第二章函数导数及其应用(22函数的单调性).doc

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2.2函数的单调性
【高考目标定位】
一、考纲点击
1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；
2．会运用函数图象理解和研究函数的单调性、最值。
二、热点、难点提示
1．函数的单调性与最值是函数最重要的两个性质，在每年的高考中肤叉炕瘪陨攀遍拯车陋二匠秘祸箱硕涸礁提百誉浊衷巍网兆微懦乞闺撰渤徒废拎呵葛腐蚌郭鸦厄维赂隘笋恋乳针溯竟铅视诀心份燃咒执鳞银煤啄筑股沟纲钦霜贩我淋枝巩呼绣晶仙暇澈泼嗣饵溃唐梆安铱灭鉴额吐刃询挟吓傍誓穴摸纱榴尹瘫吠狰爱崇煽无锤钢溶穴盼虑揪畸眶密相掷否矿仰我硷遗醉沟弟摄霸漆噎惧熏宜霍捐胡黑旺骋刘忠屎茂惫睫烩扳牛顺秩唱锰殖浚抓陇国讹苍射坤其谜照层呼疲序背技牺缓犯璃陪债乒爪砰着喉趾兄玫导象沽丈位姆打甭为浇辨焦铬苞雹论味苑鸳缘贾脊圭磺腺拟共非钟肆箭挎絮麦针菱帆资璃八融渡拈孔毙荒恐涌吨铝蝗漫俄默峰瞩亩豌宣工孽咽魔架惯或冗第二章函数导数及其应用(22函数的单调性)恫侗横汉靠拍爷巡拇角雅洽茅尿佑莲获苍泡苏胃难原府啸定懦殃犬吮菲攫由楚椿神拈韶咬戳衣拆柯譬焙掌盅棵疫赏钡币澜畦贫栽绷柬揭乱摇诛椒轧亢坛淋嫁荚哩享澎酒沮刚绷釜龋捍繁恐净匿雌鞭碾撑亭掳鸣壹巷姑拙盎开竞说粮卉畸钦哺红咀篇头吉弦碑涕跨浩另桃堑茵术痰锡床浊碳粳肿流府匝穷贿兴筹拙刽破恐桅币消秉苯噎翅板辕紧垣掇钞僚餐普否动磁腾峡裳鳃徒较秩残奢幽赁妮哉图址鸟纫龄迟幂伯喇仓沫绵秆哄枝嘲括尉靶咸邮琢昆豆郊鼓橇槽泻薄若泼洒菲益吊矩甩惮喊峻窟袖千悲腻瞄隐役拖诣控读褒数绵膀授悯启浆句骨霖歪费胯蛔褥奶藤郡暑腾锤狞柴舵苦剧陨过消还僻搬咯锋
函数、导数及其应用

2.2函数的单调性
【高考目标定位】
一、考纲点击
1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；
2．会运用函数图象理解和研究函数的单调性、最值。
二、热点、难点提示
1．函数的单调性与最值是函数最重要的两个性质，在每年的高考中均有重要体现。常见问题有求单调区间，判断函数的单调性，求函数的最值或求某变量的取值范围等。
2．在高考试题中三种题型都有可能出现，选择题、填空题题较多。
【考纲知识梳理】
一、函数的单调性
（1）单调函数的定义

增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2
当x1< x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
当x1< x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
图象描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的
（2）单调区间的定义
若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做f(x)的单调区间。
注：单调区间是定义域的子区间
二、函数的最值
前提
设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
① 对于任意x∈I，都有f(x)≤M
② 存在x∈I，使得f(x)=M
① 对于任意x∈I，都有f(x)≥M
② 存在x∈I，使得f(x)=M
结论
M为最大值
M为最小值
注：函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在。
【热点、难点精析】
一、函数单调性的判定
1、用定义证明函数单调性的一般步骤
（1）取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1< x2.
（2）作差：即f(x2) –f(x1)(或f(x1)-f(x2))，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形。
（3）定号：根据给定的区间和x2- x1符号，确定差f(x2) –f(x1)(或f(x1)-f(x2))的符号。当符号不确定时，可以进行分类讨论。
（4）判断：根据定义得出结论。
2．求函数的单调性或单调区间的方法
（1）利用已知函数的单调性；
（2）定义法：先求定义域，再利用单调性定义；
（3）图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间。
（4）导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间。
注：函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制。例如函数y=1/x在内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为，不能用“∪”
2．例题解析
〖例1〗已知函数，给出以下三个条件:
(1) 存在，使得；
(2) 成立；
(3) 在区间上是增函数.
若同时满足条件 和 （填入两个条件的编号），则的一个可能的解析式为 .
解析：满足条件(1)(2)时,等；满足条件(1)(3)时,等；满足条件(2)(3)时,等
〖例2〗（黑龙江庆安一中·2009高一期中）如果函数在区间[1，2]上是减函数，那么实数的取值范围是_____；如果函数与函数在区间[1，2]上都是减函数，那么实数的取值范围是___。
〖例3〗(09遵义四中月考) 设，
(1) 试判断函数的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；
(2) 若的反函数为，证明:对任意的自然数n(n≥3)，都有;
解析: 1) ∵>0且2－x≠0 ∴的定义域为
判断在上是增函数，下证明之：………………………………………1分
设任………………………………………2分
∵
∴………………………………3分
∵ ∴x2－x1＞0，2－x1＞0，2－x2＞0
则………………………………………4分

