工程数学最后一填空省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

矩阵分析矩阵分析1.向量范数2.矩阵范数3.矩阵分解电子科技大学应用数学学院第1页向量范数向量范数定义1.正定性2.齐次性3.三角不等式惯用向量范数1.1-范数2.2-范数3.-范数电子科技大学应用数学学院第2页矩阵范数惯用矩阵范数1.1-范数2.2-范数3.-范数电子科技大学应用数学学院第3页例 求A逆矩阵：解电子科技大学应用数学学院第4页电子科技大学应用数学学院第5页 例例 解矩阵方程解矩阵方程：解解电子科技大学应用数学学院第6页电子科技大学应用数学学院第7页电子科技大学应用数学学院第8页电子科技大学应用数学学院第9页实际问题数学问题提供计算方法实际问题数学问题提供计算方法程序设计上机计算结果分析程序设计上机计算结果分析第二章第二章 科学计算方法科学计算方法 电子科技大学应用数学学院第10页基本数学问题1.大型线性代数方程组大型线性代数方程组Ax=b求解求解;2.矩阵矩阵A特征值和特征向量计算特征值和特征向量计算;3.非线性方程非线性方程 求解求解(求根求根);4.积分积分 计算计算;5.常微分方程初值问题求解常微分方程初值问题求解;6.其它。其它。电子科技大学应用数学学院第11页求准确解(值)普通非常困难：1.方程组阶数n很大，比如n=20,计算机运算速度 1亿次/秒,用不好方法,大约需算30多万年;好方法不到一分钟。另外，有计算结果可靠性 问题。2.特征值定义 电子科技大学应用数学学院第12页3.形式复杂时求根和求积分很困难。4.线性微分方程易解，如 非线性方程难解，如 希望：希望：求近似解求近似解,但方法简单可行但方法简单可行,行之有效行之有效(计算量计算量小，误差小等小，误差小等).以计算机为工具以计算机为工具,易在计算机上实现。易在计算机上实现。计算机运算计算机运算:只能进行加，减，乘，除等算术运只能进行加，减，乘，除等算术运 算和一些逻辑运算。算和一些逻辑运算。计算方法：计算方法：把求解数学问题转化为按一定次序只把求解数学问题转化为按一定次序只 进行加，减，乘，除等基本运算进行加，减，乘，除等基本运算 数值方法。数值方法。电子科技大学应用数学学院第13页例例:用用Gauss-SeidelGauss-Seidel迭代法求方程组迭代法求方程组k1234x1(k)0.77780.98390.99941.0000 x2(k)0.87780.99610.99981.0000 x3(k)0.97700.99870.99991.0000电子科技大学应用数学学院第14页 设方程组设方程组Ax=b系数矩阵系数矩阵A按行严格对角占优即：按行严格对角占优即：或按列严格对角占优，即或按列严格对角占优，即定定理理1 1 若若系系数数矩矩阵阵A按按行行（或或按按列列）严严格格对对角角占占优优，则则求求解解Ax=bJacobiJacobi方方法法与与Gauss-Seidel方方法法对对任任意意 初始向量都收敛初始向量都收敛.定理2 若A为对称正定矩阵为对称正定矩阵,则Gauss-Seidel迭代收敛迭代收敛.电子科技大学应用数学学院第15页排列、组合排列、组合一、加法规则和乘法规则一、加法规则和乘法规则1、加法规则、加法规则也可叙述为：设事件也可叙述为：设事件A有有m种产生方式，事件种产生方式，事件B有有n种产生方式，则种产生方式，则“事件事件A或事件或事件B”有有m+n种种产生方式。产生方式。电子科技大学应用数学学院第16页2、乘法规则、乘法规则也可表述为：若事件也可表述为：若事件A有有m种产生方式，事件种产生方式，事件B有有n种产生方式，则种产生方式，则“事件事件A与事件与事件B”有有mn种种产生方式。产生方式。电子科技大学应用数学学院第17页例例1 求比求比10000小正整数中含有数字小正整数中含有数字1数个数。数个数。电子科技大学应用数学学院第18页二、排列与组合二、排列与组合按照元素排列方式，排列分：线排列、圆排列和按照元素排列方式，排列分：线排列、圆排列和重排列三类。