2020-2021学年高中数学选修1-2综合测试2.docx

本册综合测试(二)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题后给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．变量y与x之间的回归方程(　　)
A．表示y与x之间的函数关系
B．表示y与x之间的不确定关系
C．反映y与x之间的真实关系
D．反映y与x之间真实关系达到最大限度的吻合
解析　回归方程是表示y与x具有相关关系，相关关系是一种非确定性关系，而回归方程是由最小二乘法求得的，它反映了y与x之间真实关系达到最大限度的吻合．
答案　D
2．若z1＝(1＋i)2，z2＝1－i，则等于(　　)
A．1＋i　　　　　　　　 B．－1＋i
C．1－i D．－1－i
解析　z1＝(1＋i)2＝2i，z2＝1－i，
＝＝＝＝－1＋i.
答案　B
3．散点图在回归分析过程中的作用是(　　)
A．查找个体个数
B．比较个体数据大小关系
C．探究个体分类
D．粗略推断变量是否线性相关
答案　D
4．设a，b，c均为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P，Q，R同时大于0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析　必要性明显成立；PQR>0，包括P，Q，R同时大于0，或其中两个为负两种状况．假设P<0，Q<0，则P＋Q＝2b<0，这与b为正实数冲突．同理当P，R同时小于0或Q，R同时小于0的状况亦得出冲突，故P，Q，R同时大于0，所以选C.
答案　C
5．在一个2×2列联表中，由其数据计算得到K2的观测值k＝13.097，则其两个变量间有关系的可能性为(　　)
A．99.9% B．95%
C．90% D．0
解析　∵13.097>10.828，∴有99.9%的把握认为两个变量有关系．
答案　A
6．设a，b为实数，若复数＝1＋i，则(　　)
A．a＝，b＝ B．a＝3，b＝1
C．a＝，b＝ D．a＝1，b＝3
解析　＝1＋i，则1＋2i＝(1＋i)(a＋bi)＝(a－b)＋(a＋b)i，
∵a，b∈R，
∴解得
答案　A
7．在一次试验中，当变量x的取值分别为1、、、时，变量y的值依次为2、3、4、5，则y与x之间的回归曲线方程为(　　)
A.＝x＋1 B.＝2x＋1
C.＝＋3 D.＝＋1
解析　把变量x的值代入验证知，回归曲线方程为＝＋1.
答案　D
8．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A＋B＋C＝90°＋90°＋C>180°，这与三角形内角和为180°冲突，A＝B＝90°不成立．②所以三角形中不能有两个直角．③假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设A＝B＝90°.正确挨次的序号为(　　)
A．①②③ B．③①②
C．①③② D．②③①
答案　B
9．复数z＝(i为虚数单位)，则|z|＝(　　)
A．25 B.
C．5 D.
解析　解法一：z＝＝＝＝－4－3i.
∴|z|＝|－4－3i|＝＝5.
解法二：|z|＝＝＝＝5.
答案　C
10．已知下表：
a1
a2　a3
a4　a5　a6
…
则a81的位置是(　　)
A．第13行第2个数
B．第14行第3个数
C．第13行第3个数
D．第17行第2个数
解析　第n行最终一项为a，故当n＝13时，有a91，所以a81是第13行第3个数．
答案　C
11．如图所示，程序框图输出的全部实数对(x，y)所对应的点都在函数(　　)

A．y＝x＋1的图象上 B．y＝2x的图象上
C．y＝2x的图象上 D．y＝2x－1的图象上
解析　读程序框图知，输出的(x，y)依次是：(1,1)，(2,2)，(3,4)，(4,8)，这些点都在y＝2x－1的图象上．
答案　D
12．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是(　　)
A．ak＋ak＋1＋…＋a2k
B．ak－1＋ak＋…＋a2k－1
C．ak－1＋ak＋…＋a2k
D．ak－1＋ak＋…＋a2k－2
解析　设数列为{bn}，则b1＝1＝a1－1，
b2＝a＋a2＝a2－1＋a2(2－1)，
b3＝a2＋a3＋a4＝a3－1＋a3＋a2(3－1)，
b4＝a3＋a4＋a5＋a6＝a4－1＋a4＋a5＋a2(4－1)，
…
bn＝an－1＋an＋…＋a2(n－1)(n∈N*)，
∴bk＝ak－1＋ak＋…＋a2(k－1)．
答案　D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上)
13．观看数列，3，，，3，…，写出数列的一个通项公式an＝________.
解析　观看数列，，，，，…，
被开方数3,9,15,21,27，…，
成等差数列，通项为3＋(n－1)×6＝6n－3，故an＝(n∈N*)．
答案　(n∈N*)
14．下列表示旅客搭乘火车的流程，正确的是________．
①买票―→候车―→上车―→检票
②候车―→买票―→上车―→检票
③买票―→候车―→检票―→上车
④候车―→买票―→上车―→检票
答案　③
15．设θ∈，当θ＝________时，z＝1＋sinθ＋i(cosθ－sinθ)是实数．
解析　若z为实数，则cosθ＝sinθ，即tanθ＝1，
∵θ∈，∴θ＝，或θ＝.
答案　或

