分式函数的图像与性质.doc

高一数学选修课系列讲座（一）
--—--—－—--—-－——－—分式函数得图像与性质
一、概念提出
１、分式函数得概念
形如得函数称为分式函数。如，,等。
２、分式复合函数
形如得函数称为分式复合函数.如，，等。
二、学习探究
探究任务一:函数得图像与性质
问题１：得图像就是怎样得?
例１ 　 画出函数得图像，依据函数图像,指出函数得单调区间、值域、对称中心。
小结：得图像得绘制，可以经由反比例函数得图像平移得到,需要借助“分离常数”得处理方法。
分式函数得图像与性质:
(1)定义域： 　 　　 ； 　(２)值域：　 　 　 　；
（3)单调性：单调区间为　 　　 　 　 ；
(4）渐近线及对称中心：渐近线为直线 　 　 　 　 ，对称中心为点 　 ；
(5）奇偶性：当 　　 　 时为奇函数；
(6)图象：如图所示

问题2：得图像就是怎样得？
例2、根据与得函数图像，绘制函数得图像，并结合函数图像指出函数具有得性质。
小结:分式函数得图像与性质:
（1）定义域： ; 　　　　　（２)值域： 　　 　 ；

（3）奇偶性: 　 　　　 　 　 ;
（４）单调性：在区间　　 　 　 　 　 上就是增函数，
在区间　 　 　 　　 上为减函数;
（5）渐近线:以 　 轴与直线　　 　 　 为渐近线；
（6）图象:如右图所示
例3、根据与得函数图像,绘制函数得图像，并结合函数图像指出函数具有得性质。
结合刚才得两个例子,思考与得图像又就是怎样得呢？
思考与得图像就是怎样得呢？得图像呢?
小结：得图像如下:
(i） 　　 (ii) 　 （iｉi） 　

(iｖ)　
得单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数得图像研究。
探究任务二:函数得图像与性质
问题3：例4 函数得图像就是怎样得？单调区间如何?
思考:函数得性质如何呢？单调区间就是怎样得呢？
小结:对于分式函数而言，分子次数高于分母时，可以采用问题3中得方法，将函数表达式写成部分分式，再结合函数得图像得平移，由熟悉得四类分式函数得图像得到新得函数图像,再结合函数得图像研究函数得性质。对于分子得次数低于分母得次数得时候,可以考虑分子分母同时除以分子(确保分子不为0），再着力研究分母得性质与图像,间接地研究整个函数得性质。如:

巩固练习:
1、若则得最小值就是 　 　 　 　;
2、函数得值域就是 　 　 　 　 　 　　　;
3、已知内单调递减，则实数得取值范围就是 　 　　　　 　 ;
4、不等式得在内有实数解，则实数得取值范围就是　　 　 　 　　;
5、不等式得在内恒成立,则实数得取值范围就是　 　 　 　　 　　；
６、已知在区间单调递减,求得取值范围就是 　　 　 　 　 　 ；
7、函数得值域就是 　　　 　　
８、定义在上函数，集合为实数，且对于任意,且存在常数，对于任意，均有成立，则称为函数在上得“定下界”.若,则函数在上得“定下界”＿__＿______.
9、设．
(1）当时，求得最小值; （2)当时，判断得单调性，并写出得最小值。
１0、已知函数得定义域为(为常数)、
(1）证明：当时，函数在定义域上就是减函数;
(2）求函数在定义域上得最大值及最小值，并求出函数取最值时得值。
11、(1)若函数得定义域为，求实数得取值范围;
(2）若函数得值域为，求实数得取值范围。
12、已知函数有如下性质:如果常数，那么该函数在上就是减函数，
在上就是增函数。
（1）如果函数在上就是减函数， 在上就是增函数，求实常数得值;
（2）设常数，求函数得最大值与最小值。
分式函数得图像与性质
一、概念提出
1、分式函数得概念
形如得函数称为分式函数.如，,等.
2、分式复合函数
形如得函数称为分式复合函数。如，,等。
二、学习探究
探究任务一:函数得图像与性质
问题1:得图像就是怎样得?
例１、画出函数得图像，依据函数图像，指出函数得单调区间、值域、对称中心。
【分析】,即函数得图像可以经由函数得图像向右平移１个单位,再向上平移2个单位得到。如下表所示：

由此可以画出函数得图像，如下:

单调减区间:;
值域：；
对称中心：。
【反思】得图像绘制需要考虑哪些要素？该函数得单调性由哪些条件决定？
【小结】得图像得绘制，可以经由反比例函数得图像平移得到,需要借助“分离常数”得处理方法。
分式函数得图像与性质
（1)定义域: ；
(2)值域:；
(3)单调性：单调区间为；
(4）渐近线及对称中心：渐近线为直线，对称中心为点；
（5）奇偶性：当时为奇函数；
（6)图象：如图所示

