资源描述
[基础达标]
1．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝( )
A．4× B．4×
C．4× D．4×
解析：选C．(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)⇒a＝5，a1＝4，q＝，故an＝4·.
2．(2021·高考课标全国卷Ⅱ)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )
A． B．－
C． D．－
解析：选C．设公比为q，∵S3＝a2＋10a1，a5＝9，
∴∴
解得a1＝.
3．(2022·四川广元质检)等比数列{an}的公比q>0，已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝( )
A．－20 B．15
C． D．
解析：选C．由于an＋2＋an＋1＝6an，
所以q2＋q－6＝0，
即q＝2或q＝－3(舍)，所以a1＝.
则S4＝＝.
4．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＋a3＋a4＝1，a5＋a6＋a7＋a8＝2，Sn＝15，则项数n为( )
A．12 B．14
C．15 D．16
解析：选D．＝q4＝2，
由a1＋a2＋a3＋a4＝1，
得a1(1＋q＋q2＋q3)＝1，
即a1·＝1，∴a1＝q－1.
又Sn＝15，即＝15，
∴qn＝16.
又∵q4＝2，
∴n＝16.
5．(2022·山西太原调研)若数列{an}满足an＝qn(q>0，n∈N*)，则以下命题正确的是( )
①{a2n}是等比数列；②{}是等比数列；③{lg an}是等差数列；④{lg a}是等差数列．
A．①③ B．③④
C．①②③④ D．②③④
解析：选C．∵an＝qn(q>0，n∈N*)，
∴{an}是等比数列，
因此{a2n}，{}是等比数列，{lg an}，{lg a}是等差数列．
6．(2021·高考辽宁卷)已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.
解析：由于a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，且数列{an}是递增的等比数列，所以a1＝1，a3＝4，q＝2，所以S6＝＝63.
答案：63
7．(2022·江苏扬州中学期中测试)设等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝4，Sk＝63，则k＝________．
解析：设等比数列{an}公比为q，由已知a1＝1，a3＝4，得q2＝＝4.又{an}的各项均为正数，∴q＝2.而Sk＝＝63，∴2k－1＝63，解得k＝6.
答案：6
8．(2021·高考课标全国卷Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________.
解析：当n＝1时，S1＝a1＋，∴a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an＋－(an－1＋)
＝(an－an－1)，
∴an＝－2an－1，即＝－2，
∴{an}是以1为首项的等比数列，其公比为－2，
∴an＝1×(－2)n－1，即an＝(－2)n－1.
答案：(－2)n－1
9．已知等差数列{an}满足a2＝2，a5＝8.
(1)求{an}的通项公式；
(2)各项均为正数的等比数列{bn}中，b1＝1，b2＋b3＝a4，求{bn}的前n项和Tn.
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
则由已知得，
∴a1＝0，d＝2.
∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－2.
(2)设等比数列{bn}的公比为q，则由已知得q＋q2＝a4.
∵a4＝6，∴q＝2或q＝－3.
∵等比数列{bn}的各项均为正数，
∴q＝2.
∴{bn}的前n项和Tn＝＝＝2n－1.
10．设数列{an}是一等差数列，数列{bn}的前n项和为Sn＝(bn－1)，若a2＝b1，a5＝b2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)∵S1＝(b1－1)＝b1，∴b1＝－2.
又S2＝(b2－1)＝b1＋b2＝－2＋b2，
∴b2＝4.∴a2＝－2，a5＝4.
∵{an}为等差数列，
∴公差d＝＝＝2，
即an＝－2＋(n－2)·2＝2n－6.
(2)∵Sn＋1＝(bn＋1－1)，①
Sn＝(bn－1)，②
①－②得Sn＋1－Sn＝(bn＋1－bn)＝bn＋1，
∴bn＋1＝－2bn.
∴数列{bn}是等比数列，公比q＝－2，首项b1＝－2，
∴bn＝(－2)n.
∴Sn＝[(－2)n－1]．
[力气提升]
1．(2022·山东莱芜模拟)已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝3，an＋1－an＝＝3，n∈N*，若数列{cn}满足cn＝ban，则c2 014＝( )
A．92 013 B．272 013
C．92 014 D．272 014
解析：选D．由已知条件知{an}是首项为3，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为3，公比为3的等比数列，∴an＝3n，bn＝3n.又cn＝ban＝33n，∴c2 014＝33×2 014＝272 014.
2．若数列{an}满足＝p(p为正常数，n∈N*)，则称{an}为“等方比数列”．甲：数列{an}是等方比数列；乙：数列{an}是等比数列，则( )
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的充要条件
C．甲是乙的必要条件但不是充分条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解析：选C．乙⇒甲，但甲⇒乙，如数列2，2，－2，－2，－2，是等方比数列，但不是等比数列．
3．(2022·北京市海淀区高三上学期期末测试)数列{an}满足a1＝2且对任意的m，n∈N*，都有＝an，则a3＝________；{an}的前n项和Sn＝________．
解析：∵＝an，
∴an＋m＝an·am，
∴a3＝a1＋2＝a1·a2＝a1·a1·a1＝23＝8；
令m＝1，
则有an＋1＝an·a1＝2an，
∴数列{an}是首项为a1＝2，公比q＝2的等比数列，
∴Sn＝＝2n＋1－2.
答案：8 2n＋1－2
4．(2022·皖南八校第三次联考)已知数列{an}是等比数列，a1，a2，a3依次位于下表中第一行，其次行，第三行中的某一格内，又a1，a2，a3中任何两个都不在同一列，则an＝________(n∈N*).
第一列
其次列
第三列
第一行
1
10
2
其次行
6
14
4
第三行
9
18
8
解析：观看题中的表格可知a1，a2，a3分别为2，6，18，即{an}是首项为2，公比为3的等比数列，∴an＝2·3n－1.
答案：2·3n－1
5．(2021·高考湖北卷)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2＋a3＋a4＝－18.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)是否存在正整数n，使得Sn≥2 013？若存在，求出符合条件的全部n的集合；若不存在，说明理由．
解：(1)设等比数列{an}的公比为q，则a1≠0，q≠0.
由题意得即
解得
故数列{an}的通项公式为an＝3×(－2)n－1.
(2)由(1)有Sn＝＝1－(－2)n.
假设存在n，使得Sn≥2 013，则1－(－2)n≥2 013，
即(－2)n≤－2 012.
当n为偶数时，(－2)n>0，上式不成立；
当n为奇数时，(－2)n＝－2n≤－2 012，即2n≥2 012，
即n≥11.
综上，存在符合条件的正整数n，且全部这样的n的集合为{n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}．
6．(选做题)(2022·东北三校联考)已知等比数列{an}的全部项均为正数，首项a1＝1，且a4，3a3，a5成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{an＋1－λan}的前n项和为Sn，若Sn＝2n－1(n∈N*)，求实数λ的值．
解：(1)设数列{an}的公比为q，由条件可知q3，3q2，q4成等差数列，∴6q2＝q3＋q4，
解得q＝－3或q＝2，∵q>0，∴q＝2，
∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1(n∈N*)．
(2)记bn＝an＋1－λan，则bn＝2n－λ·2n－1＝(2－λ)2n－1，
若λ＝2，则bn＝0，Sn＝0，不符合条件；
若λ≠2，则＝2，数列{bn}为等比数列，首项为2－λ，公比为2，
此时Sn＝(1－2n)＝(2－λ)(2n－1)，
∵Sn＝2n－1(n∈N*)，∴λ＝1.
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
