河北省唐山市开滦二中2022届高三上学期10月月考数学(理)试题-Word版含解析.docx

2022-2021学年河北省唐山市开滦二中高三（上）10月月考数学试卷（理科）

一、选择题：（每小题给出的四个选项中，只有一项是对的，每小题5分，共60分.）
1．已知U={y|y=log2x，x＞0}，P={y|y=，x＞2}，则∁UP=（　　）
A． B． C．（0，+∞） D．

2．i是虚数单位，=（　　）
A．﹣i B．i C． D．

3．已知，则sinθ﹣cosθ的值为（　　）
A． B． C． D．

4．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出S的值为（　　）

A．4 B．8 C．10 D．12

5．已知条件p：x2﹣2x﹣3＜0，条件q：x＞a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（　　）
A．a＞3 B．a≥3 C．a＜﹣1 D．a≤﹣1

6．使函数是奇函数，且在上是减函数的θ的一个值是（　　）
A． B． C． D．

7．若函数 为奇函数，则a=（　　）
A． B． C． D．1

8．将函数 y=sinx的图象上全部点向右平行移动 个单位长度，再把所得的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（　　）
A．y=sin（2x﹣） B．y=sin（2x﹣） C．y=sin（﹣） D．y=sin（﹣）

9．已知关于x的方程：在区间（3，4）内有解，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．） C． D．（1，+∞）

10．如图在矩形ABCD中，AB=，BC=4，点E为BC的中点，点F在CD上，若，则的值是（　　）

A． B． C． D．

11．已知函数：
①f（x）=﹣x2+2x，
②f（x）=cos（），
③f（x）=．则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是（　　）
命题p：f（x）是奇函数；
命题q：f（x+1）在（0，1）上是增函数；
命题r：f（）；
命题s：f（x）的图象关于直线x=1对称．
A．命题p、q B．命题q、s C．命题r、s D．命题p、r

12．已知f（x）是R上的偶函数，若将f（x）的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象，若f（2）=﹣1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．不能确定

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）
13．已知向量，的夹角为120°，且||=1，||=2，则向量﹣在向量+方向上的投影是　　　　　　．

14．设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为　　　　　　．

15．由两条曲线y=x2，y=x2与直线y=1围成平面区域的面积是　　　　　　．
16．若函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，则实数a的取值范围是　　　　　　．

三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．
17．已知等比数列{an}满足a3=12，S3=36．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{nan}的前n项和Sn．

18．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3．
（1）当x∈[0，]时，求f（x）的值域；
（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=，=2+2cos（A+C），求f（B）的值．

19．某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：
（1）指出这组数据的众数和中位数；
（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；
（3）以这16人的样本数据来估量整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．

20．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=CA=AA1=2，侧棱AA1⊥面ABC，D、E分别是棱A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且AF=AB．
（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC1；
（Ⅱ）求二面角E﹣BC1﹣D的余弦值．

21．已知函数f（x）=ex﹣ax，其中e为自然对数的底数，a为常数．
（1）若对函数f（x）存在微小值，且微小值为0，求a的值；
（2）若对任意x∈[0，]，不等式f（x）≥ex（1﹣sinx）恒成立，求a的取值范围．　

四、选修4-4：极坐标与参数方程请考生在题（22）（23）中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分．做题时在答题卡上把所选题目对应的题号打勾．（本小题满分10分）
22．已知圆的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcos（）+6=0．
（Ⅰ）将极坐标方程化为一般方程；并选择恰当的参数写出它的参数方程；
（Ⅱ）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．

五、选修4-5：不等式选讲
23．已知f（x）=|x+l|+|x﹣2|，g（x）=|x+1|﹣|x﹣a|+a（a∈R）．
（Ⅰ）解不等式f（x）≤5；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．

2022-2021学年河北省唐山市开滦二中高三（上）10月月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析

一、选择题：（每小题给出的四个选项中，只有一项是对的，每小题5分，共60分.）
1．已知U={y|y=log2x，x＞0}，P={y|y=，x＞2}，则∁UP=（　　）
A． B． C．（0，+∞） D．
考点： 补集及其运算．
专题： 计算题．
分析： 分别求出两集合中函数的值域，确定出U与P，找出U中不属于P的部分，即可求出P的补集．
解答： 解：由集合U中的函数y=log2x，x＞0，得到y为任意实数，即U=R，
由集合P中的函数y=，x＞2，得到0＜y＜，即P=（0，），
则∁UP=（﹣∞，0]∪[，+∞）．
故选D
点评： 此题属于以函数的值域为平台，考查了补集及其运算，娴熟把握补集的定义是解本题的关键．

