自考历年线性代数考试试题及答案解析.doc

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自考历年线性代数考试试题及答案解析精选
第一部分选择题(共28分)
一、 单项选择题[本大题共14小题,每小题2分,共28分]在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内.错选或未选均无分.
1、设行列式=m, =n,则行列式等于[]
A、m+n B、-(m+n)
C、n-m D、m-n
2、设矩阵A=,则A-1等于[]
A、 B、
C、 D、
3、设矩阵A=,A*是A的伴随矩阵,则A*中位于[1,2]的元素是[]
A、–6 B、6
C、2 D、–2
4、设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有[]
A、A=0 B、BC时A=0
C、A0时B=C D、|A|0时B=C
5、已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩[AT]等于[]
A、1 B、2
C、3 D、4
6、设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则[]
A、有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0
B、有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1[α1+β1]+λ2[α2+β2]+…+λs[αs+βs]=0
C、有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1[α1-β1]+λ2[α2-β2]+…+λs[αs-βs]=0
D、有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0
7、设矩阵A的秩为r,则A中[]
A、全部r-1阶子式都不为0 B、全部r-1阶子式全为0
C、至少有一个r阶子式不等于0 D、全部r阶子式都不为0
8、设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下面结论错误的是[]
A、η1+η2是Ax=0的一个解 B、η1+η2是Ax=b的一个解
C、η1-η2是Ax=0的一个解 D、2η1-η2是Ax=b的一个解
9、设n阶方阵A不可逆,则必有[]
A、秩(A)<n B、秩(A)=n-1
C、A=0 D、方程组Ax=0只有零解
10、设A是一个n(≥3)阶方阵,下面陈述中正确的是[]
A、如存在数λ和向量α使Aα=λα,则α是A的属于特点值λ的特点向量
B、如存在数λ和非零向量α,使(λE-A)α=0,则λ是A的特点值
C、A的2个不同的特点值能够有同一个特点向量
D、如λ1,λ2,λ3是A的3个互不相同的特点值,α1,α2,α3依次是A的属于λ1,λ2,λ3的特点向量,则α1,α2,α3有可能线性相关
11、设λ0是矩阵A的特点方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特点向量的个数为k,则必有[]
A、k≤3 B、k<3
C、k=3 D、k>3
12、设A是正交矩阵,则下面结论错误的是[]
A、|A|2必为1 B、|A|必为1
C、A-1=AT D、A的行[列]向量组是正交单位向量组
13、设A是实对称矩阵,C是实可逆矩阵,B=CTAC、则[]
A、A和B相似
B、A和B不等价
C、A和B有相同的特点值
D、A和B合同
14、下面矩阵中是正定矩阵的为[]
A、 B、
C、 D、
第二部分非选择题[共72分]
二、填空题[本大题共10小题,每小题2分,共20分]不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内.错填或不填均无分.
15、 、
16、设A=,B=、则A+2B= 、
17、设A=(aij)3×3,|A|=2,Aij表示|A|中元素aij的代数余子式[i,j=1,2,3],则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= 、
18、设向量[2,-3,5]和向量[-4,6,a]线性相关,则a= 、
19、设A是3×4矩阵,其秩为3,若η1,η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解,则它的通解为 、
20、设A是m×n矩阵,A的秩为r(<n),则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 、
21、设向量α、β的长度依次为2和3,则向量α+β和α-β的内积[α+β,α-β]= 、
22、设3阶矩阵A的行列式|A|=8,已知A有2个特点值-1和4,则另一特点值为 、
23、设矩阵A=,已知α=是它的一个特点向量,则α所对应的特点值为 、
24、设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为 、
三、计算题[本大题共7小题,每小题6分,共42分]
25、设A=,B=、求[1]ABT；[2]|4A|、
26、试计算行列式、
27、设矩阵A=,求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B、
28、给定向量组α1=,α2=,α3=,α4=、
试判断α4是否为α1,α2,α3的线性组合；若是,则求出组合系数.