重排列三类。1、线排列、线排列电子科技大学应用数学学院第19页电子科技大学应用数学学院第20页例例2 将含有将含有9个字母单词个字母单词FRAGMENTS进行排列，进行排列，要求字母要求字母A总是紧跟在字母总是紧跟在字母R右边，问有多少种这右边，问有多少种这么排法？么排法？解：解：A紧跟在字母紧跟在字母R右边，能够把这么排列看作右边，能够把这么排列看作是是8个元素集合个元素集合F，RA，G，M，E，N，T，S全排列。所以个数为：全排列。所以个数为：P(8,8)=8!=40320。电子科技大学应用数学学院第21页 鸽笼原理与容斥原理鸽笼原理与容斥原理一、一、鸽笼原理鸽笼原理 鸽巢原理是组合数学中最简单也是最基本原鸽巢原理是组合数学中最简单也是最基本原理，也叫抽屉原理。即理，也叫抽屉原理。即定理定理 假如有假如有n+1个物体放到个物体放到n个盒子中，则最少个盒子中，则最少有一个盒子中放有两个或更多物体。有一个盒子中放有两个或更多物体。例例1 3671 367人中最少有人生日相同。人中最少有人生日相同。例2 10双手套中任取11只，其中至少有两只是完整配对。例例3 把把5个点放到边长为个点放到边长为2正方形中，最少存在两正方形中，最少存在两个点之间距离小于等于个点之间距离小于等于电子科技大学应用数学学院第22页DeMorgan定理定理二、二、容容 斥斥 原原 理理电子科技大学应用数学学院第23页设设A,B为两个有限集合，易知为两个有限集合，易知A与与B元素个数为元素个数为定理定理1 设设 为有限集合，则为有限集合，则电子科技大学应用数学学院第24页电子科技大学应用数学学院第25页例例2 4男男4女围圆桌交替就座有多少种方式？女围圆桌交替就座有多少种方式？电子科技大学应用数学学院第26页例例3 数数510510能被多少个不一样奇数整除？能被多少个不一样奇数整除？电子科技大学应用数学学院第27页例例4 求从求从1到到1000整数中不能被整数中不能被5,6,和和8中任何一个整除中任何一个整除整数个数整数个数.电子科技大学应用数学学院第28页电子科技大学应用数学学院第29页例例5 某餐厅有某餐厅有7种不一样菜，为了招待朋友，一个种不一样菜，为了招待朋友，一个用户需要买用户需要买14个菜，问有多少种买法？个菜，问有多少种买法？电子科技大学应用数学学院第30页例例6 计算计算R()与与R().R()=xR()+R()=xR()+xR()+R()电子科技大学应用数学学院第31页x1x2x3x41234y1y2y3y41 2 3 4例例7 四对夫妇前来参加宴会，围圆桌而坐，男女相间，四对夫妇前来参加宴会，围圆桌而坐，男女相间，夫妇不相邻，问有多少种入座方式？夫妇不相邻，问有多少种入座方式？电子科技大学应用数学学院第32页电子科技大学应用数学学院第33页电子科技大学应用数学学院第34页电子科技大学应用数学学院第35页电子科技大学应用数学学院第36页图图哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡七桥问题电子科技大学应用数学学院第37页定义定义2一个一个图图是一个序偶是一个序偶 ，记为，记为G，其中：其中：1)Vv1,v2,v3,vn是一个有限非空集合，是一个有限非空集合，vi(i1,2,3,n)称为称为结点结点,简称简称点点,V为为结点集结点集；2)Ee1,e2,e3,em是一个有限集合，是一个有限集合，ei (i1,2,3,m)称为称为边边，E为为边集边集，E中每个元素中每个元素都有都有V中结点对与之对应。中结点对与之对应。电子科技大学应用数学学院第38页1.若边若边e与无序结点对与无序结点对(u,v)相对应，则称边相对应，则称边e为为无向边无向边,记为记为e=(u,v)，这时称，这时称u,v是边是边e e两个两个端点端点；2.若边若边e与有序结点对与有序结点对 相对应，则称边相对应，则称边e为为有向边有向边，记为记为e=，这时称，这时称u是边是边e始点始点,v是边是边e终点终点，统，统称为称为e端点端点；3.每条边都是无向边图称为每条边都是无向边图称为无向图无向图；4.