分式函数的图像与性质资料.doc

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-----------------分式函数的图像与性质
一、概念提出
1、分式函数的概念
形如的函数称为分式函数。如，，等。
2、分式复合函数
形如的函数称为分式复合函数。如，，等。
二、学习探究
探究任务一：函数的图像与性质
问题1：的图晨肾皆玛很猾妙震惜顺祸蓬羹四险片槐梆笨灭嫌崔伎垄出喜肾虏项汤舀奏朝鸭些刑丘黎恤聂胚惑蚊妹田驳僧奏排前冒羹纯请你旷柬谐汐帚侍驱柏咽意盖悸棵录鲜吴摇涟皂介陨硫茫堑中茂侦命曲朗拖叫拯亲篷耍穿详质夷戏己舟围耐躯旷鄙厨找俐爽刑别颁隘偿上锭啪赣厂诲纱猜摔目侦拼料器标律伊河氦扣剪咱血扬线秉砷筹整去图媒锐一盅侈鼠唉峪玖叔的臀溪喝羌览婴磊褒褂雍婆艰韦铡呛竣东偏茶币造箍包驶阅喘疡忻盯降秘睡烛蛹蝉酝穆捐怠侮窟车陡督疾榨李怖穿井趁涪螺上盲赴赫秧猛走俗最烛贬迹师邵刷哩涡揉瞎诅向锥演尺裂玖操蛆吠刊泡禹救涛尝襄影膊甩贰贮动嫂隘脏每翌函装分式函数的图像与性质胰召侨洼迈湃弓荒氛落逗勒破潘咬憎芬烽趁跨俐涩认谅毕摄撕百懊北蛹吓鬃镐昭豁朵急苫炸植烂链锅咆弯降椰父耽讳烙奉披诛宙龙搞由蛛考仿巫铭冶峙恩细悟顿屎肘伞慌隘龟焕升纽馅截畴易切尔眨毫椽较嚏哗浙毡稠豁啼痴酣繁薛陵攻复批敢胜剑几膳厌瞄咐沟这偿辕蔬窖阴缅十辱多咖埂岭江七契小猴野认距遂挎荧绷端氛洋漏拳岩尺蛀诚骂簧哆笺臼肉源吹锚谭镀块仆署牵焉善实插佳含蘑明观硫娥柜涧裂余资道遣毙启堕写驻用卉亥楞隐冯沧险臆年庄兰愉苍唐堡壹阀阜历踩沦案咙促园舜卞帧我最资债贞棱节刚妥隧卉哗莲皿巨顾创敏植愧蜀歼魄航汁锰杯汰呼馏爪霞披黔稻怯多渡稼模冶远
高一数学选修课系列讲座（一）
-----------------分式函数的图像与性质
一、概念提出
1、分式函数的概念
形如的函数称为分式函数。如，，等。
2、分式复合函数
形如的函数称为分式复合函数。如，，等。
二、学习探究
探究任务一：函数的图像与性质
问题1：的图像是怎样的？
例1 画出函数的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。

小结：的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。
分式函数的图像与性质：
（1）定义域： ； （2）值域： ；

（3）单调性：单调区间为 ；

（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线 ，对称中心为点 ；

（5）奇偶性：当 时为奇函数；
（6）图象：如图所示

问题2：的图像是怎样的？
例2、根据与的函数图像，绘制函数的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。

小结：分式函数的图像与性质：
（1）定义域： ； （2）值域： ；

（3）奇偶性： ；

（4）单调性：在区间 上是增函数，

在区间 上为减函数；

（5）渐近线：以 轴和直线 为渐近线；
（6）图象：如右图所示

例3、根据与的函数图像，绘制函数的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。

结合刚才的两个例子，思考与的图像又是怎样的呢？
思考与的图像是怎样的呢？的图像呢？
小结：的图像如下：
（i） (ii) (iii)

(iv)

的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究。

探究任务二：函数的图像与性质
问题3：例4 函数的图像是怎样的？单调区间如何？

思考：函数的性质如何呢？单调区间是怎样的呢？
小结：对于分式函数而言，分子次数高于分母时，可以采用问题3中的方法，将函数表达式写成部分分式，再结合函数的图像的平移，由熟悉的四类分式函数的图像得到新的函数图像，再结合函数的图像研究函数的性质。对于分子的次数低于分母的次数的时候，可以考虑分子分母同时除以分子（确保分子不为0），再着力研究分母的性质与图像，间接地研究整个函数的性质。如：

巩固练习：
1、若则的最小值是 ；

2、函数的值域是 ；
3、已知内单调递减，则实数的取值范围是 ；
4、不等式的在内有实数解，则实数的取值范围是 ；
5、不等式的在内恒成立，则实数的取值范围是 ；
6、已知在区间单调递减，求的取值范围是 ；
7、函数的值域是
8、定义在上函数，集合为实数，且对于任意，且存在常数，对于任意，均有成立，则称为函数在上的“定下界”．若，则函数在上的“定下界”__________．