2．i是虚数单位，=（　　）
A．﹣i B．i C． D．
考点： 复数代数形式的乘除运算．
分析： 通常分子与分母同时乘以分母的共轭复数，
然后利用复数的代数运算，结合i2=﹣1得结论．
解答： 解：===+，
故选B．
点评： 本题考查复数的分式形式的化简问题，主要是乘除运算，是基础题．

3．已知，则sinθ﹣cosθ的值为（　　）
A． B． C． D．
考点： 同角三角函数基本关系的运用．
专题： 三角函数的求值．
分析： 由条件求得 2sinθcosθ=，再依据sinθ﹣cosθ=﹣，运算求得结果．
解答： 解：∵已知，∴1+2sinθcosθ=，∴2sinθcosθ=．
故sinθ﹣cosθ=﹣=﹣=﹣，
故选B．
点评： 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．

4．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出S的值为（　　）

A．4 B．8 C．10 D．12
考点： 循环结构．
专题： 图表型．
分析： 由已知中的程序框图及已知中输入8，可得：进入循环的条件为i＜8，即i=2，4，6，8．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．
解答： 解：当i=2时，S=（1×2）=2，i=2+2=4，k=2；
当i=4时，S=（2×4）=4，i=4+2=6，k=3；
当i=6时，S=（4×6）=8，i=6+2=8，k=4；
当i=8时，不满足i＜8，退出循环，输出S=8．
故选B．
[来源:Z+xx+k.Com]
点评： 本题考查的学问点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．

5．已知条件p：x2﹣2x﹣3＜0，条件q：x＞a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（　　）
A．a＞3 B．a≥3 C．a＜﹣1 D．a≤﹣1
考点： 充分条件．
专题： 简易规律．
分析： 求出不等式的等价条件，依据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
解答： 解：由x2﹣2x﹣3＜0得﹣1＜x＜3，
设A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＞a}，若p是q的充分不必要条件，
则A⊊B，即a≤﹣1，
故选：D．
点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的推断，依据集合关系是解决本题的关键．

6．使函数是奇函数，且在上是减函数的θ的一个值是（　　）
A． B． C． D．
考点： 正弦函数的奇偶性；正弦函数的单调性．
专题： 计算题．
分析： 利用两角和正弦公式化简函数的解析式为2sin（2x+θ+），由于它是奇函数，故θ+=kπ，k∈z，当k为奇数时，f（x）=﹣2sin2x，满足在上是减函数，此时，θ=2nπ﹣，n∈z，当k为偶数时，经检验不满足条件．
解答： 解：∵函数=2sin（2x+θ+） 是奇函数，故θ+=kπ，k∈Z，θ=kπ﹣．
当k为奇数时，令k=2n﹣1，f（x）=﹣2sin2x，满足在上是减函数，此时，θ=2nπ﹣，n∈Z，
选项B满足条件．
当k为偶数时，令k=2n，f（x）=2sin2x，不满足在上是减函数．
综上，只有选项B满足条件．
故选 B．
点评： 本题考查两角和正弦公式，正弦函数的单调性，奇偶性，体现了分类争辩的数学思想，化简函数的解析式是解题的突破口．

7．若函数 为奇函数，则a=（　　）
A． B． C． D．1
考点： 函数奇偶性的性质．
专题： 计算题．
分析： 利用奇函数的定义得到f（﹣1）=﹣f（1），列出方程求出a．
解答： 解：∵f（x）为奇函数
∴f（﹣1）=﹣f（1）
∴=
∴1+a=3（1﹣a）
解得a=
故选A
点评： 本题考查利用奇函数的定义：对定义域内任意的自变量x都有f（﹣x）=﹣f（x）成立．

8．将函数 y=sinx的图象上全部点向右平行移动 个单位长度，再把所得的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（　　）
A．y=sin（2x﹣） B．y=sin（2x﹣） C．y=sin（﹣） D．y=sin（﹣）
考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 由条件依据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
解答： 解：将函数 y=sinx的图象上全部点向右平行移动 个单位长度，可得函数y=sin（x﹣）的图象；
再把所得的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式y=sin（x﹣），
故选：D．
点评： 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．

