算符对易关系.pptx

1 3.7 3.7 算符对易关系、两力学量同时可测的条件、算符对易关系、两力学量同时可测的条件、测不准关系测不准关系1 1算符的对易关系算符的对易关系设设 和和 为两个算符为两个算符若若 ，则称则称 与与 对易对易若若 ，则称则称 与与 不对易不对易引入对易子：引入对易子：若若 ，则则 与与 对易对易若若 ，则则 与与 不对易不对易23.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续）（1 1）力学量算符的基本对易关系）力学量算符的基本对易关系3证明对易关系式证明对易关系式 ExProveProve设设 为任一可微函数为任一可微函数特别地，当特别地，当 代入上对易式，即证得代入上对易式，即证得同理可证：同理可证：3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系（续）测不准关系（续）4prove:（2 2）对易恒等式）对易恒等式雅可比恒等式雅可比恒等式双线性双线性3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续）5（3 3）角动量算符的对易关系）角动量算符的对易关系3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续）6Prove:Prove:等于零等于零 等于零等于零3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续）7定定 理理prove:prove:2 2力学量同时有确定值的条件（对易的物理意义）力学量同时有确定值的条件（对易的物理意义）3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续6）设设 是是 和和 的共同本征函数完全系，则的共同本征函数完全系，则设设 是任一状态波函数，是任一状态波函数，若算符若算符 和和 具有共同的本征函数完全具有共同的本征函数完全系，则系，则 和和 必对易。必对易。8逆逆 定定 理理prove:prove:设设 是是 的本征函数完全系，则的本征函数完全系，则若算符若算符 与与 对易，则对易，则（1 1）（2 2）为为简简单单起起见见，先先考考虑虑非非简简并并情情况况。由由（1 1）、（2 2）式式知知，和和 都都是是 属属于于本本征征值值 的的本本征征函函数数，它它们最多相差一个常数因子们最多相差一个常数因子 ，即，即 可见，可见，也是也是 的本征方程的解。因此，的本征方程的解。因此，是是 的本征函数完全系的本征函数完全系若算符若算符 与与 对易，则它们具有共同的本对易，则它们具有共同的本征函数完全系征函数完全系3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续7）9 若两个力学量算符彼此不对易，则一般说来这两若两个力学量算符彼此不对易，则一般说来这两个算符表示的两个力学量不能同时具有确定性，或者个算符表示的两个力学量不能同时具有确定性，或者说不能同时测定。说不能同时测定。两个算符有共同本征函数系的充要条件是这两个两个算符有共同本征函数系的充要条件是这两个算符彼此对易；在两个力学量算符的共同本征函数所算符彼此对易；在两个力学量算符的共同本征函数所描写的状态中，这两个算符所表示的力学量同时有确描写的状态中，这两个算符所表示的力学量同时有确定值。或者说定值。或者说两个力学量算符所表示的力学量同时有两个力学量算符所表示的力学量同时有确定值的条件是这两个力学量算符相互对易。确定值的条件是这两个力学量算符相互对易。注注3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续8）为简单起见，以上定理和逆定理的证明是在非简为简单起见，以上定理和逆定理的证明是在非简并情况下证明的；在简并的情况下，结论仍成立（这并情况下证明的；在简并的情况下，结论仍成立（这里就不再证明了里就不再证明了）10Ex.2Ex.2 角动量算符角动量算符 和和 对易，即对易，即 因此它们有共同的本征函数完备系因此它们有共同的本征函数完备系 。