29、设矩阵A=、
求:[1]秩[A]；
[2]A的列向量组的一个最大线性无关组.
30、设矩阵A=的全部特点值为1,1和-8、求正交矩阵T和对角矩阵D,使T-1AT=D、
31、试用配方法化下面二次型为标准形
f(x1,x2,x3)=,
并写出所用的满秩线性变换.
四、证明题[本大题共2小题,每小题5分,共10分]
32、设方阵A满足A3=0,试证明E-A可逆,且[E-A]-1=E+A+A2、
33、设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解,ξ1,ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系、试证明
[1]η1=η0+ξ1,η2=η0+ξ2均是Ax=b的解；
[2]η0,η1,η2线性无关.
答案:
一、单项选择题[本大题共14小题,每小题2分,共28分]
1、D 2、B 3、B 4、D 5、C
6、D 7、C 8、A 9、A 10、B
11、A 12、B 13、D 14、C
二、填空题[本大题共10空,每空2分,共20分]
15、6
16、
17、4
18、–10
19、η1+c(η2-η1)[或η2+c(η2-η1)],c为任意常数
20、n-r
21、–5
22、–2
23、1
24、
三、计算题[本大题共7小题,每小题6分,共42分]
25、解[1]ABT=
=、
[2]|4A|=43|A|=64|A|,而
|A|=、
因此|4A|=64·[-2]=-128
26、解
=
=
27、解AB=A+2B即[A-2E]B=A,而
[A-2E]-1=
因此B=(A-2E)-1A=
=
28、解一

因此α4=2α1+α2+α3,组合系数为[2,1,1]、
解二考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3,
即
方程组有唯一解[2,1,1]T,组合系数为[2,1,1]、
29、解对矩阵A施行初等行变换
A
=B、
[1]秩[B]=3,因此秩[A]=秩[B]=3、
[2]由于A和B的列向量组有相同的线性关系,而B是阶梯形,B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组,故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组.
[A的第1、2、5列或1、3、4列,或1、3、5列也是]
30、解A的属于特点值λ=1的2个线性无关的特点向量为
ξ1=[2,-1,0]T,ξ2=[2,0,1]T、
经正交标准化,得η1=,η2=、
λ=-8的一个特点向量为
ξ3=,经单位化得η3=
所求正交矩阵为T=、
对角矩阵D=
[也可取T=、]
31、解f(x1,x2,x3)=[x1+2x2-2x3]2-2x22+4x2x3-7x32
=[x1+2x2-2x3]2-2[x2-x3]2-5x32、
设,即,
因其系数矩阵C=可逆,故此线性变换满秩.
经此变换即得f(x1,x2,x3)的标准形
y12-2y22-5y32、
四、证明题[本大题共2小题,每小题5分,共10分]
32、证由于[E-A][E+A+A2]=E-A3=E,
因此E-A可逆,且
[E-A]-1=E+A+A2、
33、证由假设Aη0=b,Aξ1=0,Aξ2=0、
[1]Aη1=A[η0+ξ1]=Aη0+Aξ1=b,同理Aη2=b,
因此η1,η2是Ax=b的2个解.
[2]考虑l0η0+l1η1+l2η2=0,
即[l0+l1+l2]η0+l1ξ1+l2ξ2=0、
则l0+l1+l2=0,否则η0将是Ax=0的解,矛盾.因此
l1ξ1+l2ξ2=0、
又由假设,ξ1,ξ2线性无关,因此l1=0,l2=0,从而l0=0、
因此η0,η1,η2线性无关.
线性代数期末考试题
一、填空题[将正确答案填在题中横线上.每小题2分,共10分]
1、若,则__________.
2、若齐次线性方程组只有零解,则应满足 .
3、已知矩阵,满足,则和分别是 阶矩阵.
4、矩阵的行向量组线性 .
5、阶方阵满足,则 .