9．已知关于x的方程：在区间（3，4）内有解，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．） C． D．（1，+∞）
考点： 根的存在性及根的个数推断；函数零点的判定定理．
专题： 计算题．
分析： 当3＜x＜4时，关于x的方程可化为 1+﹣2a=0，令f（x）=1+﹣2a，可得f（3）f（4）＜0，即（2﹣2a）（﹣2a）＜0，解得 ＜2a＜2，从而求得实数a的取值范围．
解答： 解：当3＜x＜4时，关于x的方程： 即 ，
即 =a，即 1+﹣2a=0．
令f（x）=1+﹣2a，由在区间（3，4）内有解，
f（x）在区间（3，4）内连续且单调递减，可得f（3）f（4）＜0，
即（2﹣2a）（﹣2a）＜0，解得 ＜2a＜2，故 ＜a＜1．
故选C．
点评： 本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．

10．如图在矩形ABCD中，AB=，BC=4，点E为BC的中点，点F在CD上，若，则的值是（　　）

A． B． C． D．
考点： 平面对量数量积的性质及其运算律．
专题： 平面对量及应用．
分析： 由题意得选择基向量和，求出它们的长度和，由向量加法的三角形法则求出，代入式子由数量积运算求出，同理求出和，代入进行化简求值．
解答： 解：选基向量和，由题意得，=，=4，
∴，
∴==+=，
即cos0=，解得=1，
∵点E为BC的中点，=1，
∴，，
∴=（）•（）
==5+，
故选B．
点评： 本题考查了向量数量积的性质和运算律在几何中的应用，以及向量加法的三角形法则，关键是依据题意选基向量，其他向量都用基向量来表示．

11．已知函数：
①f（x）=﹣x2+2x，
②f（x）=cos（），
③f（x）=．则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是（　　）
命题p：f（x）是奇函数；
命题q：f（x+1）在（0，1）上是增函数；
命题r：f（）；
命题s：f（x）的图象关于直线x=1对称．
A．命题p、q B．命题q、s C．命题r、s D．命题p、r
考点： 命题的真假推断与应用．
专题： 阅读型．
分析： ①中函数是二次函数，由二次函数的对称轴是x=1且开口向下，即能判出函数是非奇非偶函数，由函数在（1，+∞）上的单调性可知向左平移1个单位后的单调性；
②中的函数经诱导公式化简后变为，然后逐一对四个命题进行推断；
③中的函数直接利用奇偶性定义推断奇偶性，求出f（x+1）可判出f（x+1）为偶函数，从而得到在（0，1）上是增函数，利用图象平移判出函数f（x）的对称轴．
解答： 解：①函数f（x）=﹣x2+2x图象是开口向下的抛物线，对称轴方程是x=1，所以该函数不是奇函数；函数f（x）在
（1，+∞）上为减函数，而函数f（x+1）的图象是把函数f（x）的图象左移1个单位得到的，所以函数f（x+1）在（0，1）上是减函数；
；f（x）的图象关于直线x=1对称．
②f（x）=cos（）=，该函数是定义在R上的奇函数；f（x+1）=，
当x∈（0，1）时，，所以f（x+1）在（0，1）上是减函数；=
=＞；当x=1时，，所以f（x）的图象关于直线x=1对称．
③f（x）=，由于=f（x），所以f（x）不是奇函数；
f（x+1）=，在（0，1）上是增函数；；
由于是偶函数，图象关于x=0对称，所以f（x）的图象关于直线x=1对称．
综上，对三个函数都成立的命题是r和s．
故选C．
点评： 本题考查了命题的真假的推断与应用，考查了复合函数的奇偶性，单调性及对称性，考查了函数值的计算，解答此题的关键是娴熟把握函数图象的平移，此题是基础题．

