2021高中数学北师大版必修二导学案：《平行关系的性质》.docx

第9课时平行关系的性质1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理,能用图形语言和符号语言表述这些定理,并能加以证明.2.能运用直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理证明一些空间位置关系的简洁问题.如图,足球门的上边框与地面平行,我们发觉不管什么时刻,只要有太阳光照射着上边框,上边框在阳光的照射下的影子总是与上边框保持着平行,大家思考过是什么缘由吗?问题1:我们可以用直线与平面平行的性质定理来解释上述问题,由于太阳离地球很远,所以照射球门框的那一束光线可以看作是经过球门框的,影子恰好是光线所在平面与地面的交线,由于上边框平行于地面,从而球门框平行于球门框在阳光照射下的影子.问题2:直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理及其图形语言、符号语言:线面平行的性质:假如一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.符号表示:aa=bab.图形:面面平行的性质:假如两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.用符号语言表示为:,=a,=bab.问题3:面面平行的其他性质:若两个平面平行,则一个平面内的任一条直线都和另一个平面平行.这条性质,给我们供应了证明线面平行的另一种方法,可以作为判定定理运用.夹在两平行平面间的两条平行线段相等,这一点和平面内夹在两条平行线之间的平行线段相等类似.和平行线具有传递性一样,平行平面也具有传递性,即平行于同一个平面的两个平面平行.该性质同时是面面平行的一种判定方法.问题4:线线、线面、面面平行如何相互转化:由上可以看出三者之间可以进行适当转化,即由两相交直线和平面平行可以推出两个平面平行;同样,由两个平面平行的定义和性质也可以推出直线和平面平行.直线与平面、平面与平面平行的这种相互转化关系体现了学问间的相互依靠关系.1.已知直线a平面,P,那么过点P且平行于a的直线().A.只有一条,不在平面内B.有很多条,不肯定在内C.只有一条,且在平面内D.有很多条,肯定在内2.若平面,直线a,点B,则在内过点B的全部直线中().A.不肯定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在很多条与a平行的直线D.有且只有一条与a平行的直线3.已知平面平面,它们之间的距离为d,直线a,则在内与直线a相距为2d的直线有条.4.已知在三棱锥P-ABC中,D,E 分别是PA,PB上的点,DE平面ABC,求证:PDPA=PEPB.线面平行的性质和判定的综合应用底面为正三角形的斜棱柱ABC-A1B1C1中,D为AC的中点.求证:AB1平面C1BD.空间中两直线平行的证明求证:假如一条直线和两个相交平面都平行,那么该直线与相交平面的交线平行.面面平行的性质定理的应用如图,已知AB、CD是夹在两个平行平面、之间的线段,M、N分别为AB、CD的中点.求证:MN平面.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,E为B1D1上任意一点.求证: AE平面BC1D.如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,求证:APGH.如图,直线AC、DF被三个平行平面、所截.求证:ABBC=DEEF.1.直线a平面,平面内有n条直线交于一点,那么这n条直线中与直线a平行的().A.至少有一条B.至多有一条C.有且只有一条D.不行能有2.下列命题不正确的是().A.若两个平面没有公共点,则这两个平面平行B.若两个平面平行于同一条直线,则这两个平面平行C.若两个平面都平行另一个平面,则这两个平面平行D.若一个平面内任一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行3.已知两平行平面、间的距离为2,点A,B.且AB的长为4,若A为内的定点,B为内的动点,则点B运动所形成的图形是.4.已知:如图,平面、满足,A、C,B、D,EAB,FCD,AC与BD异面,且AEEB=CFFD.求证:EF.如图三棱锥ABCD,在棱AC上有一点F.(1)过该点作一截面与两棱AB、CD平行;(2)求证:该截面为平行四边形.