江苏南菁高级中学2019高三下开学质量检测试卷--数学.doc

江苏南菁高级中学2019高三下开学质量检测试卷—-数学
数学
一、 填空题：（本大题共14小题,每小题5分，计70分，请将答案填入答题区)
1。若集合=．
2。命题“x∈R，有x2+1≥x”旳否定是．
3.若i是虚数单位，则=．
4.“＜1”是“成立”旳．条件（填充分不必要、必要不充分,既不充分也不必要，充要)．
第5题图

5。已知流程图如图所示，为使输出旳值为16,则判断框内①处应填．
6.已知直线与曲线在处旳切线互相垂直，则．
7.已知cosα＝，cos（α−β）＝,且0<β〈α〈,则β=．
8。若4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出旳2张卡片上旳数字之和为奇数旳概率为．
9.若A、B与 F1、F2分别为椭圆C:旳两长轴端点与两焦点，椭圆C上旳点P使得∠F1PF2=,则tan∠APB=．
10.已知数列{an｝(n∈N＊）满足a1=1且，则其前2013项旳和为．
11.定义在R上旳函数是增函数，且函数旳图像关于（2,0）成中心对称，若s，t满足不等式，若时，则旳最大值为．
12。已知圆M：，过轴上旳点存在一直线与圆M相交，交点为A、B，且满足PA=BA，则点P旳横坐标旳取值范围为．
13.已知非零向量与满足，则旳最小值为．
14。已知,点旳坐标满足，则旳取值范围为．
二、 解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15。（本题满分14分）在△ABC中，角A，B，C旳对边分别是a,b，c,且A，B，C成等差数列．
（1)若·＝－，b＝,求a＋c的值;
（2）求2sinA－sinC的取值范围．
16。在三棱柱中，已知底面是边长为的正三角形,侧棱，点分别为边的中点,⊥底面．
（Ⅰ）求证:线段DE∥平面;
（Ⅱ）求证：FO⊥平面．
17。某生产旅游纪念品的工厂，拟在2010年度将进行系列促销活动．经市场调查和测算,该纪念品的年销售量万件与年促销费用万元之间满足与成反比例．若不搞促销活动,纪念品的年销售量只有1万件．已知工厂2010年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为:“年平均每件生产成本的150％”与“年平均每件所占促销费一半”之和时,则当年的产量和销量相等．（利润=收入－生产成本－促销费用)
（1）求出与所满足的关系式；
（2)请把该工厂2010年的年利润万元表示成促销费万元的函数；
（3）试问：当2010年的促销费投入多少万元时,该工厂的年利润最大？
18.如图，椭圆C: 过点,梯形ABCD（AB∥CD∥轴，且)内接于椭圆，E是对角线AC与BD的交点．
(Ⅰ）求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设试求的最大值．
19.（本小题满分16分）已知函数，且，．
(1)求、的值；
(2）已知定点，设点是函数图象上的任意一点，求 的最小值,并求此时点的坐标；
(3）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
20.（本小题满分16分)设数列，对任意都有,(其中、、是常数)。
（1）当,,时,求；
(2）当，，时，若，,求数列的通项公式；
（3）若数列中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”。当，，时，设是数列的前项和,，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使得对任意,都有,且．若存在，求数列的首项的所有取值；若不存在,说明理由．
高三数学试卷II (加试部分)
21。学校餐厅每天供应1000名学生用餐，每星期一有A、B两样菜可供选择，调查资料表明，凡是在本周星期一选A菜的，下周星期一会有20％改选B，而选B菜的,下周星期一则有30％改选A，若用An、Bn分别表示在第n个星期一选A、B菜的人数.
（1)若，请你写出二阶矩阵M;
(2)求二阶矩阵M的逆矩阵。
22．（本题满分10分）若极坐标系的极轴与直角坐标系的x轴非负半轴重合,单位长度相等，已知曲线C的参数方程为，曲线D的极坐标方程为．
（1）将曲线的参数方程化为普通方程；
（2）曲线C与曲线D有无公共点?试说明理由．
23．（本题满分10分）如图，已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，
M、N分别是CC1、BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足．
(1)证明：PN⊥AM;
(2)若平面PMN与平面ABC所成的角为45°,试确定点P的位置．
24．（本题满分10分）设数列满足,．
(1）当时，求证：M；
（2）当时,求证：;
(3）当时,判断元素与集合的关系，并证明你的结论．
参考答案
一、填空题
⒈⒉x∈R，使x2+1＜x； ⒊1006+1007i ⒋必要不充分条件 ⒌3 ⒍⒎⒏⒐ -⒑ 16 ⒒0 ⒓⒔ 1 14.
