资源描述
A组(供高考题型为填空题的省份使用)
1．如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________.
解析 ∵AC＝4，AD＝12，∠ACD＝90°，
∴CD2＝AD2－AC2＝128，∴CD＝8.
又∵AE⊥BC，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC，
∴＝，∴BE＝＝＝4.
答案 4
2．如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________．
解析 如图，连接CE，AO，AB.依据A，E是半圆周上的两个三等分点，BC为直径，可得∠CEB＝90°，∠CBE＝30°，∠AOB＝60°，故△AOB为等边三角形，AD＝，OD＝BD＝1，∴DF＝，
∴AF＝AD－DF＝.
答案
3．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF＝________.
解析 连接DE，由于E是AB的中点，故BE＝.
又CD＝，AB∥DC，CB⊥AB，
∴四边形EBCD是矩形．
在Rt△ADE中，AD＝a，F是AD的中点，故EF＝.
答案
4.如图，已知PA，PB是圆O的切线，A，B分别为切点，C为圆O上不与A，B重合的另一点，若∠ACB＝120°，则∠APB＝________.
解析 如图，连接OA，OB，∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠ACB＝120°，
∴∠AOB＝120°.又P，A，O，B四点共圆，故∠APB＝60°.
答案 60°
5．如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝________.
解析 由切割线定理知，C2＝PA·PB，解得PC＝2.连接OC，又OC⊥PC，故CD＝＝＝.
答案
6．如图，点A、B、C都在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB＝5，BC＝3，CD＝6，则线段AC的长为________．
解析 由切割线定理，得CD2＝
BD·AD.
由于CD＝6，AB＝5，则36＝BD(BD＋5)，
即BD2＋5BD－36＝0，
即(BD＋9)(BD－4)＝0，所以BD＝4.
由于∠A＝∠BCD，所以△ADC∽△CDB，于是＝.
所以AC＝·BC＝×3＝.
答案
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为______．
解析 由题意，得弦切角∠BCD＝∠A＝60°，∠ACB＝∠D＝90°，
∴△ABC∽△CBD.
∴＝，CD＝＝＝5.
又∵CD与圆相切，∴CD2＝DE·DB，则DE＝＝＝＝5.
答案 5
8．如图，⊙O的割线PBA过圆心O，弦CD交PA于点F，且△COF∽△PDF，若PB＝OA＝2，则PF＝________.
解析 由相交弦定理可得BF·AF＝DF·CF，
由△COF∽△PDF可得＝，
即得DF·CF＝PF·OF.∴BF·AF＝PF·OF，
即(PF－2)·(6－PF)＝PF·(4－PF)，解得PF＝3.
答案 3
9．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若＝，＝，则的值为________．
解析 ∵∠P＝∠P，∠PCB＝∠PAD，
∴△PCB∽△PAD.∴＝＝.
∵＝，＝，∴＝.
答案
10.如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，则BC＝________.
解析 C为BD中点，且AC⊥BC，故△ABD为等腰三角形．AB＝AD＝6，
∴AE＝4，DE＝2，
又＝⇒AC2＝AE·AD＝4×6＝24，
AC＝2，在△ABC中，BC＝＝＝2.
答案 2
11．如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm，4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝________cm.
解析 如图，连接DC，则CD⊥AB，
Rt△ADC∽Rt△ACB.
故＝，即＝，
AD＝(cm)，
BD＝5－＝(cm)．
答案
12．如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________.
解析 ∵直线PB与圆相切于点B，且∠PBA＝∠DBA，
∴∠ACB＝∠ABP＝∠DBA，由此可得直线AB是△BCD外接圆的切线且B是切点，则由切割线定理得AB2＝AD·AC＝mn，即得AB＝.
答案
13．如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则线段CD的长为________．
解析 由相交弦定理得AF·FB＝EF·FC，
∴FC＝＝2.由△AFC∽△ABD，
可知＝，∴BD＝＝.
由切割线定理得DB2＝DC·DA，
又DA＝4CD，
∴4DC2＝DB2＝，∴DC＝.
答案
14．如图所示，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为________．
解析 设AF＝4k，BF＝2k，BE＝k，由DF·FC＝AF·BF，得2＝8k2，即k＝.所以AF＝2，BF＝1，BE＝，
AE＝.由切割线定理，得CE2＝BE·EA＝×＝，所以CE＝.