考题变式(我来改编):第9课时平行关系的性质学问体系梳理问题1:一个平面光线所在平面交线问题2:平行ab交线问题3:任一条直线平行线面平行判定定理相等平行线段相等同一个平面平行面面平行问题4:线线平行面面平行平面平行直线和平面平行基础学习沟通1.C设直线a与点P确定的平面为,则与的交线b就是与直线a平行的直线.由的唯一性知直线b也是唯一的.2.D由直线a与点B确定的平面与的交线b,就是与直线a平行的直线.由的唯一性知直线b也是唯一的.3.2以直线a为轴,以2d为半径,作一个圆柱,则圆柱面与的两条交线与直线a相距2d.4.解:由于DE平面ABC,DE平面PAB,平面ABC平面PAB=AB,所以DEAB,所以在PAB中,PDPA=PEPB.重点难点探究探究一:【解析】如图,延长CB到E,使EB=BC,连接AE,EB1.由于D是AC的中点,B是EC的中点,所以AEDB.又由于B1C1BC且B1C1=BC,所以B1C1EB且B1C1=EB.所以四边形EBC1B1是平行四边形,即EB1BC1.由于AE,EB1平面AEB1,DB,BC1平面C1BD,所以平面AEB1平面C1BD.又AB1平面AEB1,所以AB1平面C1BD.【小结】本题给出证明线面平行的另一种方法:要证明线面平行可以先证明过直线的平面与另一平面平行,即面面平行线面平行.探究二:【解析】已知:如图所示,a,a,=b.求证:ab.证明:在平面内任取一点A,且Ab,a,Aa,过a和A只有一个平面,设=m,a,am,同理,在平面内任取一点B,且Bb,则B和a确定平面,设=n,则an,mn.m,n,m.又m,=b,mb,又ma,ab.【小结】本题解法的最大特点就是线面平行的判定和性质的交替应用,这也是该类问题的通法,即证明线线平行的问题往往可先证明线面平行,再由线面平行证出线线平行.探究三:【解析】(1)若AB、CD在同一平面内,则平面ABDC与、的交线为BD、AC.,ACBD.又M、N为AB、CD的中点,MNBD.又BD平面,MN平面.(2)若AB、CD异面,过A作AECD,交于E,取AE的中点P,连接MP、PN、BE、ED.AECD,AE、CD确定平面AEDC,且与、的交线为ED、AC.,EDAC.又P、N分别为AE、CD的中点,PNED,PN平面,同理可证,MPBE,MP平面,平面MPN平面.又MN平面MPN,MN平面.【小结】本题的解题思路是由面面平行得线面平行,这是证明线面平行的一种基本思路.在本题的解答时简洁忽视对AB、CD位置关系的争辩.思维拓展应用应用一:AB􀱀DC􀱀D1C1,四边形ABC1D1是平行四边形,AD1BC1,AD1平面BC1D,BC1平面BC1D,AD1平面BC1D.同理,B1D1平面BC1D.AD1B1D1=D1,平面BC1D平面AB1D1.又AE平面AB1D1,AE平面BC1D.应用二:如图,连接AC,设AC交BD于O,连接MO.四边形ABCD是平行四边形,O是AC的中点.又M是PC的中点,MOPA.又MO平面BDM,PA平面BDM,PA平面BDM.又经过PA与点G的平面交平面BDM于GH,APGH.应用三:(1)当AC、DF共面时,连接AD,BE,CF,则ADBECF.从而ABBC=DEEF.(2)当AC、DE异面时,连接CD,设CD=G,连接AD、BG、GE、CF,平面ACD=BG,平面ACD=AD,BGAD,ABBC=DGGC.同理可证:EGCF,DEEF=DGGC,ABBC=DEEF.综合(1)(2)知:ABBC=DEEF.基础智能检测1.B设平面内的n条直线交于一点P,过直线a与点P的平面与只有一条交线,所以这n条直线中与直线a平行的直线至多有一条.2.B若两个平面平行于同一条直线,这两个平面可能相交,也可能平行,B不正确.3.以A在上的射影为圆心,23为半径的圆以A为球心,以4为半径作球,该球与的交线就是圆,其半径为42-22=23.4.解:连接AD,在AD上找分点G,使AGGD=CFFD,连接EG、FG.又AEEB=CFFD,AEEB=AGGD,EGBD,EG,由AGGD=CFFD,得FGAC,AC,FG,FG,FGEG=G,平面EFG,EF.全新视角拓展(1)在平面ABC中,过点F作FGAB交BC于点G,在平面ACD中,过点F作FECD交AD于点E,在平面ABD中,过点E作EHAB交BD于点H,则截面EFGH为所求.(2)FGAB,EHAB,FGEH.EFCD,CD平面BCD,EF平面BCD,EF平面BCD.又EF平面EFGH,平面EFGH平面BCD=GH,EFGH.四边形EFGH为平行四边形.思维导图构建abal