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第9课时 平行关系的性质
1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理,能用图形语言和符号语言表述这些定理,并能加以证明.
2.能运用直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理证明一些空间位置关系的简洁问题.
如图,足球门的上边框与地面平行,我们发觉不管什么时刻,只要有太阳光照射着上边框,上边框在阳光的照射下的影子总是与上边框保持着平行,大家思考过是什么缘由吗?
问题1:我们可以用直线与平面平行的性质定理来解释上述问题,由于太阳离地球很远,所以照射球门框的那一束光线可以看作是经过球门框的 ,影子恰好是 光线所在平面 与地面的 交线 ,由于上边框平行于地面,从而球门框平行于球门框在阳光照射下的影子.
问题2:直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理及其图形语言、符号语言:
线面平行的性质:假如一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线 平行 .
符号表示:a∥αa⊂βα⋂β=b⇒ a∥b .图形:
面面平行的性质:假如两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的 交线 平行.用符号语言表示为:α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b⇒a∥b.
问题3:面面平行的其他性质:
①若两个平面平行,则一个平面内的 任一条直线 都和另一个平面 平行 .这条性质,给我们供应了证明 线面平行 的另一种方法,可以作为 判定定理 运用.
②夹在两平行平面间的两条平行线段 相等 ,这一点和平面内夹在两条平行线之间的 平行线段相等 类似.
③和平行线具有传递性一样,平行平面也具有传递性,即平行于 同一个平面 的两个平面 平行 .该性质同时是 面面平行 的一种判定方法.
问题4:线线、线面、面面平行如何相互转化:
由上可以看出三者之间可以进行适当转化,即由两相交直线和平面平行可以推出两个 平面平行 ;同样,由两个平面平行的定义和性质也可以推出 直线和平面平行 .直线与平面、平面与平面平行的这种相互转化关系体现了学问间的相互依靠关系.
1.已知直线a∥平面α,P∈α,那么过点P且平行于a的直线( ).
A.只有一条,不在平面α内 B.有很多条,不肯定在α内
C.只有一条,且在平面α内 D.有很多条,肯定在α内
2.若平面α∥β,直线a⊂α,点B∈β,则在β内过点B的全部直线中( ).
A.不肯定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在很多条与a平行的直线
D.有且只有一条与a平行的直线
3.已知平面α∥平面β,它们之间的距离为d,直线a⊂α,则在β内与直线a相距为2d的直线有 条.
4.已知在三棱锥P-ABC中,D,E 分别是PA,PB上的点,DE∥平面ABC,求证:PDPA=PEPB.
线面平行的性质和判定的综合应用
底面为正三角形的斜棱柱ABC-A1B1C1中,D为AC的中点.求证:AB1∥平面C1BD.
空间中两直线平行的证明
求证:假如一条直线和两个相交平面都平行,那么该直线与相交平面的交线平行.
面面平行的性质定理的应用
如图,已知AB、CD是夹在两个平行平面α、β之间的线段,M、N分别为AB、CD的中点.求证:MN∥平面α.
如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,E为B1D1上任意一点.求证: AE∥平面BC1D.
如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,求证:AP∥GH.
如图,直线AC、DF被三个平行平面α、β、γ所截.求证:ABBC=DEEF.
1.直线a∥平面α,平面α内有n条直线交于一点,那么这n条直线中与直线a平行的( ).
A.至少有一条 B.至多有一条 C.有且只有一条 D.不行能有
2.下列命题不正确的是( ).
A.若两个平面没有公共点,则这两个平面平行
B.若两个平面平行于同一条直线,则这两个平面平行
C.若两个平面都平行另一个平面,则这两个平面平行
D.若一个平面内任一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行
3.已知两平行平面α、β间的距离为2,点A∈α,B∈β.且AB的长为4,若A为α内的定点,B为β内的动点,则点B运动所形成的图形是 .
4.已知:如图,平面α、β满足α∥β,A、C∈α,B、D∈β,E∈AB,F∈CD,AC与BD异面,且AEEB=CFFD.求证:EF∥β.
如图三棱锥A—BCD,在棱AC上有一点F.
(1)过该点作一截面与两棱AB、CD平行;
(2)求证:该截面为平行四边形.
考题变式(我来改编):
第9课时 平行关系的性质
学问体系梳理
问题1:一个平面 光线所在平面 交线
问题2:平行 a∥b 交线
问题3:①任一条直线 平行 线面平行 判定定理
②相等 平行线段相等 ③同一个平面 平行 面面平行
问题4:线线平行 面面平行 平面平行 直线和平面平行
基础学习沟通
1.C 设直线a与点P确定的平面为β,则β与α的交线b就是与直线a平行的直线.由β的唯一性知直线b也是唯一的.
2.D 由直线a与点B确定的平面γ与β的交线b,就是与直线a平行的直线.由γ的唯一性知直线b也是唯一的.
3.2 以直线a为轴,以2d为半径,作一个圆柱,则圆柱面与β的两条交线与直线a相距2d.
4.解:由于DE∥平面ABC,DE⊂平面PAB,平面ABC∩平面PAB=AB,所以DE∥AB,所以在△PAB中,PDPA=PEPB.
