2020年人教A版数学理(广东用)课时作业：第八章-第七节双曲线.docx

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课时提升作业(五十六)
一、选择题
1.(2021·东莞模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为(　　)
(A)-=1 (B)-=1
(C)-=1 (D)-=1
2.(2021·韶关模拟)已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则·的最小值为(　　)
(A)-2　　　(B)-　　 　(C)1　　(D)0
3.(2021·中山模拟)设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,假如直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为(　　)
(A) (B) (C) (D)
4.(2022·浙江高考)如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点,若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值
是(　　)

(A)3 (B)2 (C) (D)
5.设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为(　　)
(A)3x±4y=0 (B)3x±5y=0
(C)4x±3y=0 (D)5x±4y=0
6.(2021·云浮模拟)设椭圆+=1和双曲线-x2=1的公共焦点分别为F1,F2,P为这两条曲线的一个交点,则cos∠F1PF2的值为(　　)
(A) (B) (C) (D)-
7.(力气挑战题)已知点F1,F2分别是双曲线-=1的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABF2为锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
(A)(1,1+) (B)(1,)
(C)(+1,+∞) (D)(-∞,1+)
二、填空题
8.已知双曲线-=1的右焦点的坐标为(,0),则该双曲线的渐近线方程为　　　.
9.设点P是以F1,F2为左、右焦点的双曲线-=1(a>0,b>0)左支上一点,且满足·=0,tan∠PF2F1=,则此双曲线的离心率为　　　　.
10.(力气挑战题)(2021·深圳模拟)P为双曲线x2-=1右支上一点,M,N分别是圆(x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为　　　　.
三、解答题
11.(2021·肇庆模拟)已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点P(4,-).
(1)求双曲线的方程.
(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:·=0.
(3)求△F1MF2的面积.
12.P(x0,y0)(x0≠±a)是双曲线E:-=1(a>0,b>0)上一点,M,N分别是双曲线E的左,右顶点,直线PM,PN的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率.
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足=λ+,求λ的值.
13.(2021·哈尔滨模拟)椭圆C1:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,点P是双曲线C2:-=1在第一象限内的图象上一点,直线AP,BP与椭圆C1分别交于C,D点,若S△ACD=S△PCD.
(1)求P点的坐标.
(2)能否使直线CD过椭圆C1的右焦点,若能,求出此时双曲线C2的离心率;若不能,请说明理由.

答案解析
1.【解析】选B.由题意可知
解得
所以双曲线的方程为-=1.
2.【解析】选A.设点P(x,y),其中x≥1,依题意得A1(-1,0),F2(2,0),则有=x2-1,y2=3(x2-1),·=(-1-x,-y)·(2-x,-y)=(x+1)(x-2)+y2=x2+3(x2-1)-x-2=4x2-x-5=4(x-)2-,其中x≥1.因此,当x=1时,·取得最小值-2.
3.【解析】选D.由于焦点在x轴上与焦点在y轴上的离心率一样,所以不妨设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),则双曲线的渐近线的斜率k=±,一个焦点坐标为F(c,0),一个虚轴的端点为B(0,b),所以kFB=-,又由于直线FB与双曲线的一条渐近线垂直,所以k·kFB=(-)=-1(k=-明显不符合),
即b2=ac,c2-a2=ac,所以,c2-a2-ac=0,
即e2-e-1=0,解得e=(负值舍去).
【变式备选】双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,则的最小值为(　　)
(A) (B) (C)2 (D)1
【解析】选A.由于双曲线的离心率为2,所以=2,
即c=2a,c2=4a2;
又由于c2=a2+b2,
所以a2+b2=4a2,即b=a,
因此==a+≥2=,当且仅当a=,即a=时等号成立.
故的最小值为.
4.【解析】选B.设双曲线的方程为-=1(a1>0,b1>0),椭圆的方程为+=1(a2>0,b2>0),
由于M,O,N将椭圆长轴四等分,
所以a2=2a1,又e1=,e2=,
所以=2.
5.【解析】选C.设PF1的中点为M,由于|PF2|=|F1F2|,
所以F2M⊥PF1,由于|F2M|=2a,
在直角三角形F1F2M中,
|F1M|==2b,
故|PF1|=4b,
依据双曲线的定义得
4b-2c=2a,即2b-c=a,
由于c2=a2+b2,所以(2b-a)2=a2+b2,
即3b2-4ab=0,即3b=4a,
故双曲线的渐近线方程是y=±x,
即4x±3y=0.
6.【解析】选B.由题意可知m-2=3+1,解得m=6.
方法一:由椭圆与双曲线的对称性,不妨设点P为第一象限内的点,F1(0,-2),F2(0,2),联立+=1与-x2=1组成方程组,解得P(,),所以由两点距离公式计算得|PF1|=+,|PF2|=-.
又|F1F2|=4,所以由余弦定理得cos∠F1PF2==.
方法二:由椭圆与双曲线的对称性,不妨设点P为第一象限内的点,F1(0,-2),F2(0,2),由题意得|PF1|+|PF2|=2,|PF1|-|PF2|=2,|F1F2|=4,解得|PF1|=+,|PF2|=-,由余弦定理得cos∠F1PF2=.
7.【解析】选A.如图,设A(-c,y0)(y0>0),

