高中数学 模块综合测试(B)北师大版必修5.doc

模块综合测试(B)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如果a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正确的是(　　)
A.＜　　　　　　　　　　 B.＜
C．a2＜b2 D．|a|＞|b|
解析：　如果a＜0，b＞0，那么＜0，＞0，
∴＜.
答案：　A
2．已知两个正数a，b的等差中项为4，则a，b的等比中项的最大值为(　　)
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：　≤＝4，故选B.
答案：　B
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，b＝，B＝120°，则a＝(　　)
A. B．2
C. D.
解析：　由正弦定理，得＝，
∴sin C＝.
又∵C为锐角，则C＝30°，∴A＝30°，
△ABC为等腰三角形，a＝c＝，故选D.
答案：　D
4．在等差数列{an}中，若a4＋a6＝12，Sn是数列{an}的前n项和，则S9的值为(　　)
A．48 B．54
C．60 D．66
解析：　因为a4＋a6＝a1＋a9＝a2＋a8＝a3＋a7＝2a5＝12，
所以S9＝a1＋…＋a9＝54.
答案：　B
5．不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，则a＋b的值是(　　)
A．10 B．－10
C．－14 D．14
解析：　不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，即方程ax2＋bx＋2＝0的解为x＝－或，
故解得
∴a＋b＝－14.
答案：　C
6．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a，则＝(　　)
A．2 B．2
C. D.
解析：　由正弦定理，得sin2Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，即sin B·(sin2A＋cos2A)＝sin A，sin B＝sin A，∴＝＝.
答案：　D
7．已知等差数列{an}的公差d≠0且a1，a3，a9成等比数列，则等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：　因为a＝a1·a9，所以(a1＋2d)2＝a1·(a1＋8d)．
所以a1＝d.
所以＝＝.
答案：　C
8．数列{an}满足a1＝1，a2＝2,2an＋1＝an＋an＋2，若bn＝，则数列{bn}的前5项和等于(　　)
A．1 B.
C. D.
解析：　∵2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}是等差数列．
又∵a1＝1，a2＝2，∴an＝n.
又bn＝＝＝－，
∴b1＋b2＋b3＋b4＋b5
＝＋＋…＋
＝1－＝，故选B.
答案：　B
9．实数x，y满足不等式组则k＝的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：　

作平面区域如图所示，k＝表示点(x，y)与点(－1,1)连线的斜率，故选D.
答案：　D
10．等比数列{an}中，已知对任意自然数n，a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋a＋…＋a＝(　　)
A．(2n－1)2 B.(2n－1)
C．4n－1 D.(4n－1)
解析：　由已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，
所以a1＝S1＝1，a2＝S2－a1＝2，所以公比q＝2.
又因为＝2＝q2＝4，
所以数列{a}是以q2＝4为公比的等比数列，
所以a＋a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．
答案：　D
11．已知x，y∈R＋，2x＋y＝2，c＝xy，那么c的最大值为(　　)
A．1 B.
C. D.
解析：　由已知，2＝2x＋y≥2＝2，所以c≤.
答案：　B
12．在△ABC中，已知a比b长2，b比c长2，且最大角的正弦值是，则△ABC的面积是(　　)
A. B.
C. D.
解析：　由题可知a＝b＋2，b＝c＋2，∴a＝c＋4.
∵sin A＝，∴A＝120°.
又cos A＝cos 120°＝＝
＝＝－，
整理得c2－c－6＝0，
∴c＝3(c＝－2舍去)，从而b＝5，
∴S△ABC＝bcsin A＝.故选B.
答案：　B
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)
13．若则z＝2y－2x＋4的最小值为________．

解析：　作出可行域，如图所示，
当直线z＝2y－2x＋4过可行域上点B时，直线在y轴上的截距最小，z最小，又点B坐标为(1,1)，
所以zmin＝2×1－2×1＋4＝4.
答案：　4
14．在等比数列{an}中，若a9·a11＝4，则数列logan前19项之和为________．
解析：　由题意an＞0，且a1·a19＝a2·a18＝…＝a9·a11＝a，
又a9·a11＝4，
所以a10＝2，故a1a2…a19＝(a10)19＝219.
故loga1＋loga2＋…＋loga19＝log(a1a2…a19)
＝log219＝－19.
答案：　－19
15．在△ABC中，若b＝1，c＝，∠C＝，则a＝________.
解析：　∵c2＝a2＋b2－2abcos∠C，
∴()2＝a2＋12－2a·1·cosπ，
∴a2＋a－2＝0，
∴(a＋2)(a－1)＝0
∴a＝1
答案：　1
16．设关于x的不等式ax＋b＞0的解集为{x|x＞1}，则关于x的不等式＞0的解集为________．
解析：　