重点难点探究
探究一:【解析】如图,延长CB到E,使EB=BC,连接AE,EB1.
由于D是AC的中点,B是EC的中点,所以AE∥DB.
又由于B1C1∥BC且B1C1=BC,
所以B1C1∥EB且B1C1=EB.
所以四边形EBC1B1是平行四边形,
即EB1∥BC1.由于AE,EB1⊂平面AEB1,DB,BC1⊂平面C1BD,所以平面AEB1∥平面C1BD.
又AB1⊂平面AEB1,所以AB1∥平面C1BD.
【小结】本题给出证明线面平行的另一种方法:要证明线面平行可以先证明过直线的平面与另一平面平行,即面面平行⇒线面平行.
探究二:
【解析】已知:如图所示,a∥α,a∥β,α∩β=b.求证:a∥b.
证明:在平面α内任取一点A,且A∉b,
∵a∥α,∴A∉a,
∴过a和A只有一个平面γ,设γ∩α=m,
∵a⊂γ,∴a∥m,
同理,在平面β内任取一点B,且B∉b,
则B和a确定平面δ,设δ∩β=n,
则a∥n,∴m∥n.
∵m⊄β,n⊂β,
∴m∥β.
又∵m⊂α,α∩β=b,∴m∥b,
又∵m∥a,∴a∥b.
【小结】本题解法的最大特点就是线面平行的判定和性质的交替应用,这也是该类问题的通法,即证明线线平行的问题往往可先证明线面平行,再由线面平行证出线线平行.
探究三:【解析】(1)若AB、CD在同一平面内,则平面ABDC与α、β的交线为BD、AC.
∵α∥β,
∴AC∥BD.
又∵M、N为AB、CD的中点,
∴MN∥BD.
又∵BD⊂平面α,
∴MN∥平面α.
(2)若AB、CD异面,过A作AE∥CD,交α于E,取AE的中点P,连接MP、PN、BE、ED.
∵AE∥CD,∴AE、CD确定平面AEDC,且与α、β的交线为ED、AC.
∵α∥β,∴ED∥AC.
又∵P、N分别为AE、CD的中点,
∴PN∥ED,∴PN∥平面α,
同理可证,MP∥BE,∴MP∥平面α,
∴平面MPN∥平面α.
又∵MN⊂平面MPN,
∴MN∥平面α.
【小结】本题的解题思路是由面面平行得线面平行,这是证明线面平行的一种基本思路.在本题的解答时简洁忽视对AB、CD位置关系的争辩.
思维拓展应用
应用一:∵ABDCD1C1,∴四边形ABC1D1是平行四边形,∴AD1∥BC1,
∵AD1⊄平面BC1D,BC1⊂平面BC1D,
∴AD1∥平面BC1D.同理,B1D1∥平面BC1D.
∵AD1∩B1D1=D1,∴平面BC1D∥平面AB1D1.
又∵AE⊂平面AB1D1,∴AE∥平面BC1D.
应用二:如图,连接AC,设AC交BD于O,连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴O是AC的中点.
又M是PC的中点,
∴MO∥PA.
又MO⊂平面BDM,PA⊄平面BDM,
∴PA∥平面BDM.
又经过PA与点G的平面交平面BDM于GH,
∴AP∥GH.
应用三:(1)当AC、DF共面时,连接AD,BE,CF,则AD∥BE∥CF.
从而ABBC=DEEF.
(2)当AC、DE异面时,连接CD,设CD∩β=G,
连接AD、BG、GE、CF,
∵α∥β,平面ACD∩β=BG,平面ACD∩α=AD,
∴BG∥AD,∴ABBC=DGGC.
同理可证:EG∥CF,∴DEEF=DGGC,∴ABBC=DEEF.
综合(1)(2)知:ABBC=DEEF.
基础智能检测
1.B 设平面α内的n条直线交于一点P,过直线a与点P的平面与α只有一条交线,所以这n条直线中与直线a平行的直线至多有一条.
2.B 若两个平面平行于同一条直线,这两个平面可能相交,也可能平行,B不正确.
3.以A在β上的射影为圆心,23为半径的圆 以A为球心,以4为半径作球,该球与β的交线就是圆,其半径为42-22=23.
4.解:连接AD,在AD上找分点G,使AGGD=CFFD,连接EG、FG.又AEEB=CFFD,∴AEEB=AGGD,∴EG∥BD,∴EG∥β,
由AGGD=CFFD,得FG∥AC,AC∥β,FG⊄β,
∴FG∥β,FG∩EG=G,∴平面EFG∥β,
∴EF∥β.
全新视角拓展
(1)在平面ABC中,过点F作FG∥AB交BC于点G,在平面ACD中,过点F作FE∥CD交AD于点E,在平面ABD中,过点E作EH∥AB交BD于点H,则截面EFGH为所求.
(2)∵FG∥AB,EH∥AB,
∴FG∥EH.
∵EF∥CD,CD⊂平面BCD,EF⊄平面BCD,
∴EF∥平面BCD.
又∵EF⊂平面EFGH,平面EFGH∩平面BCD=GH,
∴EF∥GH.
∴四边形EFGH为平行四边形.
思维导图构建
a∥b a∥l
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