答案
15．如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB＝4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为________．
解析 当OD的值最小时，DC最大，易知D为AB的中点时，DB＝DC＝2最大．
答案 2
B组(供高考题型为解答题的省份使用)
1．如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.
(1)证明：△ABE∽△ADC；
(2)若△ABC的面积S＝AD·AE，求∠BAC的大小．
(1)证明 由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.由于∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.
(2)解 由于△ABE∽△ADC，所以＝，
即AB·AC＝AD·AE.
又S＝AB·ACsin∠BAC，
且S＝AD·AE，
故AB·AC·sin∠BAC＝AD·AE.
则sin∠BAC＝1，
又∠BAC为三角形内角，
所以∠BAC＝90°.
2．(2022·辽宁卷)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.
(1)求证：AB为圆的直径；
(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.
证明 (1)由于PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.
由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA，
又由于∠PGD＝∠EGA，
故∠DBA＝∠EGA.
所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，
从而∠BDA＝∠PFA.
由于AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，于是∠BDA＝90°.
故AB是直径．
(2)连接BC，DC.
由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.
在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，
从而Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB＝∠CBA.
又由于∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，
故DC∥AB.
由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．
于是ED为直径．由(1)得ED＝AB.
3．如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作直线AP垂直直线OM，垂足为P.
(1)证明：OM·OP＝OA2；
(2)N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K.证明：∠OKM＝90°.
证明 (1)由于MA是圆O的切线，所以OA⊥AM.又由于AP⊥OM，在Rt△OAM中，由射影定理知，OA2＝OM·OP.
(2)由于BK是圆O的切线，BN⊥OK，同(1)，有OB2＝ON·OK，又OB＝OA，所以OP·OM＝ON·OK，
即＝.又∠NOP＝∠MOK，
所以△ONP∽△OMK，故∠OKM＝∠OPN＝90°.
4．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外接圆劣弧上的点(不与点A，C重合)，延长BD至E.
(1)求证：AD的延长线平分∠CDE；
(2)若∠BAC＝30°，△ABC中BC边上的高为2＋，求△ABC外接圆的面积．
(1)证明 如图，设F为AD延长线上一点．
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠CDF＝∠ABC.
又AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
且∠ADB＝∠ACB，
∴∠ADB＝∠CDF.
又∠EDF＝∠ADB，
故∠EDF＝∠CDF，
即AD的延长线平分∠CDE.
(2)解 设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H，
则AH⊥BC.
连接OC，由题意∠OAC＝∠OCA＝15°，∠ACB＝75°，
∴∠OCH＝60°.
设圆半径为r，则r＋r＝2＋，
得r＝2，∴△ABC外接圆的面积为4π.
5．如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E.
(1)求证：AB2＝DE·BC；
(2)若BD＝9，AB＝6，BC＝9，求切线PC的长．
(1)证明 ∵AD∥BC，∴.
∴AB＝CD，∠EDC＝∠BCD.
又PC与⊙O相切，∴∠ECD＝∠DBC.
∴△CDE∽△BCD.∴＝.
∴CD2＝DE·BC，即AB2＝DE·BC.
(2)解 由(1)知，DE＝＝＝4，
∵AD∥BC，∴△PDE∽△PBC，
∴＝＝.
又∵PB－PD＝9，
∴PD＝，PB＝.
∴PC2＝PD·PB＝·＝.∴PC＝.
6.如图，直线AB为圆O的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.
(1)证明：DB＝DC；
(2)设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．
(1)证明 如图，连接DE，则∠DCB＝∠DEB，
∵DB⊥BE，
∴∠DBC＋∠CBE＝90°，∠DEB＋∠EDB＝90°，
∴∠DBC＋∠CBE＝∠DEB＋∠EDB，
又∠CBE＝∠EBF＝∠EDB，
∴∠DBC＝∠DEB＝∠DCB，
∴DB＝DC.
(2)解 由(1)知：∠CBE＝∠EBF＝∠BCE，
∴∠BDE＝∠CDE，
∴DE是BC的垂直平分线，
设交点为H，则BH＝，
∴OH＝＝，
∴DH＝，
∴tan∠BDE＝＝，
∴∠BDE＝30°，
∴∠FBE＝∠BDE＝30°，
∴∠CBF＋∠BCF＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴BC是△BCF的外接圆直径．
∴△BCF的外接圆半径为.
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