分式函数的图像与性质基础篇教师版.doc

分式函数的图像与性质 学习过程 一、课前准备1、分式函数的概念形如的函数称为分式函数。如，等。2、分式复合函数形如的函数称为分式复合函数。如，等。二、新课导学 学习探究探究任务一：函数的图像与性质问题1：的图像是怎样的？例1、画出函数的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。【分析】，即函数的图像可以经由函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示：由此可以画出函数的图像，如下：单调减区间：；值域：；对称中心：。【反思】的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？【小结】的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。分式函数的图像与性质 （1）定义域： ；（2）值域：；（3）单调性：单调区间为；（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线，对称中心为点；（5）奇偶性：当时为奇函数；（6）图象：如图所示问题2：的图像是怎样的？例2、根据与的函数图像，绘制函数的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。【分析】画函数图像需要考虑函数的定义域、值域、单调性与单调区间，奇偶性，周期性，凸凹性（此点不作要求），关键点坐标（最值点、与坐标轴交点）、辅助线（对称轴、渐近线）。绘图过程中需综合考虑以上要素，结合逼近与极限思想开展。解：函数的定义域为：；根据单调性定义，可以求出的单调区间增区间：减区间：函数的值域为：函数的奇偶性：奇函数函数图像的渐近线为：函数的图像如下：【反思】如何绘制陌生函数的图像？研究新函数性质应从哪些方面入手？【小结】分式函数的图像与性质：（1）定义域：；（2）值域：；（3）奇偶性：奇函数；（4）单调性：在区间上是增函数，在区间上为减函数；（5）渐近线：以轴和直线为渐近线；（6）图象：如右图所示例3、根据与的函数图像，绘制函数的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。【分析】结合刚才的绘图经验，不难绘制出的图像解：函数的定义域为：；根据单调性定义，可以判断出的单调性，单调增区间为：可是为什么还要学数学，还要考数学呢?函数的值域为：函数的奇偶性：奇函数函数图像的渐近线为：函数的图像如下：【反思】结合刚才的两个例子， 与的图像又是怎样的呢？思考与的图像是怎样的呢？的图像呢？函数的图像如下，绘制的过程可以根据刚才的绘图经验。【注】，由于与的图像关于轴对称，所以还可以根据的图像，对称的画出的图像。同样的道理的图像与的图像关于轴对称，所以图像如下：其中还是有着一定道理的【小结】的图像如下：（i） (ii) (iii) 其实，数学学下来，更多的是学习种种思维方式(iv) 来源:学+科+网Z+X+X+K的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究。探究任务二：函数的图像与性质问题3：函数的图像是怎样的？单调区间如何？【分析】所以的图像与的图像形状完全相同，只是位置不同。图像的对称中心为：单调增区间为：单调减区间为：值域：图像如下：学习的是研究与解决问题的方式方法【反思】函数的性质如何呢？单调区间是怎样的呢？【小结】对于分式函数而言，分子次数高于分母时，可以采用问题3中的方法，将函数表达式写成部分分式，在结合函数的图像的平移，由熟悉的四类分式函数的图像得到新的函数图像，再结合函数的图像研究函数的性质。对于分子的次数低于分母的次数的时候，可以考虑分子分母同时除以分子（确保分子不为0），再着力研究分母的性质与图像，间接地研究整个函数的性质。如： 典型例题例1、若则的最小值是_解：由，得来源:学科网【注】此处可以借助函数的图像与性质【变式】若，求的取值范围.例2、求函数的值域.解：，令，则，结合图像与性质，可知当时函数单调递减，当时函数单调递增，又，所以【注】“换元”后必须注意新元的范围。“换元法”是转化思想的一个非常重要的途径。【变式】求函数的值域.例3、已知在区间单调递增，求的取值范围.【分析】先定性分析，再定量研究，借助分类讨论思想展开.解：当时，在区间显然单调递增；当时，结合的图像与性质，可知函数在区间单调递增当时在区间内单调递增，所以，所以综上所述，实数的取值范围为.【变式】已知在区间单调递减，求的取值范围.例4、某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计产量年递增10万只，第次投入后，每只产品的固定成本为（为常数，且），若产品销售价保持不变，第次投入后的年利润为万元（1）求的值，并求出的表达式；（2）问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?解：（1）由，当时，由题意，可得，所以（2）由当且仅当，即时取等号，所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元.例5、已知，若对所有的均成立，求实数的取值范围.【分析】典型的恒成立问题，可以采用分离变量的方法，转化成函数最值问题研究解：由题易知，令，当且仅当时取等号所以，即.【注】若，注意取到等号的条件，关注函数的定义域，不能一味的根据基本不等式求解.【变式】数列满足：，则数列中的最大值为_ 学习小结 学习评价 自我评价 你本节课程学习情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1、若则的最小值是_2、函数的值域是_3、已知内单调递减，求实数的取值范围。