二、判断正误[正确的在括号内填”√”,错误的在括号内填”×”.每小题2分,共10分]
1、若行列式中每个元素都大于零,则.[]
2、零向量一定能够表示成任意一组向量的线性组合.[]
3、向量组中,假如和对应的分量成比例,则向量组线性相关.[]
4、,则.[]
5、若为可逆矩阵的特点值,则的特点值为.<>
三、单项选择题(每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内.每小题2分,共10分)
1、设为阶矩阵,且,则[].
① ② ③ ④4
2、维向量组[3£s£n]线性无关的充要条件是[].
①中任意两个向量都线性无关
②中存在一个向量不能用其它向量线性表示
③中任一个向量都不能用其它向量线性表示
④中不含零向量
3、下面命题中正确的是<>.
①任意个维向量线性相关
②任意个维向量线性无关
③任意个维向量线性相关
④任意个维向量线性无关
4、设,均为n阶方阵,下面结论正确的是<>.
①若,均可逆,则可逆 ②若,均可逆,则可逆
③若可逆,则可逆 ④若可逆,则,均可逆
5、若是线性方程组的基础解系,则是的[]
①解向量 ②基础解系 ③通解 ④A的行向量
四、计算题(每小题9分,共63分)
1、计算行列式.
解·

2、设,且求.
解、,
3、设且矩阵满足关系式求.
4、问取何值时,下面向量组线性相关?.
5、为何值时,线性方程组有唯一解,无解和有无穷多解?当方程组有无穷多解时求其通解.
①当且时,方程组有唯一解；
②当时方程组无解
③当时,有无穷多组解,通解为
6、设求此向量组的秩和一个极大无关组,并将其它向量用该极大无关组线性表示.
7、设,求的特点值及对应的特点向量.
五、证明题(7分)
若是阶方阵,且证明.其中为单位矩阵.
×××大学线性代数期末考试题答案
一、填空题
1、5 2、 3、 4、相关
5、
二、判断正误
1、× 2、√ 3、√ 4、√ 5、×
三、单项选择题
1、③ 2、③ 3、③ 4、② 5、①
四、计算题
1、

2、
,
3、

4、
当或时,向量组线性相关.
5、
①当且时,方程组有唯一解；
②当时方程组无解
③当时,有无穷多组解,通解为
6、

则,其中构成极大无关组,
7、

特点值,对于λ1＝1,,特点向量为
五、证明题

∴,∵
【线性代数】复习提纲
第一部分:基本要求[计算方面]
四阶行列式的计算；
N阶特殊行列式的计算[如有行和、列和相等]；
矩阵的运算[包含加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算]；
求矩阵的秩、逆[两种方法]；解矩阵方程；
含参数的线性方程组解的情况的讨论；
齐次、非齐次线性方程组的求解[包含唯一、无穷多解]；
讨论一个向量能否用和向量组线性表示；
讨论或证明向量组的相关性；
求向量组的极大无关组,并将多余向量用极大无关组线性表示；
将无关组正交化、单位化；
求方阵的特点值和特点向量；
讨论方阵能否对角化,如能,要能写出相似变换的矩阵及对角阵；
经过正交相似变换[正交矩阵]将对称矩阵对角化；
写出二次型的矩阵,并将二次型标准化,写出变换矩阵；
判定二次型或对称矩阵的正定性.
第二部分:基本知识
一、行列式
1、行列式的定义
用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式.
　[1]它表示全部可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；
　[2]展开式共有n!项,其中符号正负各半；
2、行列式的计算
一阶|α|=α行列式,二、三阶行列式有对角线法则；
N阶[n>=3]行列式的计算:降阶法
　定理:n阶行列式的值等于它的任意一行[列]的各元素和其对应的代数余子式乘积的和.
　方法:选取比较简单的一行[列],保保留一个非零元素,其它元素化为0,利用定理展开降阶.
特殊情况
上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；
[2]行列式值为0的几种情况:
　Ⅰ　行列式某行[列]元素全为0；
Ⅱ　行列式某行[列]的对应元素相同；
Ⅲ　行列式某行[列]的元素对应成比例；
Ⅳ　奇数阶的反对称行列式.