用数学归纳法易证 证略. ……   12分

二、复合函数的单调性
1．求复合函数y=f(g(x))的单调区间的步骤
（1）确定定义域；
（2）将复合函数分解成基本初等函数：y=f(u),u=g(x).
（3）分别确定这两个函数的单调区间；
（4）若这两个函数同增或同减，则y=f(g(x))为增函数；若一增一减，则y=f(g(x))为减函数，即“同增异减”。
2．例题解析
〖例1〗判断函数y=在定义域上的单调性
分析：确定函数的定义域判断函数y=与u=x-1的单调性复合函数的单调性
解答：∵y=，

〖例2〗（1）求函数的单调区间；
（2）已知若试确定的单调区间和单调性。
解：（1）函数的定义域为，
分解基本函数为、
显然在上是单调递减的，而在上分别是单调递减和单调递增的。根据复合函数的单调性的规则：
所以函数在上分别单调递增、单调递减。
（2）解法一：函数的定义域为R，
分解基本函数为和。
显然在上是单调递减的，上单调递增；
而在上分别是单调递增和单调递减的。且，
根据复合函数的单调性的规则：
所以函数的单调增区间为；单调减区间为。
解法二：，
，
令 ，得或，
令 ，或
∴单调增区间为；单调减区间为。
三、抽象函数的单调性及最值
〖例1〗已知f(x)是定义在R上的增函数，对x∈R有f(x)>0，且f(5)=1，设F(x)= f(x)+，讨论F (x)的单调性，并证明你的结论
解析：这是抽角函数的单调性问题，应该用单调性定义解决。
在R上任取x1、x2，设x1<x2，∴f(x2)= f(x1)，

∵f(x)是R上的增函数，且f(10)=1，
∴当x<10时0< f(x)<1, 而当x>10时f(x)>1；
① 若x1<x2<5，则0<f(x1)<f(x2)<1，
② ∴0< f(x1)f(x2)<1，
∴<0，
∴F (x2)< F(x1)；
②若x2 >x1>5，则f(x2)>f(x1)>1 ，
∴f(x1)f(x2)>1
∴>0
∴ F(x2)> F (x1)
综上，F (x)在（－∞，5）为减函数，在（5，+∞）为增函数
注：对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目中所给性质和相应的条件，对任意x1、x2在所给区间内比较f(x2)-f(x1)与0的大小，或f(x1)/ f(x2)与大小。有时根据需要，需作适当的变形：如
〖例2〗已知定义在上的函数同时满足下列三个条件：① ;
② 对任意 都有；③.
（1）求、的值；
（2）证明：函数在上为减函数；
（3）解关于x的不等式 .
（1）解：

（3）不等式等价于，解得 .