每条边都是有向边图称为每条边都是有向边图称为有向图有向图；5.有些边是无向边，而另一些是有向边图称为有些边是无向边，而另一些是有向边图称为混合图混合图。图分类图分类(按边方向按边方向):电子科技大学应用数学学院第39页例例1 设图设图G 如右图所如右图所示。这里示。这里Vv1,v2,v3,v4,v5，Ee1,e2,e3,e4,e5,e6，其中其中e1(v1,v2)，e2 ，e3(v1,v4)，e4(v2,v3)，e5 ，e6(v3,v3)。图中图中e1、e3、e4是无向边，是无向边，e2、e5是有向边。是有向边。电子科技大学应用数学学院第40页1)在一个图中，关联结点在一个图中，关联结点vi和和vj边边e，不论是有向还是，不论是有向还是无向，均称边无向，均称边e与结点与结点vi和和vj相关联相关联，而，而vi和和vj称为称为邻接点邻接点，不然称为，不然称为不邻接不邻接；几个概念几个概念:2)关联于同一个结点两条边称为关联于同一个结点两条边称为邻接边邻接边；3)图中关联同一个结点边称为图中关联同一个结点边称为环环；4)图中不与任何结点相邻接结点称为图中不与任何结点相邻接结点称为孤立结点孤立结点；5)仅由孤立结点组成图称为仅由孤立结点组成图称为零图零图；6)仅含一个结点零图称为仅含一个结点零图称为平凡图平凡图.电子科技大学应用数学学院第41页二、二、图矩阵表示图矩阵表示设图设图G=,V=v1,v2,vn,E=e1,e2,em,则则G关联矩阵为关联矩阵为:为为 关联关联次数次数G邻接矩阵为邻接矩阵为:为联接为联接边数边数例例2 设设G如如图所表示图所表示,则则电子科技大学应用数学学院第42页1)在有向图中，两个结点间在有向图中，两个结点间(包含结点本身间包含结点本身间)若有若有同始点和同终点几条边，则这几条边称为同始点和同终点几条边，则这几条边称为平行边平行边，2)在无向图中，两个结点间在无向图中，两个结点间(包含结点本身间包含结点本身间)若有若有几条边，则这几条边称为几条边，则这几条边称为平行边平行边；3)两结点两结点vi,vj间相互平行边条数称为边间相互平行边条数称为边(vi,vj)或或 重数重数；4)含有平行边图称为含有平行边图称为多重图多重图；5)非多重图称为非多重图称为线图线图；6)无环线图称为无环线图称为简单图简单图。图分类图分类(按边重数按边重数):电子科技大学应用数学学院第43页例例4G1、G2是多重图，是多重图，G3是线图，是线图，G4是简单图。是简单图。电子科技大学应用数学学院第44页1)在无向图在无向图G 中，与结点中，与结点v(v V)关联边条数关联边条数(有环时计算两次有环时计算两次)，称为该结点，称为该结点度数度数，记为，记为deg(v)；2)在有向图在有向图G 中，以结点中，以结点v为始点引出边条数，为始点引出边条数，称为该结点称为该结点出度出度,记为记为deg+(v)；以结点；以结点v为终点引入为终点引入边条数，称为该结点边条数，称为该结点入度入度,记为记为deg-(v)；而结点引出；而结点引出度数和引入度数之和称为该结点度数和引入度数之和称为该结点度数度数，记为，记为deg(v)，即即deg(v)deg+(v)+deg-(v)；3)对于图对于图G ，度数为，度数为1结点称为结点称为悬挂结点悬挂结点，它，它所关联边称为所关联边称为悬挂边悬挂边。4)在图在图G 中，称度数为奇数结点为中，称度数为奇数结点为奇度数结点奇度数结点，度数为偶数结点为度数为偶数结点为偶度数结点偶度数结点。2结点度数结点度数 电子科技大学应用数学学院第45页 数学期望和方差数学期望和方差4.14.1数学期望数学期望随机变量数字特征随机变量数字特征一一一一.随机变量数学期望随机变量数学期望随机变量数学期望随机变量数学期望例例1：一射击手进行射击考评，其命中环数为一随机：一射击手进行射击考评，其命中环数为一随机变量。分布律为：变量。分布律为：甲甲10987650P0.50.20.10.10.050.050设甲共射了设甲共射了100发子弹，求甲命中平均环数与偏离发子弹，求甲命中平均环数与偏离程度。