3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续9）同时有确定值。同时有确定值。在在 描述的状态中，描述的状态中，在在 描述的状态中，描述的状态中，和和 可同时有确定值可同时有确定值:Ex.1Ex.1动量算符动量算符 彼此对易，它们有共同的彼此对易，它们有共同的本征函数完备系本征函数完备系 11Ex.5Ex.5 彼此不对易，故彼此不对易，故 一般不一般不可能同时有确定值。可能同时有确定值。Ex.4 坐标算符与动量算符不对易坐标算符与动量算符不对易 ，故故 一般不可同时具有确定值。一般不可同时具有确定值。3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续10）Ex.3 氢原子的算符氢原子的算符 彼此对易：彼此对易：它们有共同的本征函数完备系它们有共同的本征函数完备系 故故 可可同时有确定值同时有确定值:在在 状态中，状态中，12（1 1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。力学量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。三维空间中自由粒子，完全确三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要三个两两对易的定其状态需要三个两两对易的力学量：力学量：Ex.2Ex.2氢原子，完全确定其状态也需氢原子，完全确定其状态也需要三个两两对易的力学量：要三个两两对易的力学量：一维谐振子，只需要一个力学一维谐振子，只需要一个力学量就可完全确定其状态：量就可完全确定其状态：（2 2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。数相同。（3 3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。均可用它展开。3 3.力力学学量量完完全全集集合合Ex.3Ex.3Ex.1Ex.13.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续11）134 4测测不不准准关关系系3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续2）测不准关系的严格推导测不准关系的严格推导 坐标和动量的测不准关系坐标和动量的测不准关系 角动量的测不准关系角动量的测不准关系引引 言言由前面讨论表明，两对易力学量算符则同由前面讨论表明，两对易力学量算符则同时有确定值；不对易两力学量算符，一般时有确定值；不对易两力学量算符，一般来说，不存在共同本征函数，不同时具有来说，不存在共同本征函数，不同时具有确定值。确定值。问问 题题两个不对易算符所对应的力学量在某一状两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟不确定到什么程度？即不确定度态中究竟不确定到什么程度？即不确定度是多少？是多少？不确定度：不确定度：测量值测量值 F Fn n 与平均值与平均值 的偏差的的偏差的大小。大小。14 设设 和和 的对易关系为的对易关系为考虑积分：考虑积分：（再（再利用力学量算符的厄米性）利用力学量算符的厄米性）测不准关系的严格推导测不准关系的严格推导 15由代数中二次定理知，这个不等式成立的条件由代数中二次定理知，这个不等式成立的条件是系数必须满足下列关系：是系数必须满足下列关系：（称为测不准关系）（称为测不准关系）如果如果 不等于零，则不等于零，则 和和 的均方偏差不会同时为的均方偏差不会同时为零，它们的乘积要大于一正数，这意味着零，它们的乘积要大于一正数，这意味着 和和 不能不能同时测定。同时测定。3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续3）16 由测不准关系由测不准关系 看出：若两个力学量看出：若两个力学量算符算符 和和 不对易，则一般说来不对易，则一般说来 与与 不能同不能同时为零，即时为零，即 和和 不能同时测定（但注意不能同时测定（但注意 的特殊态可能是例外），或者说它们不能有共同本征的特殊态可能是例外），或者说它们不能有共同本征态。