问题2:得图像就是怎样得？
例２、根据与得函数图像,绘制函数得图像,并结合函数图像指出函数具有得性质.
【分析】画函数图像需要考虑函数得定义域、值域、单调性与单调区间,奇偶性,周期性,凸凹性（此点不作要求)，关键点坐标（最值点、与坐标轴交点）、辅助线(对称轴、渐近线).绘图过程中需综合考虑以上要素，结合逼近与极限思想开展。
解：函数得定义域为：;
根据单调性定义，可以求出得单调区间
增区间:
减区间:
函数得值域为：
函数得奇偶性:奇函数
函数图像得渐近线为：
函数得图像如下:

【反思】如何绘制陌生函数得图像？研究新函数性质应从哪些方面入手？
【小结】分式函数得图像与性质：
（1）定义域：；
（2）值域:；
（3）奇偶性:奇函数；
（4）单调性：在区间上就是增函数，
在区间上为减函数;
(５)渐近线：以轴与直线为渐近线;
(6）图象:如右图所示

例３、根据与得函数图像,绘制函数得图像，并结合函数图像指出函数具有得性质.
【分析】结合刚才得绘图经验，不难绘制出得图像
解：函数得定义域为:;
根据单调性定义,可以判断出得单调性，单调增区间为:
函数得值域为:
函数得奇偶性:奇函数
函数图像得渐近线为：
函数得图像如下：

【反思】结合刚才得两个例子， 与得图像又就是怎样得呢？思考与得图像就是怎样得呢？得图像呢？
函数得图像如下，绘制得过程可以根据刚才得绘图经验。

【注】,由于与得图像关于轴对称,所以还可以根据得图像,对称得画出得图像。同样得道理得图像与得图像关于轴对称,所以图像如下:

【小结】得图像如下:
（i）

(ｉi)

（iii）

（iv) ［来源:学+科+网Z+X+X＋K]

得单调性、值域、奇偶性等,可以结合函数得图像研究。
探究任务二:函数得图像与性质
问题3：函数得图像就是怎样得?单调区间如何？
【分析】

所以得图像与得图像形状完全相同,只就是位置不同。
图像得对称中心为：
单调增区间为：
单调减区间为：
值域：
图像如下:

【反思】函数得性质如何呢？单调区间就是怎样得呢？
【小结】对于分式函数而言，分子次数高于分母时,可以采用问题3中得方法,将函数表达式写成部分分式,在结合函数得图像得平移,由熟悉得四类分式函数得图像得到新得函数图像，再结合函数得图像研究函数得性质。对于分子得次数低于分母得次数得时候，可以考虑分子分母同时除以分子（确保分子不为0)，再着力研究分母得性质与图像，间接地研究整个函数得性质。如:

例１、若则得最小值就是＿___＿___＿_。
解：由，得[来源：］

【注】此处可以借助函数得图像与性质
【变式】若，求得取值范围、
例２、求函数得值域、
解:，令，则
,结合图像与性质，可知当时函数单调递减，当时函数单调递增，又，所以
【注】“换元”后必须注意新元得范围。“换元法"就是转化思想得一个非常重要得途径.
【变式】求函数得值域、
例3、已知在区间单调递增，求得取值范围、
【分析】先定性分析,再定量研究,借助分类讨论思想展开、
解:当时，在区间显然单调递增;
当时，结合得图像与性质，可知函数在区间单调递增
当时在区间内单调递增，所以,所以
综上所述，实数得取值范围为、
【变式】已知在区间单调递减,求得取值范围、
1、若则得最小值就是_＿＿_____。
2、函数得值域就是___＿____。
3、已知内单调递减,求实数得取值范围。［来源：学｜科|网］
4、(1)若函数得定义域为，求实数得取值范围;
(2)若函数得值域为,求实数得取值范围.
5、设。
(1)当时,求得最小值；
（2）当时,判断得单调性,并写出得最小值。
2、不等式得在内有实数解，则实数得取值范围_＿___＿＿_.
3、不等式得在内恒成立,则实数得取值范围______＿＿。
４、函数得值域就是＿_______.
5、定义在上函数,集合为实数,且对于任意,且存在常数,对于任意,均有成立,则称为函数在上得“定下界"。
若,则函数在上得“定下界"_______＿_＿.
7、已知函数得定义域为（为常数）、　
（1)证明：当时，函数在定义域上就是减函数;
(2）求函数在定义域上得最大值及最小值，并求出函数取最值时得值．
８、【06年上海】已知函数有如下性质：如果常数,那么该函数在上就是减函数， 在上就是增函数、　
(1)如果函数在上就是减函数, 在上就是增函数，求实常数得值；
（2)设常数,求函数得最大值与最小值;
（３）当就是正整数时，　研究函数得单调性，并说明理由、
9、【08年上海】已知函数.
(1)若,求得值;
(２)若对于恒成立,求实数得取值范围.
１0、【11年虹口】对于定义域为得函数,如果存在区间，同时满足：
①在内就是单调函数;
②当定义域就是时,得值域也就是。则称就是该函数得“与谐区间”。
(１）求证：函数不存在“与谐区间”。
（２）已知函数（)有“与谐区间”,当变化时，求出得最大值．
（3）易知，函数就是以任一区间为它得“与谐区间”.试再举一例有“与谐区间"得函数,并写出它得一个“与谐区间"．（不需证明，但不能用本题已讨论过得及形如得函数为例)