二、矩阵
　1、矩阵的基本概念[表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等]；
　2、矩阵的运算
[1]加减、数乘、乘法运算的条件、结果；
[2]关于乘法的几个结论:
①矩阵乘法一般不满足交换律[若AB＝BA,称A、B是可交换矩阵]；
②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；
③若A、B为同阶方阵,则|AB|=|A|*|B|；
④|kA|=k^n|A|
　3、矩阵的秩
[1]定义　非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；
[2]秩的求法　　一般不用定义求,而用下面结论:
矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数[每行的第一个非零元所在列,从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵].
求秩:利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩.
　4、逆矩阵
　[1]定义:A、B为n阶方阵,若AB＝BA＝I,称A可逆,B是A的逆矩阵[满足半边也成立]；
　[2]性质:　(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1),(A')^-1=(A^-1)'；(AB的逆矩阵,您懂的)[注意顺序]
　[3]可逆的条件:
　①　|A|≠0；　②r(A)=n;③A->I;
[4]逆的求解
伴随矩阵法　A^-1=(1/|A|)A*；(A*A的伴随矩阵~)
②初等变换法[A:I]->(施行初等变换)[I:A^-1]　
5、用逆矩阵求解矩阵方程:
AX=B,则X=[A^-1]B；
XB=A,则X=B(A^-1)；
AXB=C,则X=(A^-1)C(B^-1)
三、线性方程组
1、线性方程组解的判定
定理:
(1)r(A,b)≠r(A)无解；
(2)r(A,b)=r(A)=n有唯一解；
(3)r(A,b)=r(A)<n有无穷多组解；
特别地:对齐次线性方程组AX=0
(1)r(A)=n只有零解；(2)r(A)<n有非零解；
再特别,若为方阵,(1)|A|≠0只有零解(2)|A|=0有非零解
2、齐次线性方程组
[1]解的情况:r(A)=n,[或系数行列式D≠0]只有零解；
r(A)<n,[或系数行列式D＝0]有无穷多组非零解.
[2]解的结构:
　X=c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r.
[3]求解的方法和步骤:
　①将增广矩阵经过行初等变换化为最简阶梯阵；
②写出对应同解方程组；
③移项,利用自由未知数表示全部未知数；
④表示出基础解系；
⑤写出通解.
3、非齐次线性方程组
[1]解的情况:利用判定定理.
[2]解的结构:　X=u+c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r.
[3]无穷多组解的求解方法和步骤:　和齐次线性方程组相同.
[4]唯一解的解法:有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法[初等变换法].
四、向量组1、N维向量的定义注:向量实际上就是特殊的矩阵[行矩阵和列矩阵].
2、向量的运算:
[1]加减、数乘运算[和矩阵运算相同]；
[2]向量内积　α'β=a1b1+a2b2+…+anbn；
[3]向量长度　|α|=√α'α=√(a1^2+a2^2+…+an^2)(√根号)
[4]向量单位化　(1/|α|)α；
5]向量组的正交化[施密特方法]
　设α1,α2,…,αn线性无关,则
　β1=α1,
　β2=α2-[α2’β1/β1’β]*β1,
　β3=α3-[α3’β1/β1’β1]*β1-[α3’β2/β2’β2]*β2,……….
3、线性组合
[1]定义　若β=k1α1+k2α2+…+knαn,则称β是向量组α1,α2,…,αn的一个线性组合,或称β能够用向量组α1,α2,…,αn的一个线性表示.
[2]判别方法　将向量组合成矩阵,记
　A＝(α1,α2,…,αn),B=(α1,α2,…,αn,β)
若　r(A)=r(B),则β能够用向量组α1,α2,…,αn的一个线性表示；
若　r(A)≠r(B),则β不能够用向量组α1,α2,…,αn的一个线性表示.
[3]求线性表示表示式的方法:
　将矩阵B施行行初等变换化为最简阶梯阵,则最后一列元素就是表示的系数.
4、向量组的线性相关性
[1]线性相关和线性无关的定义　设k1α1+k2α2+…+knαn=0　若k1,k2,…,kn不全为0,称线性相关；　若k1,k2,…,kn全为0,称线性无关.