反之，若两个厄米算符态。反之，若两个厄米算符 和和 对易，则可以找对易，则可以找出这样的态，使出这样的态，使 和和 同时满足，即可同时满足，即可以找出它们的共同本征态。以找出它们的共同本征态。故有故有 坐标和动量的测不准关系坐标和动量的测不准关系 或写成或写成17简记为简记为 表明：表明：和和 不能同时为零，坐标不能同时为零，坐标 的均方差越的均方差越小，则与它共轭的动量小，则与它共轭的动量 的均方偏差越大，亦就是说，的均方偏差越大，亦就是说，坐标愈测量准，动量就愈测不准。坐标愈测量准，动量就愈测不准。3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续4）角动量的测不准关系角动量的测不准关系当粒子处在当粒子处在 的本征态时的本征态时18测测不不准准关关系系的的应应用用 Ex.1 利用测不准关系估算线性谐振子的零点能利用测不准关系估算线性谐振子的零点能Solve：谐振子的能量谐振子的能量 平均能量：平均能量：3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续5）193.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续16)可以由对称性直接得出20 故所谓零点能即为测不准关系要求的最小能量，故所谓零点能即为测不准关系要求的最小能量，零点能在旧量子理论是没有的。零点能在旧量子理论是没有的。（零点能）（零点能）3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系（续测不准关系（续17 17）21Prove:则测不准关系：则测不准关系：平均值的平方平均值的平方为非负数为非负数欲保证不等式成立，必有：欲保证不等式成立，必有：同同 理理由于在由于在 本征态本征态 中，测量力学量中，测量力学量 有确定值，有确定值，所以所以 均方偏差必为零均方偏差必为零Ex.2 利用测不准关系证明，在利用测不准关系证明，在 本征态本征态 下，下，22此式表明此式表明力学量力学量平均值平均值随时间变化有两方面的原因随时间变化有两方面的原因:体系所处的状态体系所处的状态 随时间而变化随时间而变化力学量算符力学量算符 是时间的显函数，使是时间的显函数，使 随时间变化随时间变化（1 1）3.8 力学量随时间的变化力学量随时间的变化 守恒律守恒律1 1、力学量平均值随时间的变化、力学量平均值随时间的变化由薛定谔方程有由薛定谔方程有 代入（代入（1 1），则有），则有23因因 是厄米算符是厄米算符 3.8 3.8 力学量随时间的变化力学量随时间的变化 守恒律（续守恒律（续）利用对易子记号利用对易子记号 （2）则则24结论结论:力学量力学量 的平均值的平均值 不随时间而变化不随时间而变化,则则称称 为运动积分，或为运动积分，或 在运动中守恒。在运动中守恒。2 2、运动积分、运动积分力学量守恒的条件力学量守恒的条件若力学量算符若力学量算符 不显含时间不显含时间t,t,且与哈密顿算符且与哈密顿算符 对易对易则有则有常量常量即即 ，3.8 3.8 力学量随时间的变化力学量随时间的变化 守恒律（续守恒律（续2 2）Ex1.Ex1.自由粒子的动量自由粒子的动量 不显含时间不显含时间25又又故故 守恒守恒3.8 3.8 力学量随时间的变化力学量随时间的变化 守恒律（续守恒律（续3 3）哈米顿算符可表示为哈米顿算符可表示为：在在球球坐坐标标系系中中算算符符 等等只只是是 的的函函数，与时间（数，与时间（r,tr,t）无关，对时间偏微商为无关，对时间偏微商为0 0。Ex2.Ex2.粒子在辏力场中运动的角动量粒子在辏力场中运动的角动量自由粒子的动量是运动积分自由粒子的动量是运动积分动量守恒动量守恒26角角动动量量各各分分量量算算符符及及角角动动量量平平方方算算符符均均与与哈哈密密顿算符对易顿算符对易角动量各分量算符及角动量平方算符均为守恒量。角动量各分量算符及角动量平方算符均为守恒量。角动量守恒定律！角动量守恒定律！3.8 3.8 力学量随时间的变化力学量随时间的变化 守恒律（续守恒律（续4 4）Ex3.Ex3.哈密顿算符不显含时间的体系的能量哈密顿算符不显含时间的体系的能量当当 不显含不显含t t时，时，又又即：能量守恒定律！