4、（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；（2）若函数的值域为，求实数的取值范围。5、设（1）当时，求的最小值；（2）当时，判断的单调性，并写出的最小值。 课后作业 1、函数的值域为_2、不等式的在内有实数解，则实数的取值范围_3、不等式的在内恒成立，则实数的取值范围_4、函数的值域是_5、定义在上函数，集合为实数，且对于任意，且存在常数，对于任意，均有成立，则称为函数在上的“定下界”若，则函数在上的“定下界”_解析：故要恒成立，6、【11年闸北】据测算：2011年，某企业如果不搞促销活动，那么某一种产品的销售量只能是1万件；如果搞促销活动，那么该产品销售量（亦即该产品的年产量）万件与年促销费用万元（）满足（为常数）已知2011年生产该产品的前期投入需要8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，企业将每件该产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（定价不考虑促销成本）（1）若2011年该产品的销售量不少于2万件，则该产品年促销费用最少是多少？（2）试将2011年该产品的年利润（万元）表示为年促销费用（万元）的函数，并求2011年的最大利润解：（1）由题意可知，当时，（万件），由可得所以.3分由题意，有，解得所以，则该产品年促销费用最少是1万元.4分（2）由题意，有每件产品的销售价格为（元），所以，2011年的利润.4分因为，所以，4分当且仅当，即（万元）时，利润最大为21万元.1分7、已知函数的定义域为（为常数）. （1）证明：当时，函数在定义域上是减函数；（2）求函数在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时的值（1）x1x2，x1，x2（0，2，f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(2x1x2-a)x1x2因为x1x2，x1，x2（0，2所以x1-x20，2x1x28a，2x1x2-a0f（x1）-f（x2）0，f（x1）f（x2）所以f（x）是减函数（2）当a=0，f（x）=x，f（x）是增函数所以x=2，max=f(2)=4+ a/2，无最小值当a0时，f（x）是增函数所以x=2，fmax=f(2)=4+ a/2，无最小值当a0且a/22即0a8时，所以x= a/2min=2，无最大值当a0且a/22即a8时所以x=2，min=4+a/2，无最大值8、【06年上海】已知函数有如下性质：如果常数,那么该函数在上是减函数, 在上是增函数. （1）如果函数在上是减函数, 在上是增函数,求实常数的值；（2）设常数，求函数的最大值和最小值；（3）当是正整数时, 研究函数的单调性,并说明理由.解：（1）由函数y=x+的性质知：y=x+在（0，）上是减函数，在（，+）上是增函数，=4，2b=16=24，b=4（2）c（1，4），1，2又f（x）=x+在（0，）上是减函数，在（，+）上是增函数，1，2时，当x=时，函数取得最小值2又f（1）=1+c，f（2）=2+，f（2）-f（1）=1-当c（1，2）时，f（2）-f（1）0，f（2）f（1），此时f（x）的最大值为f（2）=2+当c=2时，f（2）-f（1）=0，f（2）=f（1），此时f（x）的最大值为f（2）=f（1）=3当c（2，4时，f（2）-f（1）0，f（2）f（1），此时f（x）的最大值为f（1）=1+c综上所述，函数f（x）的最小值为2；当c（1，2）时，函数f（x）的最大值为2+；当c=2时，函数f（x）的最大值为3；当c（2，4）时，函数f（x）的最大值为1+c解析：（1）根据函数y=x+的性质可知=4，从而可求出b的值；（2）讨论是否在定义域内，从而可求出函数的最小值，讨论c可确定f（1）与f（2）的大小，从而求出函数的最大值9、【08年上海】已知函数。（1）若，求的值；（2）若对于恒成立，求实数的取值范围。解：（1）当x0时，f（x）=0；当x0时，由条件可知，解得，；（2）当t1，2时，即，m-（22t+1），故m的取值范围是。10、【11年虹口】对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：在内是单调函数；当定义域是时，的值域也是则称是该函数的“和谐区间”（1）求证：函数不存在“和谐区间”来源:学。科。网（2）已知函数（）有“和谐区间”，当变化时，求出的最大值（3）易知，函数是以任一区间为它的“和谐区间”试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”（不需证明，但不能用本题已讨论过的及形如的函数为例）解：（1）设m，n是已知函数定义域的子集x0，m，n（，0）或m，n（0，+）故函数在m，n上单调递增若m，n是已知函数的“和谐区间”，则故m、n是方程的同号的相异实数根x23x+5=0无实数根，函数不存在“和谐区间”（2）设m，n是已知函数定义域的子集x0，m，n（，0）或m，n（0，+）若m，n是已知函数的“和谐区间”，则故m、n是方程即a2x（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根，m，n同号，只须=a2（a+3）（a1）0，即a1或a3时，已知函数有“和谐区间”m，n，当a=3时，nm取最大值（3）如：y=x+2和谐区间为、0，2，1，3，当a+b=2的区间a，b；的和谐区间为0，1， 和谐区间为1，0.