分式函数的图像与性质基础篇教师版.doc

分式函数的图像与性质
学习过程
一、课前准备
1、分式函数的概念
形如的函数称为分式函数。如，，等。
2、分式复合函数
形如的函数称为分式复合函数。如，，等。
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：函数的图像与性质
问题1：的图像是怎样的？
例1、画出函数的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。
【分析】，即函数的图像可以经由函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示：

由此可以画出函数的图像，如下：

单调减区间：；
值域：；
对称中心：。
【反思】的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？

【小结】的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。
分式函数的图像与性质
（1）定义域： ；
（2）值域：；
（3）单调性：单调区间为；
（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线，对称中心为点；
（5）奇偶性：当时为奇函数；
（6）图象：如图所示

问题2：的图像是怎样的？
例2、根据与的函数图像，绘制函数的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。
【分析】画函数图像需要考虑函数的定义域、值域、单调性与单调区间，奇偶性，周期性，凸凹性（此点不作要求），关键点坐标（最值点、与坐标轴交点）、辅助线（对称轴、渐近线）。绘图过程中需综合考虑以上要素，结合逼近与极限思想开展。
解：函数的定义域为：；
根据单调性定义，可以求出的单调区间
增区间：
减区间：
函数的值域为：
函数的奇偶性：奇函数
函数图像的渐近线为：

函数的图像如下：

【反思】如何绘制陌生函数的图像？研究新函数性质应从哪些方面入手？
【小结】分式函数的图像与性质：
（1）定义域：；
（2）值域：；
（3）奇偶性：奇函数；
（4）单调性：在区间上是增函数，
在区间上为减函数；
（5）渐近线：以轴和直线为渐近线；
（6）图象：如右图所示

例3、根据与的函数图像，绘制函数的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。
【分析】结合刚才的绘图经验，不难绘制出的图像
解：函数的定义域为：；
根据单调性定义，可以判断出的单调性，单调增区间为：
可是为什么还要学数学，还要考数学呢?

函数的值域为：
函数的奇偶性：奇函数
函数图像的渐近线为：
函数的图像如下：

【反思】结合刚才的两个例子， 与的图像又是怎样的呢？思考与的图像是怎样的呢？的图像呢？
函数的图像如下，绘制的过程可以根据刚才的绘图经验。

【注】，由于与的图像关于轴对称，所以还可以根据的图像，对称的画出的图像。同样的道理的图像与的图像关于轴对称，所以图像如下：
其中还是有着一定道理的

【小结】的图像如下：
（i）

(ii)

(iii)
其实，数学学下来，更多的是学习种种思维方式

(iv) [来源:学+科+网Z+X+X+K]

的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究。
探究任务二：函数的图像与性质
问题3：函数的图像是怎样的？单调区间如何？
【分析】

所以的图像与的图像形状完全相同，只是位置不同。
图像的对称中心为：
单调增区间为：
单调减区间为：
值域：
图像如下：
学习的是研究与解决问题的方式方法

【反思】函数的性质如何呢？单调区间是怎样的呢？
【小结】对于分式函数而言，分子次数高于分母时，可以采用问题3中的方法，将函数表达式写成部分分式，在结合函数的图像的平移，由熟悉的四类分式函数的图像得到新的函数图像，再结合函数的图像研究函数的性质。对于分子的次数低于分母的次数的时候，可以考虑分子分母同时除以分子（确保分子不为0），再着力研究分母的性质与图像，间接地研究整个函数的性质。如：

※ 典型例题
例1、若则的最小值是__________．
解：由，得[来源:学科网]

【注】此处可以借助函数的图像与性质
【变式】若，求的取值范围.
例2、求函数的值域.
解：，令，则
，结合图像与性质，可知当时函数单调递减，当时函数单调递增，又，所以
【注】“换元”后必须注意新元的范围。“换元法”是转化思想的一个非常重要的途径。
【变式】求函数的值域.
例3、已知在区间单调递增，求的取值范围.
【分析】先定性分析，再定量研究，借助分类讨论思想展开.
解：当时，在区间显然单调递增；
当时，结合的图像与性质，可知函数在区间单调递增
当时在区间内单调递增，所以，所以
综上所述，实数的取值范围为.
【变式】已知在区间单调递减，求的取值范围.
例4、某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计产量年递增10万只，第次投入后，每只产品的固定成本为（为常数，且），若产品销售价保持不变，第次投入后的年利润为万元．
（1）求的值，并求出的表达式；
（2）问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?
解：（1）由，当时，由题意，可得，
所以
（2）由
当且仅当，即时取等号，
所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元.
例5、已知，若对所有的均成立，求实数的取值范围.
【分析】典型的恒成立问题，可以采用分离变量的方法，转化成函数最值问题研究
解：由题易知，令，
，当且仅当时取等号
所以，即.
【注】若，注意取到等号的条件，关注函数的定义域，不能一味的根据基本不等式求解.
【变式】数列满足：，则数列中的最大值为_______．
※ 学习小结
学习评价
※ 自我评价 你本节课程学习情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1、若则的最小值是________．
2、函数的值域是________．
3、已知内单调递减，求实数的取值范围。

4、（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；
（2）若函数的值域为，求实数的取值范围。

5、设．
（1）当时，求的最小值；
（2）当时，判断的单调性，并写出的最小值。

课后作业
1、函数的值域为__________．
2、不等式的在内有实数解，则实数的取值范围________．
3、不等式的在内恒成立，则实数的取值范围________．
4、函数的值域是________．
5、定义在上函数，集合为实数，且对于任意，且存在常数，对于任意，均有成立，则称为函数在上的“定下界”．
若，则函数在上的“定下界”__________．