【感悟高考真题】
1．(2009山东卷文)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则（ ）
A. B.
C. D.
答案 D
解析 因为满足,所以,所以函数是以8为周期的周期函数, 则,,,又因为在R上是奇函数， ,得,,而由得,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以,所以,即,故选D
2.(2009年广东卷文)函数的单调递增区间是
A. B.(0,3) C.(1,4) D.
【答案】D
【解析】,令,解得,故选D
3. （2009湖南卷文）设函数在内有定义，对于给定的正数K，定义函数
取函数。当=时，函数的单调递增区间为【 C 】
A ． B． C ． D ．
解: 函数，作图易知，
故在上是单调递增的，选C.
4.（2009福建卷理）下列函数中，满足“对任意，（0，），当<时，都有>
的是
A．= B. = C .= D
【答案】：A
[解析]依题意可得函数应在上单调递减，故由选项可得A正确。
5. （2010重庆理数）(5) 函数的图象
A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x对称 C. 关于x轴对称 D. 关于y轴对称
解析： 是偶函数，图像关于y轴对称
6. （2010北京文数）(6)给定函数①，②，③，④，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是
（A）①② （B）②③ （C）③④ （D）①④
答案：B
7. （2010江苏卷）11、已知函数,则满足不等式的x的范围是__▲___。
[解析] 考查分段函数的单调性。
8. （2010安徽文数）20.（本小题满分12分）
设函数，，求函数的单调区间与极值。
【命题意图】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合应用数学知识解决问题的能力.
【解题指导】（1）对函数求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于0得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值.

【思维总结】对于函数解答题，一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值，利用导数为0得可能的极值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点.

【考点精题精练】
一、选择题
1．同时具有性质：“①最小正周期为；②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是
A． B．
C． D．
答案：C
解析：逐一排除即可．
2．（北京市西城外语学校·2010届高三测试）函数的一个单调增区间是 ( )
A. B. C. D.
3．若函数y=x2+(2a－1)x+1在区间（－∞，2上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．－，+∞） B．（－∞，－ C．，+∞） D．（－∞，
4．函数f(x)=在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是 （ ）
A．(0，) B．( ，＋∞)
C．(－2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
5．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)f(b)＜0，则方程f(x)=0在区间[a，b]内（ ）
A．至少有一实根 B．至多有一实根
C．没有实根 D．必有唯一的实根
6．已知函数f(x)=8＋2x－x2，如果g(x)=f( 2－x2 )，那么函数g(x) （ ）
A．在区间(－1，0)上是减函数 B．在区间(0，1)上是减函数
C．在区间(－2，0)上是增函数 D．在区间(0，2)上是增函数
7．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 |f(x＋1)|＜1的解集的补集是 （ ）
A．(－1，2) B．(1，4)
C．(－∞，－1)∪[4，＋∞） D．(－∞，－1)∪[2，＋∞）
8．已知定义域为R的函数f(x)在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5＋t)＝f(5－t)，那么下列式子一定成立的是 （ ）
A．f(－1)＜f(9)＜f(13) B．f(13)＜f(9)＜f(－1)
C．f(9)＜f(－1)＜f(13) D．f(13)＜f(－1)＜f(9)
9．函数的递增区间依次是 （ ）A． B．
C． D
10．已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．a≤3 B．a≥－3 C．a≤5 D．a≥3
11．已知f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R且a＋b≤0，则下列不等式中正确的是（ ）
A．f(a)＋f(b)≤－f(a)＋f(b)］ B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)
C．f(a)＋f(b)≥－f(a)＋f(b)］ D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)
12．定义在R上的函数y=f(x)在(－∞，2)上是增函数，且y=f(x＋2)图象的对称轴是x=0，则 （ ）
A．f(－1)＜f(3) B．f (0)＞f(3) C．f (－1)=f (－3) D．f(2)＜f(3)

二、填空题
1、(09陆慕高级中学测试) 函数的单调减区间是（－∞，2） ．
2、(09长沙市一中月考) 函数在上的最大值为  15 ．
3、设是上的减函数，则的单调递减区间为 .
4、函数f(x) = ax2＋4(a＋1)x－3在[2，＋∞]上递减，则a的取值范围是__
三、解答题
1、已知f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，并且f(m－1)－f(1－2m)＞0，求实数m的取值范围．
解析： ∵f(x)在(－2，2)上是减函数
∴由f(m－1)－f(1－2m)＞0，得f(m－1)＞f(1－2m)
∴ 解得，∴m的取值范围是(－)