[2]判别方法:①r(α1,α2,…,αn)<n,线性相关；r(α1,α2,…,αn)=n,线性无关.②若有n个n维向量,可用行列式判别:　n阶行列式aij＝0,线性相关[≠0无关](行列式太不好打了)
5、极大无关组和向量组的秩
[1]定义　极大无关组所含向量个数称为向量组的秩
[2]求法　设A＝(α1,α2,…,αn),将A化为阶梯阵,则A的秩即为向量组的秩,而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组.
五、矩阵的特点值和特点向量
1、定义　对方阵A,若存在非零向量X和数λ使AX＝λX,则称λ是矩阵A的特点值,向量X称为矩阵A的对应于特点值λ的特点向量.
2、特点值和特点向量的求解:　求出特点方程|λI-A|=0的根即为特点值,将特点值λ代入对应齐次线性方程组(λI-A)X＝0中求出方程组的全部非零解即为特点向量.
3、重要结论:
[1]A可逆的充要条件是A的特点值不等于0；[2]A和A的转置矩阵A'有相同的特点值；[3]不同特点值对应的特点向量线性无关.
六、矩阵的相似
1、定义　对同阶方阵A、B,若存在可逆矩阵P,使P^-1AP=B,则称A和B相似.
2、求A和对角矩阵∧相似的方法和步骤[求P和∧]:
求出全部特点值；求出全部特点向量；
若所得线性无关特点向量个数和矩阵阶数相同,则A可对角化[否则不能对角化],将这n个线性无关特点向量组成矩阵即为相似变换的矩阵P,依次将对应特点值构成对角阵即为∧.
3、求经过正交变换Q和实对称矩阵A相似的对角阵:
　方法和步骤和一般矩阵相同,只是第三歩要将所得特点向量正交化且单位化.
七、二次型1、定义　n元二次多项式f(x1,x2,…,xn)=∑aijxixj称为二次型,若aij=0(i≠j),则称为二交型的标准型.i,j=1
2、二次型标准化:　配方法和正交变换法.正交变换法步骤和上面对角化完全相同,这是由于对正交矩阵Q,Q^-1=Q',即正交变换既是相似变换又是合同变换.
3、二次型或对称矩阵的正定性:[1]定义[略]；[2]正定的充要条件:①A为正定的充要条件是A的全部特点值都大于0；②A为正定的充要条件是A的全部顺序主子式都大于0
高等教育自学考试
试题部分
说明:本卷中,AT表示矩阵A的转置,αT表示向量α的转置,E表示单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式,A-1表示方阵A的逆矩阵,r[A]表示矩阵A的秩、
一、单项选择题[本大题共10小题,每小题2分,共30分]
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.
1、设行列式[]
A、 B、1
C、2 D、
2、设A,B,C为同阶可逆方阵,则[ABC]-1=[]
A、A-1B-1C-1 B、C-1B-1A-1
C、C-1A-1B-1 D、A-1C-1B-1
3、设α1,α2,α3,α4是4维列向量,矩阵A=[α1,α2,α3,α4]、假如|A|=2,则|-2A|=[]
A、-32 B、-4
C、4 D、32
4、设α1,α2,α3,α4是三维实向量,则[]
A、α1,α2,α3,α4一定线性无关 B、α1一定可由α2,α3,α4线性表出
C、α1,α2,α3,α4一定线性相关 D、α1,α2,α3一定线性无关
5、向量组α1=[1,0,0],α2=[1,1,0],α3=[1,1,1]的秩为[]
A、1 B、2
C、3 D、4
6、设A是4×6矩阵,r[A]=2,则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数是[]
A、1 B、2
C、3 D、4
7、设A是m×n矩阵,已知Ax=0只有零解,则以下结论正确的是[]
A、m≥n B、Ax=b[其中b是m维实向量]必有唯一解
C、r[A]=m D、Ax=0存在基础解系
8、设矩阵A=,则以下向量中是A的特点向量的是[]
A、[1,1,1]T B、[1,1,3]T
C、[1,1,0]T D、[1,0,-3]T
9、设矩阵A=的三个特点值分别为λ1,λ2,λ3,则λ1+λ2+λ3=[]
A、4 B、5
C、6 D、7
10、三元二次型f[x1,x2,x3]=的矩阵为[]
A、 B、
C、 D、
二、填空题[本大题共10小题,每小题2分,共20分]
请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.