由于点A在双曲线-=1上,
代入得-=1,
解得=b2(-1)=,y0=.
由于△ABF2为锐角三角形,
所以0°<∠AF2F1<45°,
从而|AF1|<|F1F2|,即<2c,b2<2ac,
化简得c2-2ac-a2<0.
两边同除以a2,得e2-2e-1<0,
解得1-<e<1+.
又e>1,所以1<e<1+.
8.【解析】∵右焦点坐标是(,0),
∴9+a=13,即a=4,
∴双曲线方程为-=1,
∴渐近线方程为±=0,即2x±3y=0.
答案:2x±3y=0
9.【解析】由已知得|PF2|-|PF1|=2a　①
又·=0,
∴⊥,
因此在以P为直角顶点的Rt△PF1F2中,
由tan∠PF2F1=得,=　②
由①②解得|PF1|=4a,|PF2|=6a.
又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
即(4a)2+(6a)2=(2c)2.
即13a2=c2,∴离心率e2==13.
∴e=.
答案:
10.【解析】双曲线的两个焦点F1(-4,0),F2(4,0)为两个圆的圆心,半径分别为r1=2,r2=1,|PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1,故|PM|-|PN|的最大值为(|PF1|+2)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3=5.
答案:5
11.【解析】(1)∵e=,
∴可设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0).
∵过点P(4,-),∴16-10=λ,即λ=6.
∴双曲线方程为x2-y2=6.
(2)方法一:由(1)可知,双曲线中a=b=,
∴c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0).
∴=,=,
·==-.
∵点M(3,m)在双曲线上,
∴9-m2=6,m2=3.
故·=-1,∴MF1⊥MF2.
∴·=0.
方法二:∵=(-3-2,-m),
=(2-3,-m),
∴·=(3+2)×(3-2)+m2
=-3+m2.
∵M(3,m)在双曲线上,
∴9-m2=6,即m2-3=0.
∴·=0.
(3)△F1MF2的底|F1F2|=4,
△F1MF2的边F1F2上的高h=|m|=,
∴=6.
12.【思路点拨】(1)代入P点坐标,利用斜率之积为列方程求解.
(2)联立方程,设出A,B,的坐标,代入=λ+求解.
【解析】(1)由点P(x0,y0)(x0≠±a)在双曲线-=1上,有-=1.
由题意又有·=,
可得a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,
则e==.
(2)联立方程得得4x2-10cx+35b2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则
设=(x3,y3),=λ+,
即
又C为双曲线E上一点,即-5=5b2,
有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2,
化简得:λ2(-5)+(-5)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2,
又A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线E上,
所以-5=5b2,-5=5b2.
又x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)
=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2,
得:λ2+4λ=0,解出λ=0或λ=-4.
13.【思路点拨】(1)由S△ACD=S△PCD⇒AC=PC,即C为AP中点且在椭圆上,据此可求出P点坐标.
(2)只需将F2(c,0)代入直线CD的方程,设法求a,c的比值即可.
【解析】(1)设P(x,y)在双曲线上,则有b2x2-a2y2=a2b2　①,
∵A(-a,0),B(a,0),
∴PA的中点为C(,),
点C在椭圆上,代入椭圆方程,化简得
b2x2+a2y2-2ab2x=3a2b2　②
①+②:2b2x2-2ab2x=4a2b2,
∴x2-ax-2a2=0,(x+a)(x-2a)=0.
∵P在双曲线右支上,∴x+a≠0,则x=2a.
代入①:a2y2=3a2b2,P在第一象限,
∴y>0,y=b,得P(2a,b).
(2)由P(2a,b)及B(a,0)得PB:y=(x-a).
代入椭圆方程:
b2x2+a2·(x2-2ax+a2)=a2b2,
∴4b2x2-6ab2x+2a2b2=0.
2x2-3ax+a2=0,(2x-a)(x-a)=0.
∵x<a,∴x=,
从而y=(-)=-b,
得D(,-b).同理可得C(,b).
C,D横坐标相同,知CD⊥x轴.
如CD过椭圆右焦点F2(c,0),∴c=,即a=2c,
从而b2=a2-c2=a2.设双曲线半焦距为c′,
则c′2=a2+b2=a2,∴e′=.
于是直线CD可通过椭圆C1的右焦点,此时双曲线C2的离心率为e′=.
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