1） (C)（2，2） (D)（，1）8在圆上，与直线距离最小的点的坐标是（ ）.（A）（） （B）（） （C）（） （D）（）9设点A，F为椭圆的右焦点，点M在该椭圆上移动，当+取最小值时，点M的坐标是（ ）.（A）（0，） （B）（0，） （C）（，） （D）（，）10实数x，y满足，则的最小值是（ ）.（A） （B）（C）-2 （D）-二填空题：11若直线将圆平分，则坐标原点到的距离的最大值为_.12抛物线和圆上最近两点之间的距离为_.13. 设椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一端点与两焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆的最短距离为，则椭圆方程为_.14平面上有两个点A（-1，0），B（1，0），在圆周上取一点P，使+取得最小值，则点P的坐标为_.15.过P（3，0）作圆的割线，则最长弦所在直线方程为_，最短弦所在直线方程为_.16.定长为4的线段AB的两端点在抛物线上移动，则AB的中点M的纵坐标的最小值为_.三解答题：17设一个椭圆的左顶点在抛物线上，长轴长为4，且以y轴为左准线，求椭圆离心率的最大值为_.18. 已知直线：，：，其中a0，a为常数，k为参数.（1）求直线与交点的轨迹，说明是什么曲线，如果是二次曲线，试求出其焦点坐标及离心率.（2）当a0，y1时，求轨迹上的点P（x，y），到点A（0，b）的距离的最小值.19已知点A，B，P（2，4）都在抛物线上，且直线PA，PB的倾斜角互补.（1）证明直线AB的斜率为定值.（2）当直线AB在y轴上截距大于零时，求的面积的最大值.20设圆满足：截y轴所得弦长为2；被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为31，在满足条件，的所有圆中，求圆心到直线l：的距离最小的圆的方程.21在平面上给定一曲线.（1） 设点A的坐标为（，0），求曲线上距点A最近的点P之坐标及相应的距离. （2）设点A的坐标为（a，0），求曲线上点到点A距离之最小值d，并写出的函数表达式.22已知椭圆（ab0）,求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大，并求相应的四边形的顶点坐标.点拨与解答一选择题：1（D）根据双曲线定义知，=+，=+，的周长为+=4+2m4+2m（当且仅当时，等号成立）.2（A）连结双曲线与的四个顶点围成的四边形为菱形，其面积为，连结四个焦点围成的四边形为正方形，其面积为，则（当且仅当a=b时等号成立）.3（D）设圆的圆心为M（x，y），则，消去参数，得点M的轨迹C的方程为：，曲线C为椭圆，其短轴顶点（0，）到原点的距离为曲线C上的点到原点距离的最小值,其值为.4.(B)椭圆右焦点为,则+=+（当且仅当P、M、F三点共线时，等号成立）.5（D）表示以（2，0）为圆心，以为半径的圆（如图1）.设，则为直线的斜率，当直线与圆A相切于B时，取得最大值，即为的最大值.6（D）设为椭圆（abc）上的任意一点，为两焦点，则，当时，取得最大值，（当且仅当时等号成立）.7（C）设点P到准线的距离为（如图2），则，当A、P、Q三点共线时，最小，此时点P的纵坐标为2，解得其横坐标为2，即P（2，2）.8（A）设为圆上一点，其中，P到直线的距离为， 则. 当时取得最小值.此时，点p为（）.9（C）设椭圆的右准线为到的距离为（如图3）根据椭圆的第二定义知，当三点共线时，取得最小值，此时的纵坐标为，解得其横坐标为，即10（A）设则 当且仅当时，等号成立二.填空题：11直线将圆平分，直线过圆心（1，-2）坐标原点到的距离的最大值为原点与圆心的距离12设P为抛物线上任意一点，C（3，0）为圆心，PC交C于Q点（如图4）当最小时，最小 （0），当时， 此时取得最小值13或设为椭圆 （的两个焦点，A为长轴一顶点，B为短轴一顶点（如图5）. 据题意知， 解得 , , ,所求椭圆方程为,若椭圆长轴在轴，则所求椭圆方程为.下面证明为椭圆上点到焦点的最短距离（如图6）.设为椭圆上任意一点，则其中.即.14设圆的参数方程为 ，为圆上任意一点，则=.当且仅当时，等号成立.由，得，P点坐标为，即. 15设圆的圆心为C，则C（4，1）.，点P在圆内.直线PC截圆所得弦为最长弦，过点P垂直于直线PC的直线截圆所得弦为最短弦.直线PC：，直线：.161抛物线的焦点为F（0，1），准线为设到准线的距离为，则（当且仅当A、B、F三点共线时取等号）.2，1，即AB中点M的纵坐标的最小值为1.三解答题：17.设椭圆方程为，则，左准线为，又左准线为，解得.椭圆的左顶点在抛物线上，0，.即椭圆离心率的最大值为.18（1）由 ， 消去参数，得. ，（）当时，方程表示双曲线，其焦点坐标为，离心率为.（）当时，方程表示圆.（）当-1时，方程表示椭圆.当时，焦点坐标为，离心率为,当a0，1时，轨迹为双曲线上半平面一支.设为轨迹上的任一点，则1，0）.（）当1，即时，.（）当，即时，,.19（1）设.点在抛物线上，,解得.抛物线方程为.设PA方程为，则PB的方程为.由 , 得， ，即，即,同理解得.为定值.（2）设直线AB方程为，由 得， ，, 解得，又点P（2，4）到直线AB的距离，.当且仅当，即时，取得最大值.20首先求满足条件，的圆的圆心轨迹方程.设圆心为，圆半径为，则由条件， 得DE=1，为等腰直角三角形（如图7）. ， 消去参数，得. ，即为圆心C的轨迹方程.下面求圆心到直线的距离的最小值.设C（m,n）到l:x-2y=0的距离为d,则, .当且仅当时，等号成立，由，且，解得 或 时，取得最小值，此时. 所求圆方程为或.21（1）设为曲线上任意一点，则.在上单调递增，当时，曲线上距离A最近的点为（0，0）.（2）设为曲线上任意一点，则 （0）.当0，即1时，在时最小，此时，曲线上距A最近的点为）.当，即1时，在时最小，此时，曲线上距A最近的点为（0，0）. ，（1）， ， （.22设所求双曲线方程为.双曲线与椭圆有公共焦点，.解 ， 得到. ，则.根据椭圆和双曲线的对称性，可知以它们的交点为顶点的四边形是矩形，其面积为，.当且仅当，即时，有最大值，此时，.所求双曲线方程为，双曲线与椭圆的四个交点坐标分别为，.