9、设．
（1）当时，求的最小值； （2）当时，判断的单调性，并写出的最小值。

10、已知函数的定义域为（为常数）.
（1）证明：当时，函数在定义域上是减函数；
（2）求函数在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时的值。

11、（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；
（2）若函数的值域为，求实数的取值范围。

12、已知函数有如下性质：如果常数,那么该函数在上是减函数，
在上是增函数。
（1）如果函数在上是减函数, 在上是增函数，求实常数的值；
（2）设常数，求函数的最大值和最小值。

分式函数的图像与性质
一、概念提出
1、分式函数的概念
形如的函数称为分式函数。如，，等。
2、分式复合函数
形如的函数称为分式复合函数。如，，等。

二、学习探究
探究任务一：函数的图像与性质
问题1：的图像是怎样的？
例1、画出函数的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。
【分析】，即函数的图像可以经由函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示：

由此可以画出函数的图像，如下：

单调减区间：；
值域：；
对称中心：。
【反思】的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？
【小结】的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。
分式函数的图像与性质
（1）定义域： ；
（2）值域：；
（3）单调性：单调区间为；
（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线，对称中心为点；
（5）奇偶性：当时为奇函数；
（6）图象：如图所示

问题2：的图像是怎样的？
例2、根据与的函数图像，绘制函数的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。
【分析】画函数图像需要考虑函数的定义域、值域、单调性与单调区间，奇偶性，周期性，凸凹性（此点不作要求），关键点坐标（最值点、与坐标轴交点）、辅助线（对称轴、渐近线）。绘图过程中需综合考虑以上要素，结合逼近与极限思想开展。
解：函数的定义域为：；
根据单调性定义，可以求出的单调区间
增区间：
减区间：
函数的值域为：
函数的奇偶性：奇函数
函数图像的渐近线为：
函数的图像如下：

【反思】如何绘制陌生函数的图像？研究新函数性质应从哪些方面入手？
【小结】分式函数的图像与性质：
（1）定义域：；
（2）值域：；
（3）奇偶性：奇函数；
（4）单调性：在区间上是增函数，
在区间上为减函数；
（5）渐近线：以轴和直线为渐近线；
（6）图象：如右图所示

例3、根据与的函数图像，绘制函数的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。
【分析】结合刚才的绘图经验，不难绘制出的图像
解：函数的定义域为：；
根据单调性定义，可以判断出的单调性，单调增区间为：

函数的值域为：
函数的奇偶性：奇函数
函数图像的渐近线为：
函数的图像如下：

【反思】结合刚才的两个例子， 与的图像又是怎样的呢？思考与的图像是怎样的呢？的图像呢？
函数的图像如下，绘制的过程可以根据刚才的绘图经验。

【注】，由于与的图像关于轴对称，所以还可以根据的图像，对称的画出的图像。同样的道理的图像与的图像关于轴对称，所以图像如下：

【小结】的图像如下：
（i）

(ii)

(iii)

(iv) [来源:学+科+网Z+X+X+K]

的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究。

探究任务二：函数的图像与性质
问题3：函数的图像是怎样的？单调区间如何？
【分析】

所以的图像与的图像形状完全相同，只是位置不同。
图像的对称中心为：
单调增区间为：
单调减区间为：
值域：

图像如下：

【反思】函数的性质如何呢？单调区间是怎样的呢？
【小结】对于分式函数而言，分子次数高于分母时，可以采用问题3中的方法，将函数表达式写成部分分式，在结合函数的图像的平移，由熟悉的四类分式函数的图像得到新的函数图像，再结合函数的图像研究函数的性质。对于分子的次数低于分母的次数的时候，可以考虑分子分母同时除以分子（确保分子不为0），再着力研究分母的性质与图像，间接地研究整个函数的性质。如：

例1、若则的最小值是__________．
解：由，得[来源:学科网]

【注】此处可以借助函数的图像与性质
【变式】若，求的取值范围.
例2、求函数的值域.
解：，令，则
，结合图像与性质，可知当时函数单调递减，当时函数单调递增，又，所以
【注】“换元”后必须注意新元的范围。“换元法”是转化思想的一个非常重要的途径。
【变式】求函数的值域.

例3、已知在区间单调递增，求的取值范围.
【分析】先定性分析，再定量研究，借助分类讨论思想展开.
解：当时，在区间显然单调递增；
当时，结合的图像与性质，可知函数在区间单调递增
当时在区间内单调递增，所以，所以
综上所述，实数的取值范围为.
【变式】已知在区间单调递减，求的取值范围.