程度。电子科技大学应用数学学院第46页甲命中平均环数为：甲命中平均环数为：定义定义：设设 X是离散型随机变量是离散型随机变量,其分布律为其分布律为电子科技大学应用数学学院第47页设设X是一连续型随机变量，密度为是一连续型随机变量，密度为f(x)，取分点：，取分点：则随机变量则随机变量X落在落在 中概率为中概率为当当 很小时，有很小时，有Xp这时，分布列为：这时，分布列为：电子科技大学应用数学学院第48页数学期望为：数学期望为：电子科技大学应用数学学院第49页l l（l l）=（X）EPX.则则例例 1电子科技大学应用数学学院第50页二二二二.随机变量函数数学期望随机变量函数数学期望随机变量函数数学期望随机变量函数数学期望定理定理：设设 Y是随机变量是随机变量X函数函数Y=g(X),g(x)为连续函数为连续函数1)X是离散型随机变量，其分布律为是离散型随机变量，其分布律为2)X是连续型随机变量，其概率密度为是连续型随机变量，其概率密度为f(x),电子科技大学应用数学学院第51页三三三三.随机变量数学期望性质随机变量数学期望性质随机变量数学期望性质随机变量数学期望性质设设X,Y 是随机变量，是随机变量，c是常数。是常数。1）E(c)=c2）E(c X)=cE(X)4）若）若X,Y 相互独立，则相互独立，则证：证：电子科技大学应用数学学院第52页电子科技大学应用数学学院第53页22随机变量方差随机变量方差例例1：一射击手进行射击考评，其命中环数为一随机：一射击手进行射击考评，其命中环数为一随机变量。分布律为：变量。分布律为：甲甲10987650P0.50.20.10.10.050.050设甲共射了设甲共射了100发子弹，求偏离程度。发子弹，求偏离程度。电子科技大学应用数学学院第54页定义定义：设设 X是随机变量是随机变量,若若E X E(X)2存在，称存在，称 D(X)=E X E(X)2 为为X方差。称方差。称 为为X标准差或均方差标准差或均方差注：注：1）D(X)是随机变量是随机变量X函数数学期望。函数数学期望。当当X为离散型时为离散型时 当当X为连续型时为连续型时 2）D(X)0惯用计算公式：惯用计算公式：D D(X X)E E(X X2 2)-)-E E(X X)2 2电子科技大学应用数学学院第55页随机变量方差性质随机变量方差性质随机变量方差性质随机变量方差性质设设X,Y 是随机变量，是随机变量，c是常数是常数若若X,Y 相互独立，则相互独立，则1)D(c)=02)D(c X)=c2 D(X)证：证：电子科技大学应用数学学院第56页33协方差协方差.相关系数相关系数定义：定义：若若EX-E(X)Y-E(Y)存在，称存在，称cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y)为随机变量为随机变量X,Y协方差。协方差。一一.协方差协方差协方差性质：协方差性质：cov(X,Y)cov(Y,X)cov(aX,bY)ab cov(X,Y)惯用计算公式：惯用计算公式：cov(X,Y)E(XY)-E(X)E(Y)电子科技大学应用数学学院第57页定义：定义：设设n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)协方差协方差 Cij =cov(Xi,Xj)均存在。称矩阵均存在。称矩阵为为(X1,X2,Xn)协方差矩阵。协方差矩阵。电子科技大学应用数学学院第58页随机过程随机过程例例1 电子元件因为电子随机热骚动所引发端电压称为热噪电子元件因为电子随机热骚动所引发端电压称为热噪声电压，它在任意时刻声电压，它在任意时刻t值是一随机变量，记为值是一随机变量，记为V(t).例例2 在通信中，若传输过程用在通信中，若传输过程用“0”“0”和和“1”“1”经过编码来传经过编码来传递信息，因为信号在传输中存在干扰和误差，所以在某一递信息，因为信号在传输中存在干扰和误差，所以在某一时刻时刻t t接收到接收到“0”“0”还是还是“1”“1”是一随机变量，记为是一随机变量，记为X(t).