12．已知f（x）是R上的偶函数，若将f（x）的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象，若f（2）=﹣1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．不能确定
考点： 函数的值；偶函数．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 由于f（x）是R上的偶函数，所以该函数有对称轴x=0，函数f（x）在右移之前有对称中心（﹣1，0），故函数f（x）存在周期T=4，在利用题中的条件得到函数在一个周期内的数值，利用周期性即可求解．
解答： 解：∵f（x）是R上的偶函数，
∴图象关于y轴对称，即该函数有对称轴x=0，f（x）=f（﹣x） 用x+1换x，所以f（x+1）=f（﹣x﹣1）①
又∵将f（x）的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象，
∴函数f（x）的图象有对称中心（﹣1，0），有f（﹣1）=0，且f（﹣1﹣x）=﹣f（﹣1+x） ②
∴由①②得f（x+1）=﹣f（﹣1+x），可得f（x+2）=﹣f（x），得到f（x+4）=f（x），故函数f（x）存在周期T=4，
又f（2）=﹣1，f（﹣1）=0，
利用条件可以推得：f（﹣1）=f（1）=0，f（2）=﹣1=﹣f（0），f（3）=f（4﹣1）=0，
f（﹣3）=f（3）=0，f（4）=f（0）=1，
所以在一个周期中f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，
所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）=f（1）+f（2）+f（3）=﹣1．
故选A
点评： 此题考查了利用函数的对称性及奇偶性找到函数的周期，在利用已知的条件求出函数值．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）
13．已知向量，的夹角为120°，且||=1，||=2，则向量﹣在向量+方向上的投影是　﹣　．

考点： 平面对量数量积的含义与物理意义．
专题： 计算题；平面对量及应用．
分析： 利用求模运算得到，，进而得到向量﹣与向量+的夹角余弦，依据投影定义可得答案．
解答： 解：=1+2cos120°+4=3，
所以，
=1﹣2×1×2cos120°+4=7，
所以，
则cos＜，＞==，
所以向量﹣在向量+方向上的投影是==﹣，
故答案为：﹣．
点评： 本题考查平面对量数量积的含义及其物理意义，考查向量模的求解投影等概念，属基础题．

14．设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为　　．

考点： 三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．
专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
分析： 先设β=α+，依据cosβ求出sinβ，进而求出sin2β和cos2β，最终用两角和的正弦公式得到sin（2α+）的值．
解答： 解：设β=α+，
∴sinβ=，sin2β=2sinβcosβ=，cos2β=2cos2β﹣1=，
∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=．
故答案为：．
点评： 本题要我们在已知锐角α+的余弦值的状况下，求2α+的正弦值，着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．

15．由两条曲线y=x2，y=x2与直线y=1围成平面区域的面积是　　．

考点： 定积分在求面积中的应用．
专题： 计算题；导数的概念及应用．
分析： 先依据所围成图形的面积利用定积分表示出来，然后依据定积分的定义求出面积即可．
解答： 解：由两条曲线y=x2，y=x2与直线y=1可得交点坐标为（±1，1），（±2，1），
依据对称性可得S=2[（x2）dx+1﹣（x2）dx]=．
故答案为：．
点评： 本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及定积分的计算，属于基础题．

16．若函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，则实数a的取值范围是　（0，1）∪（1，4]　．

考点： 对数函数的值域与最值．
专题： 计算题．
分析： 函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，则其真数在实数集上恒为正，将这一关系转化为不等式求解参数的范围即可．
解答： 解：函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，其真数在实数集上恒为正，
即恒成立，即存在x∈R使得≤4，又a＞0且a≠1
故可求的最小值，令其小于等于4
∵
∴4，解得a≤4，
故实数a的取值范围是（0，1）∪（1，4]
故应填（0，1）∪（1，4]
点评： 考查存在性问题的转化，请读者与恒成立问题作比较，找出二者规律关系上的不同．

三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．
17．已知等比数列{an}满足a3=12，S3=36．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{nan}的前n项和Sn．

考点： 等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： （1）设等比数列{an}公比为q，由题意可得首项和公比的方程组，解方程组由等比数列的通项公式可得；
（2）由（1）可得{nan}的通项公式，分别由等差数列的求和公式和错位相减法可得Sn．
解答： 解：（1）设等比数列{an}公比为q，
由a3=12，S3=36得a3=12，a1+a2=24，
由等比数列的通项公式可得，
解得或，
∴an=12，或；
（2）当an=12时，nan=12n，
由等差数列的前n项和可得；
当时，，
∴①，
①×（）可得②
两式做差得：
==，
∴Sn=﹣﹣32
点评： 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，属中档题．

18．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3．
（1）当x∈[0，]时，求f（x）的值域；
（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=，=2+2cos（A+C），求f（B）的值．