11、行列式=_________、
12、设A=,则A-1=_________、
13、设方阵A满足A3-2A+E=0,则[A2-2E]-1=_________、
14、实数向量空间V={[x1,x2,x3]|x1+x2+x3=0}的维数是_________、
15、设α1,α2是非齐次线性方程组Ax=b的解、则A[5α2-4α1]=_________、
16、设A是m×n实矩阵,若r[ATA]=5,则r[A]=_________、
17、设线性方程组有无穷多个解,则a=_________、
18、设n阶矩阵A有一个特点值3,则|-3E+A|=_________、
19、设向量α=[1,2,-2],β=[2,a,3],且α和β正交,则a=_________、
20、二次型的秩为_________、
三、计算题[本大题共6小题,每小题9分,共54分]
21、计算4阶行列式D=、
22、设A=,判断A是否可逆,若可逆,求其逆矩阵A-1、
23、设向量α=[3,2],求[αTα]101、
24、设向量组α1=[1,2,3,6],α2=[1,-1,2,4],α3=[-1,1,-2,-8],α4=[1,2,3,2]、
[1]求该向量组的一个极大线性无关组；
[2]将其它向量表示为该极大线性无关组的线性组合、
线性代数试题
课程代码:04184
一、单项选择题[本大题共20小题,每小题1分,共20分]
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.
1、已知2阶行列式=m, =n,则=[]
A、m-nB、n-mC、m+nD、-[m+n]
2、设A,B,C均为n阶方阵,AB=BA,AC=CA,则ABC=[]
A、ACBB、CABC、CBAD、BCA
3、设A为3阶方阵,B为4阶方阵,且行列式|A|=1,|B|=-2,则行列式||B|A|之值为[]
A、-8B、-2C、2D、8
4、已知A=,B=,P=,Q=,则B=[]
A、PAB、APC、QAD、AQ
5、已知A是一个3×4矩阵,下面命题中正确的是[]
A、若矩阵A中全部3阶子式都为0,则秩[A]=2 B、若A中存在2阶子式不为0,则秩[A]=2
C、若秩[A]=2,则A中全部3阶子式都为0D、若秩[A]=2,则A中全部2阶子式都不为0
6、下面命题中错误的是[]
A、只含有一个零向量的向量组线性相关 B、由3个2维向量组成的向量组线性相关
C、由一个非零向量组成的向量组线性相关 D、两个成比例的向量组成的向量组线性相关
7、已知向量组α1,α2,α3线性无关,α1,α2,α3,β线性相关,则[]
A、α1必能由α2,α3,β线性表出B、α2必能由α1,α3,β线性表出C、α3必能由α1,α2,β线性表出D、β必能由α1,α2,α3线性表出
8、设A为m×n矩阵,m≠n,则齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A的秩[]
A、小于mB、等于mC、小于nD、等于n
9、设A为可逆矩阵,则和A必有相同特点值的矩阵为[]
A、ATB、A2C、A-1D、A*
10、二次型f[x1,x2,x3]=的正惯性指数为[]
A、0B、1C、2D、3
二、填空题[本大题共10小题,每小题2分,共20分]请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.
11、行列式的值为_________________________、
12、设矩阵A=,B=,则ATB=____________________________、
13、设4维向量[3,-1,0,2]T,β=[3,1,-1,4]T,若向量γ满足2γ=3β,则γ=__________、
14、设A为n阶可逆矩阵,且|A|=,则|A-1|=___________________________、
15、设A为n阶矩阵,B为n阶非零矩阵,若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解,则|A|=__________________、
16、齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为________________、
17、设n阶可逆矩阵A的一个特点值是-3,则矩阵必有一个特点值为_____________、
18、设矩阵A=的特点值为4,1,-2,则数x=________________________、
19、已知A=是正交矩阵,则a+b=_______________________________.
