人教版2024高中数学必修一第三章函数的概念与性质(三十二).docx

人教版2024高中数学必修一第三章函数的概念与性质(三十二)

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单选题
1、已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1，则k=122f(k)=（    ）
A．-3B．-2C．0D．1
答案：A
分析：法一：根据题意赋值即可知函数fx的一个周期为6，求出函数一个周期中的f1,f2,⋯,f6的值，即可解出．
[方法一]：赋值加性质
因为fx+y+fx-y=fxfy，令x=1,y=0可得，2f1=f1f0，所以f0=2，令x=0可得，fy+f-y=2fy，即fy=f-y，所以函数fx为偶函数，令y=1得，fx+1+fx-1=fxf1=fx，即有fx+2+fx=fx+1，从而可知fx+2=-fx-1，fx-1=-fx-4，故fx+2=fx-4，即fx=fx+6，所以函数fx的一个周期为6．因为f2=f1-f0=1-2=-1，f3=f2-f1=-1-1=-2，f4=f-2=f2=-1，f5=f-1=f1=1，f6=f0=2，所以
一个周期内的f1+f2+⋯+f6=0．由于22除以6余4，
所以k=122fk=f1+f2+f3+f4=1-1-2-1=-3．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由fx+y+fx-y=fxfy，联想到余弦函数和差化积公式
cosx+y+cosx-y=2cosxcosy，可设fx=acosωx，则由方法一中f0=2,f1=1知a=2,acosω=1，解得cosω=12，取ω=π3，
所以fx=2cosπ3x，则
fx+y+fx-y=2cosπ3x+π3y+2cosπ3x-π3y=4cosπ3xcosπ3y=fxfy，所以fx=2cosπ3x符合条件，因此f(x)的周期T=2ππ3=6，f0=2,f1=1，且f2=-1,f3=-2,f4=-1,f5=1,f6=2，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0，
由于22除以6余4，
所以k=122fk=f1+f2+f3+f4=1-1-2-1=-3．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.
2、函数y=x+4+1x+1的定义域为（    ）
A．-4,-1B．-4,-1∪-1,+∞C．-1,+∞D．-4,+∞
答案：B
分析：偶次开根根号下为非负，分式分母不为零，据此列出不等式组即可求解.
依题意x+4≥0x+1≠0，解得x≥-4x≠-1，
所以函数的定义域为-4,-1∪-1,+∞.
故选：B．
3、下列函数既是偶函数又在0,+∞上单调递减的是（    ）
A．y=x+1xB．y=-x3C．y=2-xD．y=-1x2 
答案：C
分析：逐项判断函数奇偶性和单调性，得出答案.
解析：A项y=x+1x，B项y=-x3均为定义域上的奇函数，排除；
D项y=-1x2为定义域上的偶函数，在(0,+∞)单调递增，排除；
C项y=2-x为定义域上的偶函数，且在(0,+∞)上单调递减.
故选：C.
4、设函数f(x)=1-x1+x，则下列函数中为奇函数的是（    ）
A．fx-1-1B．fx-1+1C．fx+1-1D．fx+1+1
答案：B
分析：分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
由题意可得f(x)=1-x1+x=-1+21+x，
对于A，fx-1-1=2x-2不是奇函数；
对于B，fx-1+1=2x是奇函数；
对于C，fx+1-1=2x+2-2，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，fx+1+1=2x+2，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
小提示：本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.
5、已知幂函数f(x)=k⋅xα的图象经过点(3,3)，则k+α等于（    ）
A．32B．12C．2D．3
答案：A
分析：由于函数为幂函数，所以k=1，再将点(3,3)代入解析式中可求出α的值，从而可求出k+α
解：因为f(x)=k⋅xα为幂函数，所以k=1，所以f(x)=xα，
因为幂函数的图像过点(3,3)，
所以3=3α，解得α=12，
所以k+α=1+12=32，
故选：A
6、已知幂函数y=xa与y=xb的部分图像如图所示，直线x=m2，x=m0<m<1与y=xa，y=xb的图像分别交于A，B，C，D四点，且AB=CD，则ma+mb=（    ）

