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双基限时练(二十二)
1．已知a，b∈R＋，则下列不等式不肯定成立的是( )
A．a＋b＋≥2
B．(a＋b)≥4
C.≥a＋b
D.≥
解析 取a＝，b＝1试验知D不成立．
答案 D
2．已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是( )
A．2 B．2
C．4 D．5
解析 ∵a>0，b>0，
∴＋≥，当且仅当a＝b时取等号，
∴＋＋2≥＋2≥4，
当且仅当＝2，即ab＝1，
∴当a＝b＝1时，＋＋2有最小值4.
答案 C
3．若对x>0，y>0，有(x＋2y)≥m恒成立，m的取值范围是( )
A．m≤8 B．m>8
C．m<0 D．m≤4
解析 (x＋2y)＝2＋＋＋2≥4＋2 ＝8.∴m≤8.
答案 A
4．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( )
A．ab≤ B．ab≥[来源:学科网]
C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
解析 ∵a＋b＝2，∴a2＋b2＝a2＋(2－a)2＝2a2－4a＋4＝2(a－1)2＋2，a∈[0,2]．∴a2＋b2≥2.[来源:Zxxk.Com]
答案 C
5．某工厂第一年产量为A，其次年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则( )
A. x＝ B．x≤
C．x> D．x≥
解析 依题意，可得
(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤2＝2，
∴1＋x≤1＋.即x≤.
答案 B
6．若实数a，b满足a＋b＝2，则3a＋3b的最小值是________．
解析 3a＋3b≥2＝2＝6.
当且仅当a＝b＝1时，取等号．
答案 6
7．设x，y，z为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则的最小值是________．
解析 由x－2y＋3z＝0，得y＝，代入，得
≥＝3，
当且仅当x＝3z时取“＝”．
答案 3
8．函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________．
解析 函数y＝loga(x＋3)－1的图象恒过定点A(－2，－1)．又∵点A在直线mx＋ny＋1＝0上，∴2m＋n＝1.
∴＋＝(2m＋n)
＝4＋≥4＋2＝8，当且仅当＝.
∵mn>0，∴n＝2m时，等号成立．
∴当m＝，n＝时，＋有最小值8.
答案 8
9．已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．
解析 ∵x>0，y>0，∴1＝＋≥2 ＝ ，∴xy≤3，当且仅当＝，即x＝，y＝2时，xy有最大值3.
答案 3
10．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|＝3 m，|AD|＝2 m.
(1)要使矩形AMPN的面积大于32 m2，则AN的长度应在什么范围内？
(2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小值．
解 设AN的长为x m(x>2)，则由＝得|AM|＝.所以S矩形AMPN＝|AN|·|AM|＝.
(1)由S矩形AMPN>32，得>32.又x>2，所以3x2－32x＋64>0，解得2<x<，或x>8.所以AN的长度的取值范围为∪(8，＋∞)．[来源:Zxxk.Com]
(2)由于S矩形AMPN＝＝＝3(x－2)＋＋12≥2＋12＝24，当且仅当3(x－2)＝，即x＝4时，等号成立．
所以当AN的长度是4 m时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24 m2.
11．围建一个360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需修理)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示．已知旧墙的修理费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
解 (1)如图，设矩形的另一边长为a m，
则y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360，
由已知xa＝360，得a＝.
∴y＝225x＋－360(x>0)．
(2)∵x>0，∴225x＋≥2＝10800.
∴y＝225x＋－360≥10440.当且仅当225x＝时，等号成立．
即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．
12．设f(x)＝.
(1)求f(x)的最大值；
(2)证明：对任意实数a，b恒有f(a)<b2－3b＋.
解 (1)f(x)＝＝＝≤＝2，
当且仅当2x＝时，即x＝时等号成立．[来源:Zxxk.Com]
∴f(x)的最大值为2.
(2)证明：∵b2－3b＋＝2＋3，
∴当b＝时，b2－3b＋有最小值3.
由(1)知，f(a)有最大值2，
又2<3，∴对任意实a，b恒有f(a)<b2－3b＋.
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