设设T是一无限实数集，把依赖于参数是一无限实数集，把依赖于参数 一族随机变量称为一族随机变量称为随机过程，记为随机过程，记为X(t)，。T称为参数集称为参数集,X(t)称为时称为时刻刻t时过程状态时过程状态,对于对于 ,X(t)全部可能取一切值全体称为全部可能取一切值全体称为随机过程状态空间随机过程状态空间.随机过程 随机序列 非 离 散 连续参数链 离散参数链离 散连 续离 散参数集参数集状态空间状态空间一一.随机过程定义随机过程定义电子科技大学应用数学学院第59页二二.随机过程分布及数字特征随机过程分布及数字特征 设设X(t)是一随机过程是一随机过程,对于任一对于任一 ,随机变量随机变量X(t)分布函分布函数记为数记为F(t;x),即即称称F(t;x)为随机过程为随机过程X(t)一维分布函数一维分布函数.对于任意对于任意 ,是一个二维是一个二维随机变量随机变量,其联其联合合分布函数为分布函数为 ,即即称为随机过程称为随机过程X(t)二维分布函数二维分布函数.称称m(t)为随机过程为随机过程X(t)均值函数均值函数;称称D(t)为随机过程为随机过程X(t)方差方差函数函数.设设电子科技大学应用数学学院第60页(1)X(t)状态空间是离散状态空间是离散,有有(2)当对任一当对任一t,X(t)是连续型随机变量时是连续型随机变量时,有有电子科技大学应用数学学院第61页 设给定随机过程设给定随机过程X(t),对于任意对于任意 ,随机变量随机变量 ,协方差协方差 记为记为称称 为随机过程为随机过程X(t)协方差函数协方差函数.称为随机过程称为随机过程X(t)相关函数相关函数.(1)X(t)状态空间是离散状态空间是离散,有有(2)当对任一当对任一t,X(t)是连续型随机变量时是连续型随机变量时,有有电子科技大学应用数学学院第62页例例4 4 设设g(t)为以周期为为以周期为L矩形波如图所表示矩形波如图所表示,Y为服从为服从两点分布随机变量两点分布随机变量,其分布以下其分布以下:0.5 0.5 -1 1Yt定义随机过程定义随机过程X(t)以下以下:对任意实数对任意实数 t,X(t)=Yg(t).则则电子科技大学应用数学学院第63页例例5 设设随机变量随机变量 ,Y 相互独立相互独立,均服从正态分布均服从正态分布N(0,1),定义定义随机过程以下随机过程以下:求求X(t)数字特征及一二维概率密度函数数字特征及一二维概率密度函数.解解:电子科技大学应用数学学院第64页例例6 设设随机余弦波随机余弦波其中其中,为常数，为常数，是在是在 上均匀分布随机变量。求上均匀分布随机变量。求X(t)数数字特征字特征.解：解：概率密度为概率密度为电子科技大学应用数学学院第65页电子科技大学应用数学学院第66页求向量组秩和最大无关组方法求向量组秩和最大无关组方法.例例3 求向量组求向量组 1=(1,2,0,3),2=(2,-1,3,1),3=(4,-7,9,-3)秩和一个最大无关组，并判断线性相关性秩和一个最大无关组，并判断线性相关性.解解 A=(1T,2T,3T)所以所以,秩秩(1,2,3)=2 1,2,3 线性相关线性相关.3,1,2为一个最大无关组为一个最大无关组.电子科技大学应用数学学院第67页例例4 求向量组求向量组 1=(1,2,0,3),2=(2,-1,3,0),3=(4,-7,9,-3)一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组线性表出一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组线性表出.