解析：故要恒成立，

6、【11年闸北】据测算：2011年，某企业如果不搞促销活动，那么某一种产品的销售量只能是1万件；如果搞促销活动，那么该产品销售量（亦即该产品的年产量）万件与年促销费用万元（）满足（为常数）．已知2011年生产该产品的前期投入需要8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，企业将每件该产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（定价不考虑促销成本）．
（1）若2011年该产品的销售量不少于2万件，则该产品年促销费用最少是多少？
（2）试将2011年该产品的年利润（万元）表示为年促销费用（万元）的函数，并求2011年的最大利润．
解：（1）由题意可知，当时，（万件），由可得．
所以．………………………………………………………………………….3分
由题意，有，解得．
所以，则该产品年促销费用最少是1万元．………………………………………….4分
（2）由题意，有每件产品的销售价格为（元），
所以，2011年的利润

．……………………………………………….4分
因为，，
所以，………………………………………4分
当且仅当，即（万元）时，利润最大为21万元．……………..1分

7、已知函数的定义域为（为常数）.
（1）证明：当时，函数在定义域上是减函数；
（2）求函数在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时的值．
（1）x1＜x2，x1，x2∈（0，2]，
f(x1)-f(x2)=
(x1-x2)(2x1x2-a)
x1x2
因为x1＜x2，x1，x2∈（0，2]
所以x1-x2＜0，2x1x2＜8≤a，2x1x2-a＜0f（x1）-f（x2）＞0，f（x1）＞f（x2）
所以f（x）是减函数
（2）①当a=0，f（x）=x，f（x）是增函数
所以x=2，max=f(2)=4+ a/2

，无最小值
②当a＜0时，f（x）是增函数
所以x=2，fmax=f(2)=4+ a/2

，无最小值
③当a＞0且a/2≤2

即0＜a≤8时，所以x= a/2

min=2，无最大值
④当a＞0且
a/2＞2即a＞8时
所以x=2，min=4+a/2

，无最大值

8、【06年上海】已知函数有如下性质：如果常数,那么该函数在上是减函数, 在上是增函数.
（1）如果函数在上是减函数, 在上是增函数,求实常数的值；
（2）设常数，求函数的最大值和最小值；
（3）当是正整数时, 研究函数的单调性,并说明理由.
解：（1）由函数y=x+的性质知：y=x+在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数，
∴=4，∴2b=16=24，∴b=4．
（2）∵c∈（1，4），∴∈1，2．
又∵f（x）=x+在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数，
∴∈[1，2]时，当x=时，函数取得最小值2 ．
又f（1）=1+c，f（2）=2+，
f（2）-f（1）=1-．
当c∈（1，2）时，f（2）-f（1）＞0，f（2）＞f（1），
此时f（x）的最大值为f（2）=2+．
当c=2时，f（2）-f（1）=0，f（2）=f（1），
此时f（x）的最大值为f（2）=f（1）=3．
当c∈（2，4时，f（2）-f（1）＜0，f（2）＜f（1），
此时f（x）的最大值为f（1）=1+c．
综上所述，函数f（x）的最小值为2；
当c∈（1，2）时，函数f（x）的最大值为2+；
当c=2时，函数f（x）的最大值为3；
当c∈（2，4）时，函数f（x）的最大值为1+c．  

解析：（1）根据函数y=x+的性质可知=4，从而可求出b的值；
（2）讨论是否在定义域内，从而可求出函数的最小值，讨论c可确定f（1）与f（2）的大小，从而求出函数的最大值．

9、【08年上海】已知函数。
（1）若，求的值；
（2）若对于恒成立，求实数的取值范围。
解：（1）当x＜0时，f（x）=0；当x≥0时，，
由条件可知，，
解得，
∵，
∴；
（2）当t∈[1，2]时，，
即，
，
∴m≥-（22t+1），
，
∴，
故m的取值范围是。

10、【11年虹口】对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：
①在内是单调函数；
②当定义域是时，的值域也是．则称是该函数的“和谐区间”．
（1）求证：函数不存在“和谐区间”．[来源:学。科。网]
（2）已知函数（）有“和谐区间”，当变化时，求出的最大值．
（3）易知，函数是以任一区间为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的及形如的函数为例）
解：（1）设[m，n]是已知函数定义域的子集． 
∵x≠0，
∴[m，n]（﹣∞，0）或[m，n]（0，+∞） 
故函数在[m，n]上单调递增．
若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则
故m、n是方程的同号的相异实数根．
∵x2﹣3x+5=0无实数根，
∴函数不存在“和谐区间”．
（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集．
∵x≠0，
∴[m，n]（﹣∞，0）或[m，n]（0，+∞）
若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，
则
故m、n是方程
即a2x﹣（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根．
∵，
∴m，n同号，只须△=a2（a+3）（a﹣1）＞0，即a＞1或a＜﹣3时，已知函数有“和谐区间”[m，n]，
∵
∴当a=3时，n﹣m取最大值
（3）如：y=﹣x+2和谐区间为、[0，2，]，[﹣1，3，]，当a+b=2的区间[a，b]；
的和谐区间为[0，，1]， 和谐区间为[﹣1，0].