即：能量守恒定律！27 空间反演算符也称为宇称算符空间反演算符也称为宇称算符3 3、哈密顿算符对空间反演时的不变宇称、哈密顿算符对空间反演时的不变宇称空间反演：空间反演：空间反演算符空间反演算符反演算符反演算符 的本征值的本征值本征值本征值3.8 3.8 力学量随时间的变化力学量随时间的变化 守恒律（续守恒律（续5 5）28 具有偶宇称或奇宇称的波函数称为具有确定的宇具有偶宇称或奇宇称的波函数称为具有确定的宇称。宇称是运动空间对称性的描述。称。宇称是运动空间对称性的描述。宇称守恒律：宇称守恒律：若体系的哈密顿算符具有空间反演不变性若体系的哈密顿算符具有空间反演不变性即即则则 为运动积分，即为运动积分，即宇称守恒宇称守恒3.8 3.8 力学量随时间的变化力学量随时间的变化 守恒律（续守恒律（续6 6）ProveProve：(偶宇称偶宇称)(奇宇称奇宇称)29 故故 宇称守恒表示体系的哈密顿算符和宇称算符具有共宇称守恒表示体系的哈密顿算符和宇称算符具有共同本征函数同本征函数,因而体系能量本征函数可以有确定的宇因而体系能量本征函数可以有确定的宇称，而且不随时间变化。称，而且不随时间变化。量子力学中一个不可观测量的对称性（不变性）导致量子力学中一个不可观测量的对称性（不变性）导致一个可观测量的守恒律。一个可观测量的守恒律。3.8 3.8 力学量随时间的变化力学量随时间的变化 守恒律（续守恒律（续7 7）因此因此,为运动积分，亦即宇称守恒为运动积分，亦即宇称守恒又又 不显含不显含t t，30一、力学量与算符一、力学量与算符 1 1厄米算符的定义厄米算符的定义 2 2力学量与厄米算符的关系力学量与厄米算符的关系 力力学学量量用用厄厄米米算算符符表表示示，表表示示力力学学量量的的厄厄米米算符有组成完全系的本征函数系（假设）算符有组成完全系的本征函数系（假设）3 3厄米算符的性质厄米算符的性质 厄厄米米算算符符的的本本征征值值是是实实数数，属属于于不不同同本本征征值的本征函数正交值的本征函数正交 4 4力学量算符的构成（对应原则）（假设）力学量算符的构成（对应原则）（假设）5 5力学量的平均值力学量的平均值 注注 2 2和和4 4合起来作为一个假设合起来作为一个假设 第三章第三章 复复 习习31二、力学量的测量值与力学量算符关系：二、力学量的测量值与力学量算符关系：假假设设力力学学量量算算符符的的本本征征值值是是力力学学量量的的可可测测量量值。将体系的状态波函数用算符值。将体系的状态波函数用算符 的本征函数系的本征函数系 展开展开则则在在 态态中中测测量量力力学学量量 得得到到结结果果为为 的的几几率率是是 ，得到结果在，得到结果在 范围内的几率是范围内的几率是三、力学量算符之间的关系三、力学量算符之间的关系 1 1不不同同力力学学量量同同时时可可测测定定的的条条件件力力学学量量算算符符彼彼此此对对易易。一一体体系系的的所所有有可可彼彼此此对对易易的的力力学学量算符构成一个完全集。量算符构成一个完全集。32四、力学量算符的本征值问题四、力学量算符的本征值问题 1 1动量算符的本征值问题动量算符的本征值问题 2 2 ，的本征值问题的本征值问题 3 3中心力场问题中心力场问题 氢原子问题氢原子问题五、力学量守恒五、力学量守恒第三章第三章 复习复习 2 2测不准关系测不准关系3 3算符的对易关系算符的对易关系 （1 1）基本对易关系）基本对易关系 （2 2）角动量算符的对易关系）角动量算符的对易关系33例例1 1：已知空间转子处于如下状态：已知空间转子处于如下状态试问：试问：（1 1）是否是是否是 L L2 2 的本征态？的本征态？（2 2）是否是是否是 L Lz z 的本征态？的本征态？（3 3）求）求 L L2 2 的平均值；的平均值；（4 4）在）在 态中分别测量态中分别测量 L L2 2 和和 L Lz z 时得到的可能值及时得到的可能值及其相应的几率。其相应的几率。解：解：没有确定的没有确定的 L L2 2 的本征值，故的本征值，故不是不是 L L2 2 的本征态。的本征态。34是是 L Lz z 的本征态，本征值为的本征态，本征值为（3 3）求）求 L L2 2 的平均值的平均值方法方法 I I验证归一化：验证归一化：35归一化波函数方法方法 IIII（4 4）