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补偿练6 平面对量与解三角形
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1．在平面直角坐标系xOy中，点A(1,3)，B(－2，k)，若向量⊥，则实数k＝________.
解析 由于A(1,3)，B(－2，k)，所以＝(－3，k－3)，由于⊥，所以－3＋3k－9＝0，解得k＝4.
答案 4
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,0)，c＝(1，－2)，若向量λa＋b与c共线，则实数λ的值为________．
解析 由题知λa＋b＝(λ＋2,2λ)，又λa＋b与c共线，
∴－2(λ＋2)－2λ＝0，∴λ＝－1.
答案 －1
3．若向量m＝(1,2)，n＝(x,1)满足m⊥n，则|n|＝________.
解析 ∵m⊥n，∴m·n＝0，即x＋2＝0，∴x＝－2，
∴|n|＝＝.
答案
4. 如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝________.
解析 以F为坐标原点，FP，FG所在直线为x，y轴建系，假设一个方格长为单位长，则F(0,0)，O(3,2)，P(5,0)，Q(4,6)，则＝(2，－2)，＝(1,4)，所以＋＝(3,2)，而恰好＝(3,2)，故＋＝.
答案
5．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为________．
解析 S＝×AB·ACsin 60°＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝3，所以BC＝.
答案
6. 在边长为1的正方形ABCD中，E，F分别为BC，DC的中点，则·＝________.
解析 由于＝＋，＝＋，·＝0，所以·＝(＋)·(＋)＝2＋2＝1.
答案 1
7．在不等边△ABC(三边均不相等)中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有＝，则角C的大小为________．
解析 依题意得acos A＝bcos B，sin Acos A＝sin Bcos B，sin 2A＝sin 2B，则2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝，又△ABC是不等边三角形，因此A＋B＝，C＝.
答案
8．已知直角坐标系内的两个向量a＝(1,3)，b＝(m,2m－3)，使平面内的任意一个向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb，则m的取值范围是________．
解析 由题意可知向量a与b为基底，所以不共线，≠，得m≠－3.
答案 (－∞，－3)∪(－3，＋∞)
9．在边长为1的正三角形ABC中，＝，E是CA的中点，则·等于________．
解析 建立如图所示的直角坐标系，则
A，
B，C，依题意设D(x1,0)，E(x2，y2)，
∵＝，
∴＝(－1,0)，∴x1＝.
∵E是CA的中点，∴x2＝－，y2＝.
∴·＝·
＝×＋×＝－.
答案 －
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acos B＋bcos A＝csin C，S＝(b2＋c2－a2)，则角B等于________．
解析 由正弦定理得sin Acos B＋sin Bcos A＝sin Csin C，即sin(B＋A)＝sin Csin C，由于sin(B＋A)＝sin C，所以sin C＝1，C＝90°，依据三角形面积公式和余弦定理得，S＝bcsin A，b2＋c2－a2＝2bccos A，代入已知得bcsin A＝·2bccos A，所以tan A＝1，A＝45°，因此B＝45°.
答案 45°
11．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tan C等于________．
解析 由2S＝(a＋b)2－c2，得2S＝a2＋b2＋2ab－c2，即2×absin C＝a2＋b2＋2ab－c2，所以absin C－2ab＝a2＋b2－c2，又cos C＝＝＝－1，所以cos C＋1＝，即2cos2＝sin cos ，所以tan ＝2，所以tan C＝＝＝－.
答案 －
12．已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若3＋
4＋5＝0，则△AOC的面积为________．
解析 依题意得，(3＋5)2＝(－4)2,92＋252＋30·＝162，即34＋30cos∠AOC＝16，cos∠AOC＝－，sin∠AOC＝＝，△AOC的面积为||||sin ∠AOC＝.
答案
13．已知向量a是与单位向量b夹角为60°的任意向量，则对任意的正实数t，|ta－b|的最小值是________．
解析 ∵a与b的夹角为60°，且b为单位向量，
∴a·b＝，|ta－b|＝＝
＝≥.
答案
14．给出以下结论：
①在三角形ABC中，若a＝5，b＝8，C＝60°，则·＝20；
②已知正方形ABCD的边长为1，则|＋＋|＝2；
③已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则A，B，D三点共线．
其中正确结论的序号为__________．
解析 对于①，B·C＝abcos(π－C)＝－abcos C＝－20；对于②，|＋＋|＝|2|＝2||＝2；对于③，由于＝a＋5b，＝＋＝a＋5b，所以＝，则A，B，D三点共线．综上可得，②③正确．
答案 ②③
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