由题意得：
a＞0且－＝1.
又原不等式可变为(x－6)(x＋1)(ax＋b)＞0，
故由右图可知{x|－1＜x＜1或x＞6}．
答案：　{x|－1＜x＜1或x＞6}
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)解不等式组.
解析：　⇒⇒
⇒⇒－2＜x＜－1.
∴不等式组的解集为{x|－2＜x＜－1}．
18．(本小题满分12分)设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列．
(1)求的值；
(2)若a5＝9，求an及Sn的表达式．
解析：　(1)设等差数列{an}的公差是d.
∵S1，S2，S4成等比数列，
∴S＝S1S4，即(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d)，
化简得d2＝2a1d，注意到d≠0，
∴d＝2a1.∴＝＝＝3.
(2)a5＝a1＋4d＝9a1＝9，∴a1＝1，d＝2.
∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，Sn＝＝n2.
19．(本小题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且(2a＋c)cos B＋bcos C＝0.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝；a＋c＝4，求△ABC的面积．
解析：　(1)由余弦定理得cos B＝，
cos C＝，
将上式代入(2a＋c)cos B＋bcos C＝0，
整理得a2＋c2－b2＝－ac，
∴cos B＝＝＝－，
∵B为△ABC的内角，∴B＝π.
(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，
即b2＝(a＋c)2－2ac－2accos B，
将b＝，a＋c＝4，B＝π代入上式得，
13＝16－2ac，∴ac＝3.
∴S△ABC＝acsin B＝.
20．(本小题满分12分)设集合A、B分别是函数y＝与函数y＝lg(6＋x－x2)的定义域，C＝{x|x2－4ax＋3a2＜0}．若A∩B⊆C，求实数a的取值范围．
解析：　由x2＋2x－8＞0，得x＜－4或x＞2，
所以A＝{x|x＜－4或x＞2}；
由6＋x－x2＞0，即x2－x－6＜0，得－2＜x＜3，
所以B＝{x|－2＜x＜3}．
于是A∩B＝{x|2＜x＜3}．
由x2－4ax＋3a2＜0，得(x－a)(x－3a)＜0，
当a＞0时，C＝{x|a＜x＜3a}，
由A∩B⊆C，得，所以1≤a≤2；
当a＝0时，不等式x2－4ax＋3a2＜0
即为x2＜0，解集为空集，此时不满足A∩B⊆C；
当a＜0时，C＝{x|3a＜x＜a}，
由A∩B⊆C，得，此不等式组无解．
综上，满足题设条件的实数a的取值范围为{a|1≤a≤2}．
21．(本小题满分12分)某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：
资金
单位产品所需资金(百元)
月资金供
空调机
洗衣机
应量(百元)成本
30
20
300
劳动力(工资)
5
10
110
单位利润
6
8

试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？
解析：　设空调机、洗衣机的月供应量分别是x，y台，总利润是z，则z＝6x＋8y
由题意有x，y均为整数．

由图知直线y＝－x＋z过M(4,9)时，纵截距最大．这时z也取最大值zmax＝6×4＋8×9＝96(百元)．
故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9 600元．
22．(本小题满分14分)设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2－an，n＝1,2,3，….
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足b1＝1，且bn＋1＝bn＋an，求数列{bn}的通项公式；
(3)设cn＝n(3－bn)，数列{cn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜8.
解析：　(1)∵n＝1时，a1＋S1＝a1＋a1＝2，
∴a1＝1.
∵Sn＝2－an，即an＋Sn＝2，
∴an＋1＋Sn＋1＝2.
两式相减：an＋1－an＋Sn＋1－Sn＝0.
即an＋1－an＋an＋1＝0
故有2an＋1＝an，
∵an≠0，∴＝(n∈N＋)，
∴an＝n－1.
(2)∵bn＋1＝bn＋an(n＝1,2,3，…)，
∴bn＋1－bn＝n－1.
得b2－b1＝1，b3－b2＝，b4－b3＝2，
…
bn－bn－1＝n－2(n＝2,3，…)．
将这n－1个等式相加，得
bn－b1＝1＋＋2＋3＋…＋n－2
＝＝2－n－2.
又∵b1＝1，∴bn＝3－n－2(n＝1,2,3…)．
(3)证明：∵cn＝n(3－bn)＝2nn－1.
∴Tn＝
2.①
而Tn＝
2.②
①－②得
Tn＝2－2×n×n.
Tn＝4×－4×n×n
＝8－－4×n×n
＝8－(n＝1,2,3，…)．
∴Tn＜8.
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