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2022版高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第八讲 函数的图象学案新人教版

2022版高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第八讲 函数的图象学案新人教版

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第八讲　函数的图象

知识梳理·双基自测

知识点　函数的图象
1．利用描点法作函数图象的流程

2．平移变换
y＝f(x)y＝f(x－a)；
y＝f(x)y＝f(x)＋b.
3．伸缩变换
y＝f(x)y＝f(ωx)；
y＝f(x)y＝Af(x)．
4．对称变换
y＝f(x)y＝__－f(x)__；
y＝f(x)y＝__f(－x)__；
y＝f(x)y＝__－f(－x)__.
5．翻折变换
y＝f(x)y＝__f(|x|)__；
y＝f(x)y＝__|f(x)|__.

1．函数对称的重要结论
(1)若f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线__x＝m__对称．
(2)设函数y＝f(x)定义在实数集上，则函数y＝f(x－m)与y＝f(m－x)(m>0)的图象关于直线__x＝m__对称．
(3)若f(a＋x)＝f(b－x)，对任意x∈R恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
(4)函数y＝f(a＋x)与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称．
(5)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．
(6)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称．
2．函数图象平移变换八字方针
(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．
(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．

题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝f(x＋1)是由y＝f(2x)左移1个单位得到．(　×　)
(2)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到．(　×　)
(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　×　)
(4)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．(　×　)
(5)若函数y＝f(x＋2)是偶函数，则有f(x＋2)＝f(－x－2)．(　×　)
(6)若函数y＝f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　×　)
题组二　走进教材
2．(必修1P73T1改编)函数y＝logax与函数y＝x的图象关于__x轴__对称；函数y＝ax与y＝x的图象关于__y轴__对称；函数y＝log2x与函数y＝2x的图象关于__y＝x__对称．
3．(必修4P55T2(1)改编)为了得到函数f(x)＝log2x的图象，只需将函数g(x)＝log2的图象向__上__平移3个单位．将函数f(x)＝log2x左移2个单位得到解析式为y＝__log2(x＋2)__.
4．(必修1P36T2改编)已知图甲中的图象对应的函数y＝f(x)，则图乙中的图象对应的函数在下列给出的四式中只可能是(　C　)

A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|
C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)
[解析]　由图可知当x≤0时，y＝f(x)，故选C．
题组三　走向高考
5．(2020·浙江，4)函数y＝xcos x＋sin x在区间[－π，π]上的图象可能是(　A　)

[解析]　本题考查函数图象的识别．设f(x)＝xcos x＋sin x，f(x)的定义域为R.因为f(－x)＝－xcos(－x)＋sin(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除选项C，D．又f(π)＝πcos π＋sin π＝－π<0，排除选项B，故选A．
6．(2015·北京，7,5分)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　C　)

A．{x|－1<x≤0} B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|－1<x≤1} D．{x|－1<x≤2}
[解析]　作出函数
y＝log2(x＋1)的图象，
如图所示：

其中函数f(x)与y＝log2(x＋1)的图象的交点为D(1,1)，结合图象可知f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1<x≤1}，故选C．

考点突破·互动探究
考点　函数的图象
考向1　作函数的图象——自主练透
例1 作出下列函数的图象：
(1)y＝|x|；
(2)y＝|x－2|·(x＋1)；
(3)y＝；
(4)y＝|log2(x＋1)|.
[分析]　(1)先由函数的奇偶性画出y轴右侧图象，再画左侧；
(2)先对绝对值分类讨论，将原函数化成分段函数的形式，再分段作图即可；
(3)先化简解析式，分离常数，再利用图象变换画出图象；
(4)将y＝log2x的图象向左平移1个单位→y＝log2(x＋1)的图象→将y＝log2(x＋1)的图象位于x轴下方的部分向上翻折→y＝|log2(x＋1)|的图象．
[解析](1)先作出函数y＝x的图象，保留函数y＝x的图象中x≥0的部分，再作出函数y＝x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得函数y＝|x|的图象，如图实线部分．

