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正弦定理、余弦定理的简洁应用
例1 (2022·苏州、无锡、常州、镇江一模)设函数f(x)=6cos2x-2sinxcosx.
(1) 求f(x)的最小正周期和值域;
(2) 在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(B)=0且b=2,cosA=,求a和sinC的值.
【分析】 (1) 把函数f(x)化为Asin(ωx+φ)+B的形式,求出最小正周期及值域;
(2) 由f(B)=0,可求得B,再结合正弦定理、三角函数的和差公式求a和sinC的值.
【解答】 (1) f(x)=6×-sin2x
=3cos2x+3-sin2x
=2cos+3,
所以f(x)的最小正周期T==π,
值域为[3-2,3+2].
(2) 由f(B)=0,得cos=-.
由于B为锐角,所以<2B+<,所以2B+=,所以B=.由于cosA=,A∈,所以sinA==.
在△ABC中,由正弦定理得a===.
所以sinC=sin(π-A-B)=sin=cosA+sinA=.
【点评】 本题考查倍角公式,正、余弦定理,求三角函数的值域,先把函数化为f(x)=Asin(ωx+φ)+B的形式,通过求ωx+φ的范围,得函数f(x)的值域是最常用的方法.
变式 (2022·南京学情调研)在锐角三角形ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知向量m=,n=,且m⊥n.
(1) 求角A的大小;
(2) 若a=7,b=8,求△ABC的面积.
【解答】 (1) 由于m·n=0,
所以sinA-cosA=0.
由于0°<A<90°,所以cosA≠0,
则tanA=,所以A=60°.
(2) 方法一:由正弦定理得=.又a=7,b=8,A=60°,则sinB=sin60°=.由于△ABC为锐角三角形,所以cosB=.
由于sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×+×=,
所以S△ABC=absinC=10.
方法二:由于a=7,b=8,A=60°,所以由余弦定理可知,49=64+c2-2×8c×,即c2-8c+15=0,解得c=3或c=5.
当c=3时,c2+a2-b2=9+49-64<0,所以cosB<0,不符合题意;
当c=5时,c2+a2-b2=25+49-64>0,所以cosB>0,符合题意.
所以S△ABC=bcsinA=10.
正、余弦定理与三角函数的综合应用
例2 (2022·湖南卷)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.
(例2)
(1) 求cos∠CAD的值;
(2) 若cos∠BAD=-,sin∠CBA=,求BC的长.
【分析】 (1) 已知△ACD的三条边,利用∠CAD的余弦定理即可得到该角的余弦值.
(2) 利用(1)问得到的∠CAD的余弦值,结合正、余弦之间的关系即可求得该角的正弦值,再利用正、余弦之间的关系即可得到sin∠BAD,而∠CAD与∠BAD之差即为∠BAC,则利用正弦的和差公式即可得到角∠BAC的正弦值,再利用△ABC的正弦定理即可求得边BC的长.
【解答】 (1) 已知△DAC的三边,依据余弦定理可得
cos∠CAD===,所以cos∠CAD=.
(2) 由于∠BAD为平面四边形ABCD的内角,所以sin∠BAD>0且sin∠CAD>0,
sin∠BAD==且sin∠CAD==,再由正弦的和差公式可得
sin∠BAC=sin(∠BAD-∠CAD)=sin∠BADcos∠CAD-sin∠CADcos∠BAD=×-×=+=,再由△ABC的正弦定理可得
=⇒BC=×=3.
正、余弦定理与向量的综合应用
例3 (2022·南通二调)在△ABC中,已知·=9,·=-16.求:
(1) AB的值;
(2) 的值.
【分析】 (1) 依据已知条件,将两式相减可求得AB,也可依据向量数量积公式,结合余弦定理,求出AB.
(2) 依据正弦的和差公式,再利用正弦定理、余弦定理求得结果.
【解答】 (1) 方法一:由于·=9,·=-16,
所以·-·=9+16=25,
即·(+)=25,
即||2=25,故AB=5.
方法二:设角A,B,C的对边分别为a,b,c,
则由条件得bccosA=9,accosB=16.
两式相加得c(bcosA+acosB)=9+16=25,
即c2=25,故AB=c=5.
方法三:设角A,B,C的对边分别为a,b,c,
则由条件得bccosA=9,accosB=16.
由余弦定理得(b2+c2-a2)=9,(c2+a2-b2)=16,
两式相加得c2=25,故AB=c=5.
(2) =,
由正弦定理得====.
【点评】 本题考查向量的加法及向量的数量积公式,考查正弦定理,余弦定理,两角和与差的三角函数.在三角形中的向量问题,可利用向量的数量积公式,转化为解三角形问题.
变式 (2022·徐州三检)在△ABC中,C=,向量m=(sinA,1),n=(1,cosB),且m⊥n.
(1) 求角A的大小;
(2) 若点D在边BC上,且3=,AD=,求△ABC的面积.
【解答】 (1) 由题意知m·n=sinA+cosB=0,
又C=,A+B+C=π,
所以sinA+cos=0,
即sinA-cosA+sinA=0,
即sin=0,
又0<A<,所以A-∈,
所以A-=0,即A=.
(2) 设||=x,由3=,得||=3x.
由(1)知A=C=,所以||=3x,B=.
在△ABD中,由余弦定理,
得()2=(3x)2+x2-2×3x×x×cos,
解得x=1,所以AB=BC=3,
所以S△ABC=BA·BC·sinB=×3×3×sin=.
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