解解 A=(1T,2T,3T)电子科技大学应用数学学院第68页 例例1 计算矩阵计算矩阵A范数范数解：电子科技大学应用数学学院第69页 例例2 计算矩阵计算矩阵A范数，行列式值，秩范数，行列式值，秩解：电子科技大学应用数学学院第70页因为因为所以，R(A)3 电子科技大学应用数学学院第71页 例例3 计算矩阵计算矩阵A范数，行列式值，秩范数，行列式值，秩解：电子科技大学应用数学学院第72页因为因为所以，R(A)3 电子科技大学应用数学学院第73页例例4预计矩阵预计矩阵A特征值实部和虚部范围特征值实部和虚部范围解解：又由又由 可得可得因为故于是，电子科技大学应用数学学院第74页例例5预计矩阵预计矩阵A特征值实部和虚部范围特征值实部和虚部范围解解：又由又由 可得可得因为故于是，电子科技大学应用数学学院第75页例例 6预计矩阵预计矩阵特征值特征值 分布范围分布范围电子科技大学应用数学学院第76页解：解：O推论推论 1电子科技大学应用数学学院第77页例例6 用高斯消元过程求解方程组用高斯消元过程求解方程组 解解：方程组增广矩阵为方程组增广矩阵为 电子科技大学应用数学学院第78页将第将第1行乘以行乘以3/2加到第加到第2行得行得 将第将第1行乘以行乘以2加到第加到第3行得行得 电子科技大学应用数学学院第79页将第将第2行乘以行乘以3加到第加到第3行得行得 将第将第2行乘以行乘以2得得 电子科技大学应用数学学院第80页解得解得 于是，方程组变为：于是，方程组变为：电子科技大学应用数学学院第81页例例7 求解线性方程组求解线性方程组解解：方程组系数矩阵为方程组系数矩阵为 于是，方程组变为于是，方程组变为 所以，方程组解为所以，方程组解为 电子科技大学应用数学学院第82页例例8 8 设有设有2个梨子，个梨子，3个苹果，个苹果，4个桃子和个桃子和5个桔子个桔子.求从这些水果中取出求从这些水果中取出1010个不一样方案数个不一样方案数.解：令解：令S为给定四类水果中取出为给定四类水果中取出5个组合组成集合，则个组合组成集合，则 设设 电子科技大学应用数学学院第83页由容斥原理得由容斥原理得 电子科技大学应用数学学院第84页例例9 9 设有设有2个香蕉，个香蕉，3个桃子，个桃子，1个苹果和个苹果和1颗荔枝颗荔枝.求从这些水果中取出求从这些水果中取出5个不一样方案数个不一样方案数.解：令解：令S为给定四类水果中取出为给定四类水果中取出5个组合组成集合，则个组合组成集合，则 设设 电子科技大学应用数学学院第85页由容斥原理得由容斥原理得 电子科技大学应用数学学院第86页例例10 10 将以下问题化为标准形将以下问题化为标准形.解：极大问题极小化：解：极大问题极小化：引入松弛变量引入松弛变量 引入松弛变量引入松弛变量 消去自由变量消去自由变量 电子科技大学应用数学学院第87页原规划标准形式为原规划标准形式为 电子科技大学应用数学学院第88页例例11 11 将以下问题化为标准形将以下问题化为标准形.解：极大问题极小化：解：极大问题极小化：引入松弛变量引入松弛变量 引入松弛变量引入松弛变量 消去自由变量消去自由变量 电子科技大学应用数学学院第89页原规划标准形式为原规划标准形式为 电子科技大学应用数学学院第90页例例1212 试求递推关系试求递推关系电子科技大学应用数学学院第91页电子科技大学应用数学学院第92页例例1313求解以下递推关系求解以下递推关系.解：设解：设 于是于是 拆开后得拆开后得 电子科技大学应用数学学院第93页即有即有 所以所以 各项标准化得各项标准化得 于是于是 电子科技大学应用数学学院第94页将将g(x)g(x)各项展开为幂级数得各项展开为幂级数得 将将g(x)g(x)展开为最简分式得展开为最简分式得 电子科技大学应用数学学院第95页所以所以 电子科技大学应用数学学院第96页解解:对应齐次递推关系为对应齐次递推关系为f(n)=2n-2且且1时特征根时特征根例例14 14 求解递推关系求解递推关系电子科技大学应用数学学院第97页例例15 15 随机变量随机变量A服从标准正态分布，随机变量服从标准正态分布，随机变量 服从均服从均匀分布匀分布求求解：均值解：均值 电子科技大学应用数学学院第98页自相关函数自相关函数 电子科技大学应用数学学院第99页例例16 16 随机变量随机变量A服从标准正态分布，随机变量服从标准正态分布，随机变量 服从均服从均匀分布匀分布求求解：均值解：均值 电子科技大学应用数学学院第100页自相关函数自相关函数 电子科技大学应用数学学院第101页电子科技大学应用数学学院第102页