16．如图所示，在三棱锥S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA，SB，SC和底面ABC所成的角分别为α1，α2，α3，△SBC，△SAC，△SAB的面积分别为S1，S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间图形的一个猜想是________．
解析　在△ABC中，有正弦定理＝＝，于是类比三角形中的正弦定理，在三棱锥S－ABC中，猜想＝＝.
答案　＝＝
三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)某人酷爱买彩票，一次他购买了1000注的彩票，共有50注中奖，于是他回到家对彩票的号码进行了分析，分析后又去买了1500注的彩票，有75注中奖．请分析他对号码的争辩是否对中奖产生了大的影响．
解　依据题意可知购买1000注的彩票，中奖50注，未中奖的有950注；购买1500注彩票，中奖75注，未中奖的有1425注．列出对应的2×2列联表如下：

中奖注数
未中奖注数
总计
未分析
50
950
1000
分析后
75
1425
1500
总计
125
2375
2500
假设H0：对彩票号码的争辩与中奖无关．
由表中数据，得K2的观测值为
k＝＝0.
由于0<2.706，所以没有足够的证据说明对彩票号码的分析与中奖有关．
18．(12分)已知f(z)＝|1＋z|－，且f(－z)＝10＋3i，求复数z.
解　f(z)＝|1＋z|－，f(－z)＝|1－z|＋，
设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.
由f(－z)＝10＋3i，得
|1－(a＋bi)|＋a－bi＝10＋3i，
所以
解方程组得
所以复数z＝5－3i.
19．(12分)某同学在一次争辩性学习中发觉，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；
②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；
③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)依据(1)的计算结果，将该同学的发觉推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解　(1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin15°cos15°
＝1－sin30°＝1－×＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)
＝sin2α＋2－sinαcosα－sin2α
＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα
＝(sin2α＋cos2α)＝.
20．(12分)下面命题是真命题还是假命题，用分析法证明你的结论．
命题：若a>b>c，且a＋b＋c＝0，则<.
解　命题是真命题，证明如下：
∵a>b>c，且a＋b＋c＝0，
∴a>0，c<0.
要证<，只需证<a，
只需证b2－ac<3a2，由于b＝－a－c，故
只需证(a＋c)2－ac<3a2，即证2a2－ac－c2>0，
即证(2a＋c)(a－c)>0.
∵2a＋c>a＋b＋c＝0，a－c>0，
∴(2a＋c)(a－c)>0成立，故原命题成立．
21．(12分)设函数y＝f(x)定义在R上，对任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1.
(1)求证：f(0)＝1，且当x<0时，f(x)>1；
(2)证明：f(x)在R上是减函数．
证明　(1)∵对m，n∈R，恒有
f(m＋n)＝f(m)·f(n)，
∴令m＝1，n＝0，得f(1)＝f(1)·f(0)．
又0<f(1)<1，∴f(0)＝1.
当x<0时，－x>0，从而
f(0)＝f(x－x)＝f(x)·f(－x)，
∴f(x)＝.
∵－x>0，∴0<f(－x)<1，从而f(x)>1.
(2)任取x1，x2∈R，且x1<x2，
∴x2－x1>0，故0<f(x2－x1)<1，
即0<f(x2)·f(－x1)<1.
又f(0)＝f(x1－x1)＝f(x1)·f(－x1)＝1，
∴f(－x1)＝.
又当x∈R时，f(x)>0，
∴0<<1，∴f(x2)<f(x1)，即f(x1)>f(x2)，
故f(x)在R上是减函数．
22．(12分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：

文艺节目
新闻节目
总计
20至40岁
40
18
58
大于40岁
15
27
42
总计
55
45
100
(1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？
(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应当抽取几名？
(3)在上述抽取的5名观众中，任取2名，求恰有一名观众的年龄为20至40岁的概率．
解　(1)由于在20岁至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名收看新闻节目，所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．
(2)应抽取大于40岁的观众人数为×5＝3(名)．
(3)用分层抽样方法抽取的5名观众中，20岁至40岁的有2名(记为y1，y2)，大于40岁的有3名(记为A1，A2，A3).5名观众中任取2名，共有10种不同的取法：y1y2，y1A1，y1A2，y1A3，y2A1，y2A2，y2A3，A1A2，A1A3，A2A3.
设A表示随机大事“5名观众中任取2名，恰有一名年龄在20岁至40岁”，则A中的基本大事有6种：
y1A1，y1A2，y1A3，y2A1，y2A2，y2A3.
故所求的概率为P(A)＝＝0.6.