1、函数、导数及其应用第第 二二 章章第第1414讲导数与函数单调性讲导数与函数单调性1/41考纲要求考情分析命题趋势了解函数单调性与导数关系；能利用导数研究函数单调性，会求函数单调区间(其中多项式函数普通不超出三次).，全国卷，21T，四川卷，21T，天津卷，20T，福建卷，10T导数与函数单调性，热点问题，题型有利用导数求函数单调区间和已知单调性求参数取值范围，难度较大.分值：58分2/41板板 块块 一一板板 块块 二二板板 块块 三三栏目导航板板 块块 四四3/41函数导数与单调性关系函数yf(x)在某个区间内可导，则(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间内_；(2)若f(x)0.()(
2、2)假如函数在某个区间内恒有f(x)0，则函数f(x)在此区间内没有单调性()(3)导数为零点不一定是极值点()(4)三次函数在R上必有极大值和极小值()5/41解析：(1)错误函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f(x)0，故f(x)0是f(x)在区间(a，b)上单调递增充分无须要条件(2)正确假如函数在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)为常数函数如f(x)3，则f(x)0，函数f(x)不存在单调性(3)正确导数为零点不一定是极值点如函数yx3在x0处导数为零，但x0不是函数yx3极值点(4)错误对于三次函数yax3bx2cxd，y3ax22bxc.当(2b)212ac0，即b23a
3、c0)单调递减区间是(0,4)，则m_.9/4110/41利用导数求函数单调区间两种方法步骤方法一：(1)确定函数yf(x)定义域；(2)求导数yf(x)；(3)解f(x)0，解集在定义域内部分为单调递增区间；(4)解f(x)0(或f(x)0)在该区间上存在解集，这么就把函数单调性问题转化成了不等式问题(3)若已知f(x)在区间I上单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)单调区间，令I是其单调区间子集，从而可求出参数取值范围18/41【例3】已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在R上为增函数，求a取值范围；(2)若f(x)在(1，)上为增函数，求a取值范围；(3)若f(x)在(1,
4、1)上为减函数，求a取值范围；(4)若f(x)单调递减区间为(1,1)，求a值；(5)若f(x)在(1,1)上不单调，求a取值范围19/41解析：(1)f(x)在R上为增函数，f(x)3x2a0在R上恒成立a3x2对xR恒成立3x20，只需a0.又a0时，f(x)3x20，f(x)x31在R上为增函数，a取值范围是(，0(2)f(x)3x2a，且f(x)在(1，)上为增函数，f(x)0在(1，)上恒成立，3x2a0在(1，)上恒成立，a3x2在(1，)上恒成立，a3，即a取值范围是(，320/41(3)f(x)3x2a，且f(x)在(1,1)上为减函数，f(x)03x2a0在(1,1)上恒成立
5、，a3x2在(1,1)上恒成立x(1,1)，3x22，则f(x)2x4解集为()A(1,1)B(1，)C(，1)D(，)BC 26/41解析：(1)令g(x)f(x)2x4，则g(x)f(x)2.f(x)2，f(x)20，即g(x)0，g(x)f(x)2x4在R上单调递增又f(1)2，g(1)f(1)20，g(x)0g(x)g(1)x1，f(x)2x4解集是(1，)，故选B27/4128/411(1)函数f(x)定义域为R，f(0)2，对任意xR，f(x)f(x)1，则不等式exf(x)ex1解集是()Ax|x0Bx|x0Cx|x1Dx|x1或0 xf(x)恒成立，又常数a，b满足ab0，则以
6、下不等式一定成立是()Abf(a)af(b)Baf(a)bf(b)Cbf(a)af(b)Daf(a)bf(b)AA29/4130/4131/412求以下函数单调区间(1)f(x)3x22ln x；(2)f(x)x2ex.32/4133/413设函数f(x)x3ax29x1(a0，故f(x)在(，1)上为增函数；当x(1,3)时，f(x)0，故f(x)在(3，)上为增函数可见，函数f(x)单调递增区间为(，1)和(3，)，单调递减区间为(1,3)35/4136/4137/41错因分析：可导函数f(x)在某区间上f(x)0(f(x)0)为f(x)在该区间上是单调递增(减)函数充分无须要条件易错点导数与单调性关系不明确38/41解析：yx22bxb20恒成立(显然y不恒为零)，4b24(b2)0，整理得(b2)(b1)0，1b2.答案：1,239/41【例2】函数f(x)ax(a1)ln x，其中a1，求f(x)单调区间40/4141/41
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