线性代数考试题及答案3.doc

_系_专业_班级 姓名_ 学号_（密）（封）（线）密 封 线 内 答 题 无 效 20092010学年第一学期期末考试线性代数试卷 答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分,120分钟完卷。 2、闭卷考试。 题号一二三四五总分分数 评阅人：_ 总分人：_得分一、单项选择题。（每小题3分，共24分)【 】1.行列式(A) （B) (C) (D） 【 】2.设为阶方阵,数，则（A） （B） （C) （D) 【 】3。已知为阶方阵，则下列式子一定正确的是（A） （B） （C） (D） 【 】4.设为阶方阵， ，则 (A） (B） (C） （D) 【 】5.设矩阵与等价，则有（A) (B） (C） （D) 不能确定和的大小【 】6。设元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，则有非零解的充分必要条件是(A） （B) （C） (D) 【 】7。 向量组线性相关的充分必要条件是(A) 中至少有一个零向量 （B) 中至少有两个向量成比例 (C) 中每个向量都能由其余个向量线性表示（D） 中至少有一个向量可由其余个向量线性表示【 】8. 阶方阵与对角阵相似的充分必要条件是（A） (B）有个互不相同的特征值 （C）有个线性无关的特征向量 （D）一定是对称阵得分二、填空题。(每小题3分,共15分）1。已知阶行列式的第行元素分别为，它们的余子式分别为，则 。2。设矩阵方程,则 。3.设是非齐次线性方程组的一个特解，为对应齐次线性方程组的基础解系,则非齐次线性方程组的通解为 .4.设矩阵的秩,则元齐次线性方程组的解集的最大无关组的秩 .5。设是方阵的特征值，则 是的特征值得分三、计算题(每小题8分,共40分）。1计算行列式。2.已知矩阵，求其逆矩阵。3.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，已知是它的三个解向量且，求该方程组的通解。4。求矩阵的特征值和特征向量。5。用配方法化二次型成标准型。得分四、综合体（每小题8分,共16分）1. 解下列非齐次线性方程组2. 已知向量组 求向量组的秩；向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用该最大无关组线性表示。得分五、证明题（5分）证明：设阶方阵满足，证明及都可逆,并 求及。一、单项选择题。（每小题3分,共24分1 A 2 B 3 C 4 B 5 C 6 C 7 D 8 C二、填空题.(每小题3分,共15分)1. 2。 3. 4。 5。 三、计算题(每小题8分,共40分）.1。解：=（2分）=（2分）=（2分）=0（2分）2。已知矩阵,求其逆矩阵。 解： （2分） （4分) 则（2分）3.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为,已知是它的三个解向量且，求该方程组的通解. 解：由已知可得：对应的齐次线性方程组的解集的秩为，因此齐次线性方程组的任意非零解即为它的一个基础解系.（3分) 令则所以为齐次线性方程组的一个基础解系.（3分)由此可得非齐次线性方程组的通解为：(2分）4.求矩阵的特征值和特征向量。 解：的特征多项式为： 所以的特征值为。（4分)(1）当时，对应的特征向量满足,解得:则对应的特征向量可取（2分）（2）当时，对应的特征向量满足,解得:则对应的特征向量可取（2分)5。用配方法化二次型成标准型.解： （4分） 令则把化成标准型得:（4分)四综合题（每小题8分,共16分）1.解下列非齐次线性方程组解:对增广矩阵作初等行变换（5分）由上式可写出原方程组的通解为：(3分)2。已知向量组 求向量组的秩；向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用该最大无关组线性表示. 解：(2分） 则，(2分)故向量组的最大无关组有2个向量，知为向量组的一个最大无关组.（2分） 且（2分）五、证明题（5分）证明：设阶方阵满足，证明及都可逆，并求及. 证明：（1） 由已知可得：，知可逆，（2分）（2） 由已知可得， 知可逆，（3分)线性代数试卷 （A） 第 3 页 共 3 页