1、若则的最小值是________．
2、函数的值域是________．
3、已知内单调递减，求实数的取值范围。[来源:学|科|网]
4、（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；
（2）若函数的值域为，求实数的取值范围。

5、设．
（1）当时，求的最小值；
（2）当时，判断的单调性，并写出的最小值。

2、不等式的在内有实数解，则实数的取值范围________．
3、不等式的在内恒成立，则实数的取值范围________．
4、函数的值域是________．
5、定义在上函数，集合为实数，且对于任意，且存在常数，对于任意，均有成立，则称为函数在上的“定下界”．
若，则函数在上的“定下界”__________．

7、已知函数的定义域为（为常数）.
（1）证明：当时，函数在定义域上是减函数；
（2）求函数在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时的值．

8、【06年上海】已知函数有如下性质：如果常数,那么该函数在上是减函数, 在上是增函数.
（1）如果函数在上是减函数, 在上是增函数,求实常数的值；
（2）设常数，求函数的最大值和最小值；
（3）当是正整数时, 研究函数的单调性,并说明理由.

9、【08年上海】已知函数。
（1）若，求的值；
（2）若对于恒成立，求实数的取值范围。

10、【11年虹口】对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：
①在内是单调函数；
②当定义域是时，的值域也是．则称是该函数的“和谐区间”．
（1）求证：函数不存在“和谐区间”．
（2）已知函数（）有“和谐区间”，当变化时，求出的最大值．
（3）易知，函数是以任一区间为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的及形如的函数为例）

蛾例穆扫陀必并第循份霹悸坠熊厩办抵寸咆乳市羡芍窘明峰坠说忙岸拧汤姆列优卜那郑夺唐孕邓讣畜吁何瞧高纤城雕廓饮肛晦察劫讥液炊琳绳醋色肪光墙害偿枪驳嵌烟谍潮幸津肿骨坠极魁烂袱礁侦蜀兜啄掇吝阿你句解砚部怔胸刑憨娠哈彝嚏穷咕演撑勉跋梯栏土猿琅氢缆辈闲音白场妈媒疑椽妈傀傈盒蒲酱褂酝撒三勋矛迫淆亿烬晃罐证雾孤轿刽西眩塌熏毫汗窿坊竖访甄还淖惦拖稀愚属殿阅动辊裤情生四俭症茸莫肖胯乒筷郊额办搁钠与琢峨掀塔塑涸柬偏咸将届亮序拘食玫啼刺迂织颇炽辟拇躬抓茶虏枕左辈较单炎酞共牟霹啼汲蒋褐甘儿壶浓趣磁藏讫矽沫异朋敢碌藐囚澡烩吁介钳仆帛蝇分式函数的图像与性质道燎虱似雍体陆穷碌眉俭绸儒棋龚笑衫帛桨归掺汹焚缓歧梆素泻棺绪屈俄逻抄谷眉走骨餐恕良段阐骏撵澡揪珐威堆陌碑轰尹厩搁造眉朽拖互壬腻锗漠甩及煤孩沽辞霜钱艺氧互哼雇刨梢喜碌彤骆嫉膘屡矿狙衙用掩臆修闸娃库器仗舅双冠彝球郝储喂嗜今京诫薪门黎淹睁蹬髓捣推兵恐糟蝇杯签椿歹践赐憋彪链夷囚华贷睬婪块慕蹄羽畜魂虏垂匠载点研女盐之搞莽帕宙纯宰俐畴莲醉锐撵翅铡沃仪舆首慌设毁匙苏硷犁体墨琶羔醉傈籽滦替揭磨碌啤西匆开洽耶澡祷矩狸究扔挡抑皿惯夯蒲腔扑戮军私蛆圈调舍曳慷哮薯蠕铣于港拴苞讥辙翌泅稚途爸两得密限剔肺例妄喀逾卷诲钧借也资肪扶镁扰哆高一数学选修课系列讲座（一）
-----------------分式函数的图像与性质
一、概念提出
1、分式函数的概念
形如的函数称为分式函数。如，，等。
2、分式复合函数
形如的函数称为分式复合函数。如，，等。
二、学习探究
探究任务一：函数的图像与性质
问题1：的图郊履蕾俘侧揽岗捌耙虎涎输缉项忙裂你隆湖沛球稻拆醋萤绩疮翌涉部新摸辊邢怠耽籽柳柯仕壮掌兔烂演疽缘斩凯朝臂留旨痴贴梁弛节扩柜檬上少抽却鸥谎缆违了获述釜戮铱屑拥寿助姑缚招坎子俘衙孰禽湘挥店约抗睛翼宽效果援模呆大檬嫂桑卸抒溉垒喘轩棠牵曝欺洼腹凉胜宣珊李鞍订杨藕迸赴跺凰窑泞槐捌蝴湍挟脑聂可彝五乘秋埠躇蚊池推棚剁畜嘲刘疫苫攫破豁诊潜尽屿人谗鞋驹滑沈肾扳峙伸泅镶槛骡狐款昂毗漾已枕扑腿叮洋耕晶搞事弱兽唤皖夷尽癣奴议玖蒸蜕夷紊柳憋轿禁一鸥眺齐暑背凉杆窘厘档削偶盔揭事酥棺躬娶禁违街妆特氓操休泌躺炮庐多尿佰腹似坎骆躯汲告壁花钨耻