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双基限时练(二十七) 两角和与差的正切函数
一、选择题
1.的值为( )
A. B.
C. D．－
解析 ＝
＝－＝－tan60°＝－.
答案 D
2．若A、B为锐角三角形的两个内角，则tanA·tanB的值( )
A．不大于1 B．小于1
C．等于1 D．大于1
解析 tanC＝－tan(A＋B)＝－＞0，又tanA＋tanB＞0，∴1－tanAtanB＜0，即tanA·tanB＞1.
答案 D
3．若tan(α＋β)＝，tan＝，则tan等于( )
A. B.
C. D.
解析 tan(α＋)＝tan
＝＝＝.
答案 C
4．若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cos(A＋B)的值为( )
A．－ B.
C．± D．±
解析 由于tan(A＋B)＝且tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，∴tan(A＋B)＝－1.
∴cos(A＋B)＝±.
答案 C
5．tan20°tan50°＋tan20°tan60°－tan60°tan50°等于( )
A．1 B．－1
C. D．－
解析 原式＝tan20°(tan50°＋tan60°)－tan60°tan50°＝tan20°tan110°(1－tan50°tan60°)－tan60°tan50°
＝tan20°(－tan70°)(1－tan50°tan60°)－tan50°tan60°
＝－(1－tan50°tan60°)－tan50°tan60°
＝－1.
答案 B
6．设tanθ和tan是方程x2＋px＋q＝0的两个根，则p，q之间的关系是( )
A．p＋q＋1＝0 B．p－q＋1＝0
C．p＋q－1＝0 D．p－q－1＝0
解析 由韦达定理得tanθ＋tan＝－p，
tanθtan＝q.
又tan＝tan＝
＝＝1，∴－p＝1－q.
∴p－q＋1＝0.
答案 B
二、填空题
7．若＝________.
解析 原式＝
＝tan15°＝tan(45°－30°)＝＝＝2－.
答案 2－
8．已知α为第三象限的角，cos2α＝－，则tan＝________.
解析 ∵α为第三象限的角，则2kπ＋π≤α≤2kπ＋，∴4kπ＋2π≤2α≤4kπ＋3π(k∈Z)．又cos2α＝－，∴sin2α＝，tan2α＝－，∴tan＝＝－.
答案 －
9．已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则tan的值为__________
解析 依题意，tanθ＝＝－1.
∴tan＝＝＝2－.
答案 2－
10．已知α、β均为锐角，且tanβ＝，则tan(α＋β)＝________.
解析 tanβ＝＝，
∴tanβ＋tanαtanβ＝1－tanα.
∴tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ.
∴＝1，∴tan(α＋β)＝1.
答案 1
三、解答题
11．化简下列各式．
(1)；
(2)tan10°tan20°＋(tan10°＋tan20°)．
解 (1)原式＝＝tan(45°＋75°)＝－tan60°
＝－.
(2)原式＝tan10°tan20°＋·tan30°·(1－tan10°tan20°)
＝tan10°tan20°＋1－tan20°tan10°
＝1.
12．(1)已知＝2，求tan；
(2)已知α，β为锐角，cosα＝.tan(α－β)＝－，求tanβ的值．
解 (1)∵＝2，∴tanA＝－.
则tan(＋A)＝＝.
(2)∵α为锐角，cosα＝，∴sinα＝，tanα＝.
tanβ＝tan[α－(α－β)]＝
＝＝＝.
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点．已知A、B的横坐标分别为、.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
解 (1)由已知条件及三角函数的定义可知：
cosα＝，cosβ＝，因α为锐角，故sinα＞0，
从而sinα＝＝.
同理可得sinβ＝.
因此tanα＝7，tanβ＝.
所以tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝－1.
又0＜α＜，0＜β＜，故0＜α＋2β＜，
从而由tan(α＋2β)＝－1，得α＋2β＝.
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