高一数学《对数与对数运算》学案.doc

青海省青海师大附属第二中学高一数学

一、教学要求：理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的相互转化．
二、教学重点：掌握对数式与指数式的相互转化.
三、教学难点：对数概念的理解.
四、教学过程：
（一）、复习准备：
★1.问题1：庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭（1）取4次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺？ （得到：＝？，＝0.125x=?）
★2.问题2：假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产 是2002年的2倍？ （ 得到：=2x=? ）
▲问题共性：已知底数和幂的值，求指数 怎样求呢？例如：课本实例由求x
（二）、讲授新课：
1. 教学对数的概念：
① 定义：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数（logarithm）.
记作 ，其中a叫做对数的底数，N叫做真数
② 定义：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并把常用对数简记为lgN 在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，并把自然对数简记作lnN → 认识：lg5 ; lg3.5； ln10； ln3
③ 讨论：指数与对数间的关系 （时，）
式子 名称
a
b
N
指数式ab=N
底数
指数
幂
对数式logaN=b
底数
对数
真数

负数与零是否有对数？ （原因：在指数式中 N > 0 ），
2. 教学指数式与对数式的互化：
★① 出示P63：例1. 将下列指数式写成对数式： ；；；

★② 出示例2. 将下列对数式写成指数式：； lg0.001=-3； ln100=4.606
（学生试练 → 订正 → 变式： lg0.001=？ ）
★③ 出示例3. 求下列各式中x的值：
； ； ；
（讨论：解方程的依据？ → 试求 → 小结：应用指对互化求x）
★④ 练习：求下列各式的值： ； ； 10000
★⑤ 探究：
3. 小结：对数概念；lgN与lnN；指数与对数的互化； 如何求对数值
三、巩固练习：
1. 练习：课本64页练习1、2、3、4题
2．计算： ； ；； ； .
3. 作业：书P74：1、2、3、4题

第二课时： 2.2.1对数与对数运算（二）
一、教学要求： 掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；能较熟练地运用法则解决问题.
二、教学重点：运用对数运算性质解决问题
三、教学难点：对数运算性质的证明方法
四、教学过程：
（一）、复习准备：
1． 提问：对数是如何定义的？ → 指数式与对数式的互化：
2． 提问：指数幂的运算性质？
（二）、讲授新课：
1. 教学对数运算性质及推导：
① 引例： 由，如何探讨和、之间的关系？
设, ，由对数的定义可得：M=，N= ∴MN==
∴MN=p+q，即得MN=M + N
② 探讨：根据上面的证明，能否得出以下式子？
如果 a > 0，a ¹ 1，M > 0， N > 0 ，则
; ；
③ 讨论：自然语言如何叙述三条性质？ 性质的证明思路？（运用转化思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式）
2.教学例题：
① 出示例1. 用, , 表示下列各式：;
（学生讨论：如何运用对数运算性质？ → 师生共练 → 小结：对数运算性质的运用）
② 出示例2. 计算：；；；lg
③ 探究：根据对数的定义推导换底公式（，且；，且；）．
作用：化底 → 应用：2000年人口数13亿，年平均增长率1℅，多少年后可以达到18亿？
④ 练习：运用换底公式推导下列结论：；
（三）、巩固练习：
1. 设,，试用、表示.
变式：已知lg２＝0.3010，lg３＝0.4771，求lg６、lg12、lg的值.
2. 计算：； ； .
3. 试求的值
*4. 设、、为正数，且，求证：
5. 已知 3 = a， 7 = b, 用 a, b 表示56
6. 问题：1995年我国人口总数是12亿，如果人口的年自然增长率控制在1.25℅，问哪一年我国人口总数将超过14亿？ （答案： →→ ）
（四）、实际应用练习：
★ 出示例5：（P66） 20世纪30年代，查尔斯.里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大. 这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）.
（Ⅰ）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,此时标准地震的振幅是0.001, 计算这次地震的震级（精确到0.1）；（Ⅱ）5级地震给人的振感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍？（精确到1）
●分析解答：读题摘要 → 数量关系 → 数量计算 → 如何利用对数知识？
③ 出示例6： 当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P与生物死亡年数t之间的关系．回答下列问题：（Ⅰ）求生物死亡t年后它机体内的碳14的含量P，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（Ⅱ）已知一生物体内碳14的残留量为P，试求该生物死亡的年数t，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（Ⅲ）长沙马王墓女尸出土时碳14的余含量约占原始量的76.7%，试推算古墓的年代？
●分析解答：读题摘要 → 寻找数量关系 → 强调数学应用思想
⑤探究训练：讨论展示并分析自己的结果，试分析归纳，能总结概括得出什么结论？
结论：P和t之间的对应关系是一一对应；P关于t的指数函数；
思考：t关于P的函数？ （）
2. 小结：初步建模思想（审题→设未知数→建立x与y之间的关系→）； 用数学结果解释现象
（五）、课堂巩固练习：
1. 计算： ；
2. 我国的GDP年平均增长率保持为7.3%，约多少年后我国的GDP在1999年的基础上翻两翻？
（六）、学生作业：
◆1、如果在今后若干年内，我国的国民经济生产总值都在平均每年增长9%的水平，则要达到国民经济生产总值比1995年翻两番的年份大约是哪一年？
解：a(1+9%)x=4a,x= =≈16,即经过16年，即要到2011年我国国民经济生产总值比1995年翻两番。（计算时取lg2=0.3；lg109=2.04)
★【题2】（200 7年湖南· T1）、若，，则 ．答案为：3
★【题3】函数的图象大致是（ ）

●解：=选(D)
（七）、课堂回顾与总结：
对数及其运算的基本知识体系：
1、对数概念：若ab=N,⇔则有b=logaN (常用对数lgN,自然对数lnN)Þ负数和零没有对数。
2、对数的运算性质：(换底公式的应用）：①loga1=0； ② logaa=1； ③=_____； ④logab·logbc=____； ⑤ logab·logba=____； ⑥=___; ⑦loga(M·N)=____；
⑧loga()= _______； ⑨logaNb=____