A．12B．1C．2D．2
答案：B
分析：表示出AB,CD，由幂函数的图象可得b>1>a>0，从而得m2a>m2b，ma>mb，再由AB=CD，代入化简计算，即可求解出答案.
由题意，AB=m2a-m2b，CD=ma-mb，根据图象可知b>1>a>0，当0<m<1时，m2a>m2b，ma>mb，因为AB=CD，所以m2a-m2b=ma+mbma-mb=ma-mb，因为ma-mb>0，可得ma+mb=1.
故选：B
7、函数的y=-x2-6x-5值域为（    ）
A．0,+∞B．0,2
C．2,+∞D．2,+∞
答案：B
分析：令u=-x2-6x-5，则u≥0，再根据二次函数的性质求出u的最大值，进而可得u的范围，再计算y=u的范围即可求解.
令u=-x2-6x-5，则u≥0且y=u
又因为u=-x2-6x-5=-x+32+4≤4，
所以0≤u≤4，所以y=u∈0,2，
即函数的y=-x2-6x-5值域为0,2，
故选：B.
8、函数y=x33x4-1的图像大致是（    ）
A．B．
C．D．
答案：A
分析：利用x=2时y>0排除选项D，利用x=-2时y<0排除选项C，利用x=12时y<0排除选项B，所以选项A正确.
函数y=x33x4-1的定义域为xx≠±1
当x=2时，y=23324-1=8315>0，可知选项D错误；
当x=-2时，y=-233-24-1=-8315<0，可知选项C错误；
当x=12时，y=1233124-1=-12360<0，可知选项B错误，选项A正确.
故选：A
多选题
9、已知函数fx的定义域是-1,5，且fx在区间-1,2上是增函数，在区间2,5上是减函数，则以下说法一定正确的是（    ）
A．f2>f5B．f-1=f5
C．fx在定义域上有最大值，最大值是f2D．f0与f3的大小不确定
答案：AD
分析：根据单调性可判断A,因为题中没有对称性，所以可判断BD，再由函数是否连续不确定，可判断C.
对于A，由函数fx在区间2,5上是减函数，可得f2>f5，正确；
对于B，题中条件没有说明函数关于x=2对称，所以f-1和f5未必相等，不正确；
对于C，根据题意不确定fx在-1,5是否连续，所以不能确定最大值是f2，不正确；
对于D，x=0和x=3不在同一个单调区间，且函数没有提及对称性，所以f0与f3的大小不确定，正确.
故选：AD.
10、关于函数fx=x2-x4x-1-1的性质描述，正确的是（    ）
A．fx的定义域为-1,0∪0,1B．fx的值域为-1,1
C．fx在定义域上是增函数D．fx的图象关于原点对称
答案：ABD
解析：由被开方式非负和分母不为0，解不等式可得fx的定义域，可判断A；化简fx，讨论0<x≤1，-1≤x<0，分别求得fx的范围，求并集可得fx的值域，可判断B；由f-1=f1=0，可判断C；由奇偶性的定义可判断fx为奇函数，可判断D；
对于A，由x2-x4≥0x-1-1≠0，解得-1≤x≤1且x≠0，
可得函数fx=x2-x4x-1-1的定义域为-1,0∪0,1，故A正确；
对于B，由A可得fx=x2-x4-x，即fx=x1-x2-x，
当0<x≤1可得fx=-1-x2∈-1,0，
当-1≤x<0可得fx=1-x2∈0,1，可得函数的值域为-1,1，故B正确；
对于C，由f-1=f1=0，则fx在定义域上是增函数，故C    错误；
对于D，由fx=x1-x2-x的定义域为-1,0∪0,1，关于原点对称，
 f-x=x1-x2x=-fx，则fx为奇函数，故D正确；
故选：ABD
小提示：本题考查了求函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，属于中档题.
11、关于直线y=m与函数y=x+2x+4的图象的交点有如下四个结论，其中正确的是（    ）
A．不论m为何值时都有交点B．当m>2时，有两个交点
C．当m=2时，有一个交点D．当m<2时，没有交点
答案：BCD
分析：化简函数y=x+2x+4表达式即为y=x+2x+4=-3x-4,x<-2x+4,-2≤x≤03x+4,x>0，作出直线y=m与函数y=x+2x+4的图象，通过数形结合直接判断即可.
由题意得，y=x+2x+4=-3x-4,x<-2x+4,-2≤x≤03x+4,x>0，作此函数图像如下图折线所示；y=m即平行于x轴的直线，作图像如下图直线所示.
对于A，由图可知，当m<2时，直线y=m与函数y=x+2x+4的图象无交点，故A错误；
对于B，由图可知，当m>2时，直线y=m与函数y=x+2x+4的图象有两个交点，故B正确；
对于C，由图可知，当m=2时，直线y=m与函数y=x+2x+4的图象，有一个交点，故C正确；
对于D，由图可知，当m<2时，直线y=m与函数y=x+2x+4的图象无交点，故D正确.
故选:BCD

