线性代数考试题及答案解析.doc

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__________________系__________专业___________班级 姓名_______________ 学号_______________
………………………………（密）………………………………（封）………………………………（线）………………………………
密 封 线 内 答 题 无 效

2009－2010学年第一学期期末考试
《线性代数》试卷
答卷说明：1、本试卷共6页,五个大题，满分100分,120分钟完卷.
2、闭卷考试。
题号
一
二
三
四
五
总分
分数

评阅人：_____________ 总分人:______________
得分

一、单项选择题.(每小题3分，共24分)
【 】1。行列式
(A） （B） （C) （D）
【 】2.设为阶方阵,数，，则
（A） (B） （C） （D)
【 】3.已知为阶方阵，则下列式子一定正确的是
（A) (B）
(C） （D)
【 】4。设为阶方阵， ，则
（A） （B） (C) (D)
【 】5.设矩阵与等价，则有
(A） （B）
（C) （D） 不能确定和的大小
【 】6。设元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为,则有非零解的充分必要条件是
(A） （B） （C) (D）
【 】7。 向量组线性相关的充分必要条件是
（A) 中至少有一个零向量
(B) 中至少有两个向量成比例
(C) 中每个向量都能由其余个向量线性表示
(D) 中至少有一个向量可由其余个向量线性表示
【 】8。 阶方阵与对角阵相似的充分必要条件是
（A） （B)有个互不相同的特征值
(C)有个线性无关的特征向量 （D）一定是对称阵
得分

二、填空题。(每小题3分,共15分）
1。已知阶行列式的第行元素分别为，它们的余子式分别为，则 。
2.设矩阵方程,则 。
3.设是非齐次线性方程组的一个特解，为对应齐次线性方程组的基础解系，则非齐次线性方程组的通解为 .
4。设矩阵的秩，则元齐次线性方程组的解集的最大无关组的秩 。
5。设是方阵的特征值，则 是的特征值
得分

三、计算题（每小题8分,共40分）.
1．计算行列式。
2.已知矩阵，求其逆矩阵。
3.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为,已知是它的三个解向量且
,，求该方程组的通解。
4.求矩阵的特征值和特征向量。
5。用配方法化二次型成标准型。
得分

四、综合体(每小题8分,共16分)
1. 解下列非齐次线性方程组
2. 已知向量组
求向量组的秩;向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用该最大无关组线性表示。
得分

五、证明题（5分）
证明：设阶方阵满足，证明及都可逆,并 求及.
一、单项选择题。(每小题3分，共24分
1 A 2 B 3 C 4 B 5 C 6 C 7 D 8 C
二、填空题。（每小题3分,共15分)
1。 2. 3。 4。 5.
三、计算题(每小题8分,共40分）.
1.
解：=………………（2分)
=………………（2分）
=………………（2分）
=0………………（2分）
2.已知矩阵,求其逆矩阵.
解: ………………（2分）
………………（4分）
则………………（2分）
3.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，已知是它的三个解向量且
，，求该方程组的通解。
解：由已知可得：对应的齐次线性方程组的解集的秩为，因此齐次线性方程组的任意非零解即为它的一个基础解系。………………(3分）
令
则
所以为齐次线性方程组的一个基础解系.………（3分）
由此可得非齐次线性方程组的通解为：
………………（2分）
4。求矩阵的特征值和特征向量。
解：的特征多项式为：
所以的特征值为.………………（4分）
（1）当时，对应的特征向量满足
，解得：
则对应的特征向量可取………………（2分)
（2）当时，对应的特征向量满足
，解得：
则对应的特征向量可取………………（2分）
5.用配方法化二次型成标准型。
解：
………………（4分）
令则把化成标准型得:…………（4分）
四．综合题(每小题8分，共16分)
1。解下列非齐次线性方程组
解：对增广矩阵作初等行变换
………………（5分)
由上式可写出原方程组的通解为:
………………（3分）
2.已知向量组
求向量组的秩；向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用该最大无关组线性表示。
解：………………（2分）
则,………………（2分）故向量组的最大无关组有2个向量，知为向量组的一个最大无关组。………………（2分）
且………………（2分）
五、证明题（5分）
证明：设阶方阵满足,证明及都可逆，并求及。
证明:
（1） 由已知可得:，知可逆,………………（2分）
（2） 由已知可得,
知可逆,………………(3分）
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