20、二次型f[x1,x2,x3]=-4x1x2+2x1x3+6x2x3的矩阵是_______________________________.
三、计算题[本大题共6小题,每小题9分,共54分]
21、计算行列式D=的值.
22、已知矩阵B=[2,1,3],C=[1,2,3],求[1]A=BTC；[2]A2.
23、设向量组求向量组的秩及一个极大线性无关组,并用该极大线性无关组表示向量组中的其它向量.
24、已知矩阵A=,B=、[1]求A-1；[2]解矩阵方程AX=B.
25、问a为何值时,线性方程组有惟一解?有无穷多解?并在有解时求出其解[在有无穷多解时,要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解].
26、设矩阵A=的三个特点值分别为1,2,5,求正的常数a的值及可逆矩阵P,使P-1AP=.
四、证明题[本题6分]
27、设A,B,A+B均为n阶正交矩阵,证明[A+B]-1=A-1+B-1.
全国 7月高等教育自学考试
试卷说明:在本卷中,AT表示矩阵A的转置矩阵；A*表示A的伴随矩阵；R(A)表示矩阵A的秩；|A|表示A的行列式；E表示单位矩阵.
1、设3阶方阵A=[α1,α2,α3],其中αi(i=1,2,3)为A的列向量,
若|B|=|[α1+2α2,α2,α3]|=6,则|A|=[]A、-12 B、-6C、6 D、12
2、计算行列式[]A、-180 B、-120C、120 D、180
3、设A=,则|2A*|=[]A、-8 B、-4C、4 D、8
4、设α1,α2,α3,α4都是3维向量,则必有
A、α1,α2,α3,α4线性无关 B、α1,α2,α3,α4线性相关
C、α1可由α2,α3,α4线性表示 D、α1不可由α2,α3,α4线性表示
5、若A为6阶方阵,齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2,则R(A)=[]A、2 B3C、4 D、5
6、设A、B为同阶矩阵,且R(A)=R(B),则[]A、A和B相似 B、|A|=|B|C、A和B等价 D、A和B合同
7、设A为3阶方阵,其特点值分别为2,l,0则|A+2E|=[]A、0 B、2C、3 D、24
8、若A、B相似,则下面说法错误的是[]A、A和B等价 B、A和 B合同C、|A|=|B| D、A和B有相同特点
9、若向量α=(1,-2,1)和β=(2,3,t)正交,则t=[]A、-2 B、0C、2 D、4
10、设3阶实对称矩阵A的特点值分别为2,l,0,则[]A、A正定 B、A半正定C、A负定 D、A半负定
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.
1l、设A=,B=,则AB=________、
12、设A为3阶方阵,且|A|=3,则|3A-l|=________、
13、三元方程x1+x2+x3=0的结构解是________、
14、设α=(-1,2,2),则和α反方向的单位向量是______、
15、设A为5阶方阵,且R(A)=3,则线性空间W={x|Ax=0}的维数是______、
16、设A为3阶方阵,特点值分别为-2,,l,则|5A-1|=_______、
17、若A、B为同阶方阵,且Bx=0只有零解,若R(A)=3,则R(AB)=________、
18、二次型f(x1,x2,x3)= -2x1x2+-x2x3所对应的矩阵是________、
19、设3元非齐次线性方程组Ax=b有解α1=,α2=,且R(A)=2,则Ax=b的通解是________、
20、设α=,则A=ααT的非零特点值是_____、
三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)
21、计算5阶行列式D=22、设矩阵X满足方程X=求X、
23、求非齐次线性方程组
的结构解、
24、求向量组α1=[1,2,3,4],α2=[0,-1,2,3],α3=[2,3,8,11],
α4=[2,3,6,8]的秩、
25、已知A=的一个特点向量=[1,1,-1]T,求a,b及所对应的特点值,并写出对应于这个特点值的全部特点向量、
26、用正交变换化二次型f(x1,x2,x3)=为标准形,并写出所用的正交变换、
四、证明题[本大题共1小题,6分]
27、设α1,α2,α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系、证明α1,α1+α2,α2+α3也是Ax=0的基础解系、
全国 10月高等教育自学考试
线性代数(经管类)试题
课程代码:04184
说明:在本卷中,AT表示矩阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式,r(A)表示矩A的秩、
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.