(2)先化简，再作图．
y＝图象如图实线所示．

(3)∵y＝＝＝2＋，∴其图象可由y＝的图象沿x轴向右平移1个单位，再沿y轴向上平移2个单位得到，其图象如图所示．

(4)利用函数y＝log2x的图象进行平移和翻折变换，图象如图实线所示．

名师点拨
函数图象的画法
(1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．
(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．
(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称等变换得到，可利用图象变换作出．
注：y＝(c≠0)的图象是以为对称中心以直线x＝－，y＝为渐近线的双曲线．
易错提醒：(1)画函数的图象一定要注意定义域．(2)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
考向2　识图与辨图——师生共研
例2 (1)(2019·课标Ⅰ，5,5分)函数f(x)＝在[－π，π]的图象大致为(　D　)

(2)下图可能是下列哪个函数的图象(　C　)

A．y＝2x－x2－1 B．y＝
C．y＝(x2－2x)ex D．y＝
(3)(2021·荆州质检)若函数y＝f(x)的曲线如图所示，则函数y＝f(2－x)的曲线是(　C　)

[解析]　(1)∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
又∵f(π)＝＝>0，∴选D．
(2)函数图象过原点，所以D排除；当x>0开始时函数值是负数，而B项原点右侧开始时函数值为正数，所以B排除；当x<0时，2x<1，∴2x－x2－1<0，所以A排除；而C都满足，故选C．
(3)解法一：先关于y轴对称，得到y＝f(－x)的图象，再向右平移两个单位，即可得到y＝f[－(x－2)]＝f(2－x)的图象．所以答案为C．(注意，左右平移是针对字母x变化，上下平移是针对整个式子变化)．
解法二：由f(0)＝0知y＝f(2－x)的图象过点(2,0)，排除B、D．又f(1)＝f(2－1)>0即y＝f(2－x)在x＝1处的函数值大于0，排除A，故选C．

名师点拨
函数图象的识辨可从以下几方面入手
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
〔变式训练1〕
(1)(2019·课标Ⅲ，7,5分)函数y＝在[－6,6]的图象大致为(　B　)

(2)设函数f(x)＝2x，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是(　C　)

A．y＝f(|x|) B．y＝－|f(x)|
C．y＝－f(－|x|) D．y＝f(－|x|)
(3)已知函数f(x)＝则函数y＝f(1－x)的大致图象是(　D　)

[解析]　(1)设f(x)＝(x∈[－6,6])，则f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除选项C；当x＝－1时，f(－1)＝－<0，排除选项D；当x＝4时，f(4)＝≈7.97，排除选项A．故选B．
(2)题图中是函数y＝－2－|x|的图象，
即函数y＝－f(－|x|)的图象，故选C．
(3)解法一：先画出函数f(x)＝的草图，令函数f(x)的图象关于y轴对称，得函数f(－x)的图象，再把所得的函数y＝f(－x)的图象，向右平移1个单位，得到函数y＝f(1－x)的图象，故选D．
解法二：由已知函数f(x)的解析式，得y＝f(1－x)＝故该函数图象过点(0,3)，排除A；过点(1,1)，排除B；在(－∞，0)上单调递增，排除C．选D．
考向3　函数图象的应用——多维探究
角度1　函数图象的对称性
例3 (1)(2018·课标全国Ⅲ，7)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是(　B　)
A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)
C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)
(2)已知函数f(2x＋1)是奇函数，则函数y＝f(2x)的图象关于下列哪个点成中心对称？(　C　)
A．(1,0) B．(－1,0)
C． D．
[解析]　(1)本题考查函数图象的对称性．
解法一：y＝ln x图象上的点P(1,0)关于直线x＝1的对称点是它本身，则点P在y＝ln x图象关于直线x＝1对称的图象上，结合选项可知，B正确．故选B．
解法二：设Q(x，y)是所求函数图象上任一点，则其关于直线x＝1的对称点P(2－x，y)在函数y＝ln x图象上．
∴y＝ln(2－x)．故选B．
(2)f(2x＋1)是奇函数，所以图象关于原点成中心对称，而f(2x)的图象是由f(2x＋1)的图象向右平移个单位得到的，故关于点成中心对称．
[小题巧解]　用特殊点的对称性解决函数图象的对称性问题．
角度2　利用函数图象研究函数性质
例4 已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　B　)
A．函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称
B．函数f(x)在(－∞，1)上是减函数
C．函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴
D．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称
[解析]　因为y＝＝＝＋2.所以该函数图象可以由y＝的图象向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度得到，所以函数f(x)的图象关于点(1,2)中心对称，在(－∞，1)上为减函数，B正确，A、D错误；易知函数f(x)的图象是由y＝的图象平移得到的，所以不存在两点A，B使得直线AB∥x轴，C错误．故选B．
角度3　利用函数图象研究不等式
例5 设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为(　D　)
A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)
[解析]　f(x)为奇函数，<0⇔<0⇔xf(x)<0，由题意可知f(x)的大致图象如图所示，所以所求不等式的解集为(－1,0)∪(0,1)．

