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双基限时练(二十七)
一、选择题
1．圆x2＋y2＝1与x2＋y2－2x－2y＝0的位置关系是( )
A．相交 B．相离
C．内含 D．外切
解析 圆心距d＝＝<1＋，且d>－1，可知答案为A.
答案 A
2．若x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与x2＋y2＋2x－2y－2＝0相外切，则m的值为( )
A．－5 B．3
C．－5或3 D．以上均不对
解析 x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0可化为(x－m)2＋(y＋2)2＝9，x2＋y2＋2x－2y－2＝0可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝4，由题可知， ＝3＋2，得m＝－5，或m＝3.
答案 C
3．过两圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝13及(x＋2)2＋(y＋1)2＝9的交点的直线方程是( )
A．x＋y＋2＝0 B．x＋y－2＝0
C．5x＋3y＋2＝0 D．5x＋3y－2＝0
解析 将两圆的方程相减．
答案 A
4．两圆x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2－1＝0与x2＋y2＋2bx＋2by＋2b2－1＝0的公共弦长的最大值为( )
A．2 B．2
C. D．1
解析 两圆相交弦所在的直线方程为x＋y＋a＋b＝0，
∴弦长＝2.
∴当a＝b时弦长最大，最大值为2.
答案 B
5．若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0关于直线x－y＝1对称的圆的方程为x2＋y2＝1，则实数a的值为( )
A．0 B．1
C．±2 D．2
解析 x2＋y2－ax＋2y＋1＝0的圆心为，半径为，由题意，得得a＝2.
答案 D
6．圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0与圆x2＋y2－4x＋10y＋13＝0的公切线的条数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 两圆的圆心距d＝＝，半径r1＝1，r2＝4，∴d>r1＋r2，∴两圆相外离，故有4条公切线．
答案 D
二、填空题
7．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为2，则a＝________.
解析 由题可知，两圆的公共弦所在的直线方程为y＝，圆心O到直线的距离为，则由弦长公式()2＋＝4，得a＝1.
答案 1
8．若(x＋1)2＋y2＝4与(x－a)2＋y2＝1相交，则a的取值范围是________．
解析 由题可知 ∈(2－1，2＋1)，
得－4<a<－2，或0<a<2.
答案 －4<a<－2，或0<a<2
9．若圆x2＋y2＝4和圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程为________．
解析 由
①－②可得l的方程为x－y＋2＝0.
答案 x－y＋2＝0
三、解答题
10．已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A，B两点．
(1)求公共弦AB所在的直线方程；
(2)求圆心在直线y＝－x上，且经过A，B两点的圆的方程．
解 (1)由
得x－2y＋4＝0，
所以公共弦AB所在的直线方程为x－2y＋4＝0.
(2)设所求的圆的方程为x2＋y2＋2x＋2y－8＋λ(x2＋y2－2x＋10y－24)＝0①
整理得(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)x＋(2＋10λ)y－8－24λ＝0，
圆心，又圆心在y＝－x上，
即＝，得λ＝－.
代入①得x2＋y2＋6x－6y＋8＝0.
即所求的圆的方程为x2＋y2＋6x－6y＋8＝0.
11．求通过直线2x－y＋3＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，且面积最小的圆的方程．
解 解法1：设所求的圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x－y＋3)＝0，
配方得标准方程为(x＋1＋λ)2＋2＝(1＋λ)2＋－3λ－1.
∵r2＝λ2＋λ＋4＝(λ＋)2＋，
∴当λ＝－时，半径r＝ 最小．
∴所求面积最小的圆的方程为5x2＋5y2＋6x－18y－1＝0.
解法2：设直线与圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去y，得5x2＋6x－2＝0.
∴判别式Δ>0，AB中点横坐标
x0＝＝－，纵坐标y0＝2x0＋3＝，
即圆心C，
半径r＝·|x1－x2|＝ ，
∴所求面积最小的圆的方程为2＋2＝.
12．已知圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0和圆C2：x2＋y2＋6x＋2y－40＝0相交于A，B两点，求公共弦AB的长．
解 解法1：由两圆方程相减，得公共弦AB所在直线的方程为：4x＋3y－10＝0.
由解得或
令A(－2,6)，B(4，－2)．
故|AB|＝＝10.
解法2：同法1，先求出公共弦所在直线l的方程为4x＋3y－10＝0.
过C1作C1D⊥AB于D，如图，圆C1的圆心C1(5,5)，半径r1＝5，则|C1D|＝＝5.
∴|AB|＝2|AD|＝2＝2＝10.
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13．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．
试求a为何值时，两圆C1，C2：(1)相切；(2)相交；(3)相离？
解 对圆C1，C2的方程，经配方后可得：
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
∴C1(a,1)，r1＝4，C2(2a,1)，r2＝1，
∴|C1C2|＝＝a.
(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切，
当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．
(2)当3<|C1C2|<5，即3<a<5时，两圆相交．
(3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离．
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