1、设A为3阶矩阵,|A|=1,则|-2AT|=<>
A、-8B、-2C、2 D、8
2、设矩阵A=,B=(1,1),则AB=<>
A、0B、(1,-1)C、 D、
3、设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称矩阵,则下面矩阵中为反对称矩阵的是<>
A、AB-BAB、AB+BAC、ABD、BA
4、设矩阵A的伴随矩阵A*=,则A-1=<>
A、 B、 C、 D、
5、下面矩阵中不是初等矩阵的是<>
A、 B、 C、 D、
6、设A,B均为n阶可逆矩阵,则必有<>
A、A+B可逆B、AB可逆C、A-B可逆 D、AB+BA可逆
7、设向量组α1=(1,2),α2=(0,2),β=(4,2),则<>
A、α1,α2,β线性无关B、β不能由α1,α2线性表示
C、β可由α1,α2线性表示,但表示法不惟一D、β可由α1,α2线性表示,且表示法惟一
8、设A为3阶实对称矩阵,A的全部特点值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为<>
A、0B、1C、2 D、3
9、设齐次线性方程组有非零解,则为<>
A、-1B、0C、1 D、2
10、设二次型f(x)=xTAx正定,则下面结论中正确的是<>
A、对任意n维列向量x,xTAx都大于零B、f的标准形的系数都大于或等于零
C、A的特点值都大于零D、A的全部子式都大于零
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.
11、行列式的值为_________、
12、已知A=,则|A|中第一行第二列元素的代数余子式为_________、
13、设矩阵A=,P=,则AP3=_________、
14、设A,B都是3阶矩阵,且|A|=2,B=-2E,则|A-1B|=_________、
15、已知向量组α1,=(1,2,3),α2=(3,-1,2),α3=(2,3,k)线性相关,则数k=_________、
16、已知Ax=b为4元线性方程组,r(A)=3,α1,α2,α3为该方程组的3个解,且则该线性方程组的通解是_________、
17、已知P是3阶正交矩,向量_________、
18、设2是矩阵A的一个特点值,则矩阵3A必有一个特点值为_________、
19、和矩阵A=相似的对角矩阵为_________、
20、设矩阵A=,若二次型f=xTAx正定,则实数k的取值范围是_________、
三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)
21、求行列式D=
22、设矩阵A=求满足矩阵方程XA-B=2E的矩阵X、
23、若向量组的秩为2,求k的值、
24、设矩阵
(1)求A-1;
(2)求解线性方程组Ax=b,并将b用A的列向量组线性表出、
25、已知3阶矩阵A的特点值为-1,1,2,设B=A2+2A-E,求
(1)矩阵A的行列式及A的秩、
(2)矩阵B的特点值及和B相似的对角矩阵、
26、求二次型f(x1,x2,x3)=-4x1x2+2x1x3+2x2x3经可逆线性变换所得的标准形、
四、证明题(本题6分)
27、设n阶矩阵A满足A2=E,证明A的特点值只能是、
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考试复习方法和技巧
首先要对自己有足够的信心，坚信自己有很大的上升空间，有未曾开发的潜力，事实上人的潜力是无穷的！
首先，思想重视 复习是考试取得好成绩的有力保证。应在思想上重视它，不能马虎麻痹。因为考试考查面涵盖很广.学了一学期，究竟学得怎么样需要通过考试来检验。
其次，讲究方法 俗话说：工欲善其事，必先利其器。意思是说无论做什么事，都要事先做好准