金融数学省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第二章第二章 年金年金 年金年金是依据一个事先确定计划或者方案在一段时间内连续收付款行为。比如，养老金、按揭贷款、固定收益资产定时收入。分析方法是利用现金流分析方法，计算现值和终值。第1页学习关键点一、基本年金现值与终值计算一、基本年金现值与终值计算二、期末年金与期初年金关系二、期末年金与期初年金关系三、延续年金与永续年金现值三、延续年金与永续年金现值四、剩下付款期不是单位时间年金计算四、剩下付款期不是单位时间年金计算五、实际应用五、实际应用第2页2.1 基本年金定义定义2.1 若年金现金流在第一个付款期末首次发生，随即依次分期进行，则称这种年金为期末年金期末年金。（0，R，R，R）定义定义2.2 对于期末年金来说，假如每次付款为1个单位货币，共n期，则称之为n期标准期期标准期末年金末年金。（0，1，1，1）第3页n期标准期末年金现值上式变形可得n期标准期末年金终值这个终值能够写成第4页结论结论2.1证实证实（2）由（1）有 所以第5页例2.1（商业银行还款方式）现有期50万元贷款，年利率为8%。试计算以下四种还款方式应付利息：（1）在第10 年底一次付清；（2）每年年底偿还当年利息，本金最终一次付清；（3）每年年底偿还固定金额，还清；（4）每年年底偿还额由固定本金和剩下贷款利息组成，还清。第6页解解（1）一次性还完金额为50（1+8%）10=107.946250(万元)偿还利息为 107.946250-50=57.946250(万元)（2）所付利息为 508%10=40(万元)（3）设每期还款额为R，还款现金流为（0，R，R，R）现金流现值就是贷款金额，所以有第7页即解得R=7.451474（万元）共付利息为10R-50=24.514744（万元）商业银行将上述还款方式称之为等额本息等额本息法法。第8页（4）利用普通会计中平均摊销原理每期还款额=固定本金+剩下本金产生利息第1年底还款额为R1=50/10+50i=9（万元）第2年底还款额为R2=50/10+（50-5）i=8.6（万元）第2年底还款额为R3=50/10+（50-25）i=8.2（万元）普通，第k年底还款额为Rk=50/10+50-5（k-1)i=9-0.4（k-1)（万元）第9页共付利息为商业银行将上述还款方式称之为等额本金等额本金法法。比较一下，第（4）中还款方式所付利息最后少，而第（3）中还款方式最受欢迎。请大家思索一下？第10页 依据我们生活习惯，都愿意选择稳定点还款方式，等额本息法选择比较普遍。假如感觉还款压力不大，能够选择等额本金法，不过我们能够对等额本息法做一些调整，比如缩短短款年限，使得整体利息变少。第11页定义定义2.3 若年金现金流在第一个付款期初首次发生，随即依次分期进行，则称这种年金为期初年金期初年金。（R，R，R，0）定义定义2.4 对于期初年金来说，假如每次付款为1个单位货币，共n期，则称之为n期标准期期标准期初年金初年金。（1，1，1，0）n期标准期初年金：（1，1，1，0）第12页n期标准期初年金现值n期标准期末年金终值结论结论2.2 第13页证实证实（2）由（1）有所以 结论结论2.3第14页例2.2 某人从现值开始每年定时地投入相同一笔钱，希望在第底得到100万元回报。假如年利率为7%，实际上每年投入金额。解 假设投入现金流为（R，R，R，0）终值为100万元，则有解得R=5.224485（万元）第15页定义定义2.5 若年金现金流首次发生在递延了一段时间后进行，这么年金称为递延年金递延年金。比如，递延m期n期期末标准现金流（0，0，0，1，1，1）这个现金流现值能够认为是下面两个现金流现值差（0，1，1，1，1，1）和（0，1，1）即还能够表示为 第16页定义2.6 若年金现金流永远连续不停支付下去，没有终止日期，这么年金称为永续年金。例2.3 某人留下遗产10万元，第一个将每年利息付给甲，第二个将每年利息付给乙，后将每年利息付给丙丙一直持续下去，均在年底支付。假设年利率为7%，计算三人相对收益百分比。第17页解 甲受益相当于期期末年金，现值为乙受益相当于递延期期末年金，现值为丙受益相当于递延永续年金，现值为这三者受益百分比分别为49.2%，25.0%，25.2%第18页剩下付款期不是单位时间现金流计算当年金现金流为整数时，同时要确保每一期支付也为整数，就会造成现值与现金流不一致，产生零碎部分，对这一部分需进行处理。对于任意在0，1t，定义以下现值第19页例例2.4 现有10万元投资，年利率为5%，每年年底定时收回1万元。试问：这么定时回报能够进行多少年？对不足1万元最终一次回报部分，按一下三种方式计算回报金额。方式A：不足1万元部分与最终一次正常回报同时收回；方式B：不足1万元部分在最终一次正常回报下一年底收回；方式C：不足1万元部分在最终一次正常回报下一年某个等价时间收回；第20页解（1）设正常回报为n年，则有解得14n+t15，取n=14这种正常回报能够连续（2）设这三种方式对应不足部分金额为XA，XB，XC万元A方式现金流为（0，1，1，1+XA）有以下终值方程第21页解得XA=0.200684（万元）B方式现金流为（0，1，1，1，XB）有以下终值方程解得解得XB=0.210718（万元）C方式现金流为（0，1，1，1）和在后时间段为t现金流（0，XC）有以下现值方程第22页又因为所以有解得 t=0.2067于是XC=(1+i)t-1/i=0.202719(万元)第23页例2.5 某人每年底存入1000元，年利率为8%，希望经过若干年后到达25000元。若最终一次不足1000元存款将在正常存款一年后进行，试计算正常存款年数和最终一次存款金额。解 设正常存款年数为n，则有解得14n+t15，取n=14所以正常存款能够进行第24页设最终一次存款额为X，则有解得X=-1152即在底时候，不需要再追加资金，本身投资已经超出了预期目标。第25页补充例题（循环现金流）已知一笔现金流以下现在经过不停重复这个现金流，得到无限长度现金流 。设每一期利率为i，P和A分别表示现金流X现值和终值。试由P和A计算现金流 现值 。第26页解解 把每n项看做一个整体，则这是一个每期为Xn期永续年金。那么它现值为：一样，能够用A来表示。第27页