12、下列函数中，在0,+∞上单调递增且图像关于y轴对称的是（    ）
A．fx=x3B．fx=x2C．fx=xD．fx=x
答案：BD
分析：根据单调性与奇偶性可得答案
关于A选项，函数fx=x3为奇函数，其图像关于原点对称，故A错误；
关于B选项，函数fx=x2为偶函数，其图像图像关于y轴对称，且函数fx在0,+∞上单调递增，故B正确；
关于C选项，函数fx=x的定义域是0,+∞，故函数fx为非奇非偶函数，故C错误；
关于D选项，函数fx=x的定义域为R，f-x=-x=x=fx，所以函数fx为偶函数，当x>0时，fx=x，所以函数fx在0,+∞上单调递增，故D正确．
故选：BD.
填空题
13、函数y=log0.4-x2+3x+4的值域是________.
答案：-2,+∞
解析：先求出函数的定义域为-1,4，设fx=-x2+3x+4=-x-322+254，x∈-1,4，根据二次函数的性质求出单调性和值域，结合对数函数的单调性，以及利用复合函数的单调性即可求出y=log0.4-x2+3x+4的单调性，从而可求出值域.
解：由题可知，函数y=log0.4-x2+3x+4，
则-x2+3x+4>0，解得：-1<x<4，
所以函数的定义域为-1,4，
设fx=-x2+3x+4=-x-322+254，x∈-1,4，
则x∈-1,32时，fx为增函数，x∈32,4时，fx为减函数，
可知当x=32时，fx有最大值为254，
而f-1=f4=0，所以0<fx≤254，
而对数函数y=log0.4x在定义域内为减函数，
由复合函数的单调性可知，
函数y=log0.4-x2+3x+4在区间-1,32上为减函数，在32,4上为增函数，
∴y≥log0.4254=-2，
∴函数y=log0.4-x2+3x+4的值域为-2,+∞.
所以答案是：-2,+∞.
小提示：关键点点睛：本题考查对数型复合函数的值域问题，考查对数函数的单调性和二次函数的单调性，利用“同增异减”求出复合函数的单调性是解题的关键，考查了数学运算能力.
14、函数y=3-x-2x+4的值域为_______________．
答案：-10，5
分析：根据函数的单调性确定最值即可.
解：因为3-x≥02x+4≥0
所以-2≤x≤3，
所以此函数的定义域为[-2，3]，
又因为y=3-x-2x+4是减函数，
当x=-2时y=3-x-2x+4取得最大值5，
当x=3时y=3-x-2x+4取得最小值-10，
所以值域为[-10，5]
所以答案是：-10，5．
15、幂函数y=m2-m+1xm的图象与y轴没有交点，则m=___________.
答案：0
分析：根据幂函数的定义求出m，在验证，求解即可
根据幂函数的定义得m2-m+1=1，
解得m=1或m=0；
当m=1时，y=x，图象与y轴有交点，不满足题意；
当m=0时，y=x0，图象与y轴没有交点，满足题意；
综上，m=0，
所以答案是：0

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