2021高考数学(文-江苏专用)二轮复习-专题一-第二讲-平面向量、解三角形4-【要点导学】.docx

正弦定理、余弦定理的简洁应用例1(2022苏州、无锡、常州、镇江一模)设函数f(x)=6cos2x-2sinxcosx.(1) 求f(x)的最小正周期和值域;(2) 在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(B)=0且b=2,cosA=,求a和sinC的值.【分析】(1) 把函数f(x)化为Asin(x+)+B的形式,求出最小正周期及值域;(2) 由f(B)=0,可求得B,再结合正弦定理、三角函数的和差公式求a和sinC的值.【解答】(1) f(x)=6-sin2x=3cos2x+3-sin2x=2cos+3,所以f(x)的最小正周期T=,值域为3-2,3+2.(2) 由f(B)=0,得cos=-.由于B为锐角,所以2B+,所以2B+=,所以B=.由于cosA=,A,所以sinA=.在ABC中,由正弦定理得a=.所以sinC=sin(-A-B)=sin=cosA+sinA=.【点评】本题考查倍角公式,正、余弦定理,求三角函数的值域,先把函数化为f(x)=Asin(x+)+B的形式,通过求x+的范围,得函数f(x)的值域是最常用的方法.变式(2022南京学情调研)在锐角三角形ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知向量m=,n=,且mn.(1) 求角A的大小;(2) 若a=7,b=8,求ABC的面积.【解答】(1) 由于mn=0,所以sinA-cosA=0.由于0A90,所以cosA0,则tanA=,所以A=60.(2) 方法一:由正弦定理得=.又a=7,b=8,A=60,则sinB=sin60=.由于ABC为锐角三角形,所以cosB=.由于sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=+=,所以SABC=absinC=10.方法二:由于a=7,b=8,A=60,所以由余弦定理可知,49=64+c2-28c,即c2-8c+15=0,解得c=3或c=5.当c=3时,c2+a2-b2=9+49-640,所以cosB0,所以cosB0,符合题意.所以SABC=bcsinA=10.正、余弦定理与三角函数的综合应用例2(2022湖南卷)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.(例2)(1) 求cosCAD的值;(2) 若cosBAD=-,sinCBA=,求BC的长.【分析】(1) 已知ACD的三条边,利用CAD的余弦定理即可得到该角的余弦值.(2) 利用(1)问得到的CAD的余弦值,结合正、余弦之间的关系即可求得该角的正弦值,再利用正、余弦之间的关系即可得到sinBAD,而CAD与BAD之差即为BAC,则利用正弦的和差公式即可得到角BAC的正弦值,再利用ABC的正弦定理即可求得边BC的长.【解答】(1) 已知DAC的三边,依据余弦定理可得cosCAD=,所以cosCAD=.(2) 由于BAD为平面四边形ABCD的内角,所以sinBAD0且sinCAD0,sinBAD=且sinCAD=,再由正弦的和差公式可得sinBAC=sin(BAD-CAD)=sinBADcosCAD-sinCADcosBAD=-=+=,再由ABC的正弦定理可得=BC=3.正、余弦定理与向量的综合应用例3(2022南通二调)在ABC中,已知=9,=-16.求:(1) AB的值;(2) 的值.【分析】(1) 依据已知条件,将两式相减可求得AB,也可依据向量数量积公式,结合余弦定理,求出AB.(2) 依据正弦的和差公式,再利用正弦定理、余弦定理求得结果.【解答】(1) 方法一:由于=9,=-16,所以-=9+16=25,即(+)=25,即|2=25,故AB=5.方法二:设角A,B,C的对边分别为a,b,c,则由条件得bccosA=9,accosB=16.两式相加得c(bcosA+acosB)=9+16=25,即c2=25,故AB=c=5.方法三:设角A,B,C的对边分别为a,b,c,则由条件得bccosA=9,accosB=16.由余弦定理得(b2+c2-a2)=9,(c2+a2-b2)=16,两式相加得c2=25,故AB=c=5.(2) =,由正弦定理得=.【点评】本题考查向量的加法及向量的数量积公式,考查正弦定理,余弦定理,两角和与差的三角函数.在三角形中的向量问题,可利用向量的数量积公式,转化为解三角形问题.变式(2022徐州三检)在ABC中,C=,向量m=(sinA,1),n=(1,cosB),且mn.(1) 求角A的大小;(2) 若点D在边BC上,且3=,AD=,求ABC的面积.【解答】(1) 由题意知mn=sinA+cosB=0,又C=,A+B+C=,所以sinA+cos=0,即sinA-cosA+sinA=0,即sin=0,又0A,所以A-,所以A-=0,即A=.(2) 设|=x,由3=,得|=3x.由(1)知A=C=,所以|=3x,B=.在ABD中,由余弦定理,得()2=(3x)2+x2-23xxcos,解得x=1,所以AB=BC=3,所以SABC=BABCsinB=33sin=.