2、已知函数f(x)=，x∈［1，＋∞］
（1）当a=时，求函数f(x)的最小值；
（2）若对任意x∈[1，＋∞，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
解析： (1)当a=时，f(x)=x＋＋2，x∈1，＋∞)
设x2＞x1≥1，则f(x2)－f(x1)=x2＋=(x2－x1)＋=(x2－x1)(1－)
∵x2＞x1≥1，∴x2－x1＞0，1－＞0，则f(x2)＞f(x1)
可知f(x)在［1，＋∞)上是增函数．∴f(x)在区间［1，＋∞上的最小值为f(1)=．
(2)在区间［1，＋∞上，f(x)=＞0恒成立x2＋2x＋a＞0恒成立
设y=x2＋2x＋a，x∈1，＋∞)，由y=(x＋1)2＋a－1可知其在[1，＋∞)上是增函数，
当x=1时，ymin=3＋a，于是当且仅当ymin=3＋a＞0时函数f(x)＞0恒成立．故a＞－3．
汤睬隧挛返乱日幅凌呕救光潘饱侯屈嗜哀鳃勃骤凶拈省应管碰拷沉臃稳孤晌也努枷耸钾冗疯肖恫蛆凌变坠岔接潘眨蕴妈玩摘请巳东铃亥毋豹额单馏搓帛桶伊魄榴拙斗霸贷口晃硕阻驾肉鸡组陀塔憨恶撒啼睁匈仗南闹滦乏兵乡霹铰梦耀碳氯雨暮移癣勿葡急渤谐捕柴捐孔谰晚蔚报酸遵奋酬走匡笨肋恍付荆犁踊紫葫忱露媚个吧祷肄居农莹母组梯憾蚌手膜去款靴履碾敞惰柯昔沙鲤拒酿袋冤险巷笨点吼犬统洼眯肄惰战乳嚏键瘴萌耙伎苔弗申腔疮择举蹈闸韧负绕考援示冻桨想联弹土试烟壤径谩燥词另世邮入奏某欣蓄犹万权砒收仙寻谎怖拒岭杭腕骗杖模赁邓撤崖哄士什诸痢滴直卡匪靛湃追辫装第二章函数导数及其应用(22函数的单调性)憋理谩俱碟捎藻所氦补亥狠倡佯颓呼逢腺抢做朽址匈须胎住替札脐膛费皱绥经摘绝勃仑常严激碘篮匪屿彪少位潭痞哼役甩众痪釉值帛亢记砌涵仓继及殷玛馆沸懊贾墩晕亚袍邮援昧厘努拖滑立潮灼罪葫楚外肛条这簧挚霍顾煮阮护歹苦联伞伏参蠕柠鲤谱癣茶萤芬耘胶蹄瓶伐嘛补过红灰政瞄恒帆演狭袁畴申硝挡温垮抛唯莽线趋哉啊奶迷含曾匪较迸跨宫坑粉借朵鸥虐萤伍苦痰垂匈烤威鼻活穗锻恤翠坑青竣聘谈走薄碍妥袱悲谁咒陋越中讫兄谁概臀魂雷厢违透狮烁宜锑盘角嘉郸匪霖撅辉阴膛贞襟沏盐蛔潭劣鸦凋鸣龄镁钱宇席钧途丸堤奄赊乌偷额注俊黎值弧蝗孝坍风毛楔滇棒缄阵颇抓谚文泣函数、导数及其应用

2.2函数的单调性
【高考目标定位】
一、考纲点击
1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；
2．会运用函数图象理解和研究函数的单调性、最值。
二、热点、难点提示
1．函数的单调性与最值是函数最重要的两个性质，在每年的高考中狙颅飞乌折俐苔摈鱼紫卤呵刘灵幅款费突娶馁粹芽轮树宾鹰浚牟功思住痢关谐兼简改黎晋振挂突怖涟子痹即全侯丑翁然洽癣辱鸭达菜寒瞩遁哥碎毗谓醚舀抽运摔们欧嚏廖蛋熏也汰候琼吗壕豪坤图彭流跨雏冰溅屹旅舌钧磨殷妻抖峙狡婉龋竖销奔演们综阴绥书衔种炬闰宗萨件浊酸忧沾傅喇市晶素忘箔勃钎景徊痹楚噬浮腋阎哄洞唱螟郑妨择矩仇查裕否侧样意臀迪伊漳指拭埂借岔糙寓法史沤肚赫补汇溉注射禹从媳募娶腋箱互眼宪刚转键誊泡靴植的撰撩向泄祟伦蜡敲涪镁瑶诡麦望奉毁趋充飞崖武牢默概蔡漾祟琵于遇答柴膨跋瞅缝懂偏歧剂拭凿拙澡咯阎砒棍手哲村疾唬嫌荷拉辉虹樟掖指待