[引申]若将“奇函数f(x)”改为“偶函数f(x)”，不等式<0的解集为__(－∞，－1)∪(0,1)__.

名师点拨
(1)利用函数的图象研究函数的性质
对于已知解析式，易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：
①从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；
②从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
(2)利用函数的图象研究不等式思路
当不等式问题不能用代数法求解，但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合求解．
〔变式训练2〕
(1)(角度1)已知f(x)＝ln(1－x)，函数g(x)的图象与f(x)的图象关于点(1,0)对称，则g(x)的解析式为__g(x)＝－ln(x－1)__.
(2)(角度1)设函数y＝f(x)的定义域为实数集R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于(　D　)
A．直线y＝0对称 B．直线x＝0对称
C．直线y＝1对称 D．直线x＝1对称
(3)(角度2)对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，则下列说法不正确的是(　C　)
A．f(x＋2)是偶函数
B．f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数
C．f(x)没有最小值
D．f(x)没有最大值
(4)(角度3)函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式<0的解集为__∪__.

[解析]　(1)设P(x，y)为函数y＝g(x)上任意一点，则点P(x，y)关于点(1,0)的对称点Q(2－x，－y)在函数y＝f(x)图象上，即－y＝f(2－x)＝ln(x－1)，所以y＝－ln(x－1)，所以g(x)＝－ln(x－1)．
(2)解法一：设t＝x－1，则y＝f(t)与y＝f(－t)，关于t＝0对称，即关于x＝1对称．故选D．
解法二：y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象分别由y＝f(x)与y＝f(－x)的图象同时向右平移一个单位而得，又y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，所以y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．故选D．
(3)对于A，f(x＋2)＝lg(|x|＋1)是偶函数；对于B，当x∈(－∞，2)时，f(x)＝lg(3－x)是减函数，当x∈(2，＋∞)时，f(x)＝lg(x－1)是增函数；对于C，f(x)＝lg(|x－2|＋1)≥0有最小值0；对于D，没有最大值．故选C．
(4)在上，y＝cos x>0，在上，y＝cos x<0.由f(x)的图象知，在上，<0.因为f(x)为偶函数，y＝cos x也是偶函数，所以y＝为偶函数，所以<0的解集为.

名师讲坛·素养提升
利用数形结合思想解题
例6 (2016·课标Ⅱ，12,5分)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)＝(　B　)
A．0 B．m
C．2m D．4m
[分析]　分析出函数y＝f(x)和y＝的图象都关于点(0,1)对称，进而得两函数图象的交点成对出现，且每一对交点都关于点(0,1)对称，从而得出结论．
[解析]　解法一：由f(－x)＝2－f(x)可知f(x)的图象关于点(0,1)对称，又易知y＝＝1＋的图象关于点(0,1)对称，所以两函数图象的交点成对出现，且每一对交点都关于点(0,1)对称，∴(xi＋yi)＝0×＋2×＝m.故选B．
解法二：特例：令f(x)＝x＋1，则m＝2，又y1＋y2＝2，∴选B．

名师点拨
求解函数图象的应用问题，其实质是利用数形结合思想解题，其思维流程一般是：

〔变式训练3〕
函数y＝ln|x－1|的图象与函数y＝－2cos πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于(　B　)
A．3 B．6
C．4 D．2
[解析]　由图象变换的法则可知，y＝ln x的图象关于y轴对称后的图象和原来的一起构成y＝ln |x|的图象，向右平移1个单位长度得到y＝ln|x－1|的图象；y＝－2cos πx的周期T＝2.如图所示，两函数的图象都关于直线x＝1对称，且有3对交点，每对交点关于直线x＝1对称，故所有交点的横坐标之和为2×3＝6.