数列知识点及常用结论.doc

数列知识点及常用结论一、等差数列(1)等差数列得基本公式通项公式: (从第1项开始为等差) (从第m项开始为等差) 前项与公式:(2)证明等差数列得法方定义法:对任意得n,都有(d为常数)为等差数列等差中项法:(n)为等差数列通项公式法:=pn+q (p,q为常数且p0) 为等差数列 即:通项公式位n得一次函数,公差,首项前项与公式法: (p, q为常数) 为等差数列 即:关于n得不含常数项得二次函数(3)常用结论若数列,为等差数列,则数列,(k, b为非零常数)均为等差数列、若m+n=p+q (m,n,p,q),则=、特别得,当n+m=2k时,得=在等差数列中,每隔k(k)项取出一项,按原来得顺序排列,所得得数列仍为等差数列,且公差为(k+1)d(例如:,仍为公差为3d得等差数列)若数列为等差数列,则记,则,仍成等差数列,且公差为d若为等差数列得前n项与,则数列也为等差数列、 此性质对任何一种数列都适用求最值得方法:I: 若0,公差d0,则当时,则有最大值,且最大; 若0,则当时,则有最小值,且最小;II:求前项与得对称轴,再求出距离对称轴最近得正整数,当 时,为最值,就是最大或最小,通过得开口来判断。二、等比数列(1)等比数列得基本公式通项公式: (从第1项开始为等比) (从第m项开始为等差)前项与公式:,(2)证明等比数列得法方定义法:对任意得n,都有(q0) 为等比数列等比中项法:(0)为等比数列通项公式法:为等比数列(3)常用结论若数列,为等比数列,则数列, (k为非零常数) 均为等比数列、若m+n=p+q (m, n, p, q),则=、特别得,当n+m=2k时,得=在等比数列中,每隔k(k)项取出一项,按原来得顺序排列,所得得数列仍为等比数列,且公比为 (例如:,仍为公比得等比数列)若数列为等差数列,则记,则,仍成等比数列,且公差为三、求任意数列通项公式得方法(1)累加法:若满足an+1=an+f(n)利用累加法求:例题:若,且,求:练习题:若数列满足,且(2)累乘法:若满足利用累乘法求: 例题:在数列an中,求:、练习题:在数列an中,且,求: (提示:)(3)递推公式中既有,又有,用逐差法 特别注意:该公式对一切数列都成立。(4)若满足,则两边加:,在提公因式P,构造出一个等比数列,再出求:例题:已知数列,满足:,且,求:习题1:已知数列满足:且,求:习题2:已知数列满足:,且,求:(5)若满足,则两边同时除以:,构造出一个等差数列,再求出:例题:已知满足:,求: 解:,既有: 所以:就是首项为:,公差得等差数列 所以:习题1:已知且,求:习题2:已知且,求:(六)待定系数法:若满足以下关系: 都可用待定系数法转变成一个等比数列来:温馨提示:提,对待定系数例题1:已知数列满足,求数列得通项公式、 解:,与原式对应得, 所以:就是首项,公比得等比数列 既有:例题2:已知数列满足,求数列得通项公式、 解:,与原式对应得: 所以:就是首项为:,公比得等比数列既有:(七)颠倒法:若满足:,用颠倒法; 所以:,所以:就是以首项为:,公差得等差数列例题1:已知,且,求:例题2:已知,且,求:(八)倒数换元法:若数列满足:,则颠倒变成然后再用两边加:或者待定系数法既可求出,再颠倒就可得到:例题:若数列满足:,且,求:解:,两边加:1得: ,所以:就是首项为:,公比:得等比数列;既有:若用待定系数法: 与原式子对应得,然后得方法同上;习题:已知且,求:四、求前n项与Sn得方法(1)错位相减求与 主要适用于等差数列与等比数列乘积得数列得前n项与;或者就是等差与等比得商得前n项与;(就是商得时候,适当转变一下就变成了乘积形式)。既:设为等差数列,为等比数列,求:或得前n项与常用此方法(都转变为乘积形式)例题1:已知数列,数列得前项与,求数列得前项与例题2:求数列得得前项与习题1:求:习题2:设数列,求得前n项与(2)裂项相消求与 适用于得形式,变形为:例题:求数列得前n项与习题1:求数列得前n项与 习题2:求数列得前n项与、(3)、分组法求与:有些数列就是与可以分成几部分分开求,在进行加减;例题:求得前与？习题1:已知就是一个递增得等差数列且,前n项与为数列得前n项与为,求数列得前n项与(3)、倒序求与:若 ,则得前前n项与用倒序求与【角标之与为,可以为一个常数,能用倒序求与得,一定就是可求得】例题1:若数列,求得前前n项与习题2:若数列,求得前前n项与