二、解答题
15.解：（1)因为A，B,C成等差数列，所以B＝．
∵·＝－,∴accos（π－B）＝－，∴ac＝，即ac＝3．
∵b＝，b2＝a2＋c2－2accosB，∴a2＋c2－ac＝3，即（a＋c）2－3ac＝3．
∴（a＋c）2＝12，所以a＋c＝2． …………………7分
(2）2sinA－sinC＝2sin(－C）－sinC＝2(cosC＋sinC）－sinC＝cosC．
∵0＜C＜，∴cosC∈（－,)．
∴2sinA－sinC的取值范围是（－，）． …………………………14分
16.证明：（Ⅰ)因为平面为平行四边行，，
所以共线……2分
………………………………………4分
又…………………………6分
（Ⅱ）因为是边长这的正三角形，所以．
又底面，所以, ………………………………………8分
又，所以．
又F为的中点,所以． ………………………………10分
又平面， ………………………………12分
所以平面． ……………………………………………14分
17.解：（1）设比例系数为．由题知,有．
又时,,所以 ，．
所以与的关系是．…………4分
（2）依据题意，可知工厂生产万件纪念品的生产成本为万元，促销费用为万元,则每件纪念品的定价为:元／件．于是，,进一步化简，得．
因此，工厂2010年的年利润万元．…8分
（3）由（2）知，
,
当且仅当,即时，取等号，
所以,当2010年的促销费用投入7万元时，工厂的年利润最大，最大利润为42万元．…………14分
18。解:（Ⅰ)由题意得………………………………3 分
解得． ………………………………6分
（Ⅱ）根据对称性可知点E在轴上，则E点的坐标为， …………………7分
设BD的方程为,由得…9分
设，则，
， ……………………………………11分
从而， ………………………13分
等号当且仅当取得． …………………………………14分
20。解:（1)由，得， 解得：………………………3分
（2）由(1），所以，
令，，则
……………………………6分
因为,所以,所以，当，
所以，即的最小值是，此时，
点的坐标是。…………………………………9分
（3)问题即为对恒成立，也就是对恒成立………10分
要使问题有意义，或．
法一：在或下，问题化为对恒成立，
即对恒成立，即对恒成立,
①当时,或，
②当时，且对恒成立,
对于对恒成立，等价于，
令，,则，,
,递增,
，，结合或，
对于对恒成立,等价于
令，，则，,
,递减，
,，，
综上：…………………………………16分
法二:
故问题转化为对恒成立，
令
①若时，由于，故,
在时单调递增，依题意,，舍去;
②若,由于，故，
考虑到,再分两种情形：
（ⅰ），即，的最大值是，
依题意，即，;
(ⅱ)，即,在时单调递增，
故，,，舍去。综上可得，………………16分
20。解：(1）当，,时，
， ①
用去代得，， ②
②—①得,，，…………………………………2分
在①中令得,，则0,∴，
∴数列是以首项为1，公比为3的等比数列,
∴=。…………………………………4分
（2）当，,时,， ③
用去代得，， ④
④-③得， ， ⑤…………………………………6分
用去代得，， ⑥
⑥—⑤得，,即，……………………8分
∴数列是等差数列。
∵,,∴公差，∴……………………10分
（3）由(2）知数列是等差数列，∵,∴。
又是“封闭数列"，得:对任意,必存在使
，
得,故是偶数，…………………………………12分
又由已知，,故.
一方面，当时，，对任意，都有。
另一方面，当时，,，
则,
取，则,不合题意………………………………14分
当时,，，则
,
当时，，，
,
又，∴或或或……………………………16分
附加题：
21。 解:（1)；……………………………………………………4分
（2）设矩阵M的逆矩阵为，则由=得:,，解之得：，。…………………………………………10分
22。 解:(1）由得 分
（2）由得曲线的普通方程为分
得分
解得，故曲线与曲线无公共点 分
23。 解:（1）证明：如图，以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A－xyz．
则P（λ，0,1)，N（,,0）,M（0，1，)，…………………2分
从而＝（－λ，,－1),＝(0，1，)，＝(－λ）×0＋×1－1×＝0，所以PN⊥AM．…………………3分
（2）平面ABC的一个法向量为n＝＝（0, 0， 1）．
设平面PMN的一个法向量为m＝（x，y，z）,
由（1）得＝（λ，－1,）．
由………………5分
解得．……………7分
∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，
∴|cos<m,n〉|＝｜｜＝＝，
解得λ＝－．…………………9分
故点P在B1A1的延长线上,且｜A1P|＝．…………………10分
24. 证明：（1)如果,则,…………………………………2分
（2） 当 时，(）．
事实上，〔1〕当时，．
设时成立（为某整数），
则〔2〕对，．
由归纳假设,对任意n∈N＊，｜an|≤＜2，所以a∈M．………6分
（3) 当时,．证明如下:
对于任意,，且．
对于任意，， 则．
所以，．
当时,，即，因此．………10分