考点： 正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．
专题： 三角函数的求值；解三角形．
分析： （1）由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（2x+）+1，由x的范围结合三角函数的运算可得；（2）由三角函数公式和已知数据可得c=2a，b=a，代入余弦定理可得cosA=，可得A=30°，进而可得C=90°，B=60°，代入可得其值．
解答： 解：（1）∵f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3
=sin2x﹣3•﹣+3
=sin2x﹣cos2x+1=2sin（2x+）+1，
∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，
∴sin（2x+）∈[，1]，
∴f（x）=2sin（2x+）+1∈[0，3]；
（2）∵=2+2cos（A+C），
∴sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），
∴sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），
∴﹣sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA，即sinC=2sinA，
由正弦定理可得c=2a，又由=可得b=a，
由余弦定理可得cosA===，
∴A=30°，由正弦定理可得sinC=2sinA=1，C=90°，
由三角形的内角和可得B=60°，
∴f（B）=f（60°）=2
点评： 本题考查三角形的正余弦定理，涉及三角函数的公式，属中档题．

19．某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：
（1）指出这组数据的众数和中位数；
（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；
（3）以这16人的样本数据来估量整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．

考点： 离散型随机变量的期望与方差；众数、中位数、平均数．
专题： 概率与统计．
分析： （1）依据所给的茎叶图看出16个数据，找出众数和中位数，中位数需要依据从小到大的挨次排列得到结论．
（2）由题意知本题是一个古典概型，至多有1人是“极幸福”包括有一个人是极幸福和有零个人是极幸福，依据古典概型公式得到结果．
（3）由于从该社区任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”同学的人数，得到变量的可能取值是0、1、2、3，结合变量对应的大事，算出概率，写出分布列和期望．
解答： 解：（1）由茎叶图得到全部的数据从小到大排，8.6毁灭次数最多，
∴众数：8.6；中位数：8.75；
（2）设Ai表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为大事A，则
（3）ξ的可能取值为0、1、2、3.；；，
ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
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所以Eξ=．
另解：ξ的可能取值为0、1、2、3．则，．
ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
所以Eξ=．
点评： 本题是一个统计综合题，对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，题目分别表示一组数据的特征，这样的问题可以毁灭在选择题或填空题，考查最基本的学问点．

20．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=CA=AA1=2，侧棱AA1⊥面ABC，D、E分别是棱A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且AF=AB．
（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC1；
（Ⅱ）求二面角E﹣BC1﹣D的余弦值．

考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．
专题： 空间角；空间向量及应用．
分析： （Ⅰ）利用直线和平面平行的判定定理，只需要证明EF∥BD，即可证明EF∥平面BDC1；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角的大小．
解答： 解：（Ⅰ）证明：取AB的中点M，
∵AF=AB．
∴F为AM的中点，
又∵E为AA1的中点，
∴EF∥A1M，
在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为A1B1、AA1的中点，
∴A1D∥BM，且A1D=BM，
则四边形A1DBM为平行四边形，
∴A1M∥BD，
∴EF∥BD，
又∵BD⊂平面BC1D，EF⊄平面BC1D，
∴EF∥平面BC1D．
（Ⅱ）连接DM，分别以MB，MC，MD所在直线为x轴、y轴、z轴，
建立如图空间直角坐标系，
则B（1，0，0），E（﹣1，0，1），D（0，0，2），C1（0，），
∴=（﹣1，0，2），=（﹣2，0，1），=（﹣1，）．
设面BC1D的一个法向量为，面BC1E的一个法向量为，
则由，
得，取，
又由，
得，取，
则，
故二面角E﹣BC1﹣D的余弦值为．

点评： 本题主要考查空间直线和平面平行的判定，以及求二面角的大小，要求娴熟把握相应的判定定理．建立空间直角坐标系，利用向量坐标法是解决此类问题比较简洁的方法．

21．已知函数f（x）=ex﹣ax，其中e为自然对数的底数，a为常数．
（1）若对函数f（x）存在微小值，且微小值为0，求a的值；
（2）若对任意x∈[0，]，不等式f（x）≥ex（1﹣sinx）恒成立，求a的取值范围．

考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．
专题： 导数的综合应用．
分析： （1）求导函数，对a争辩，确定函数的单调性，利用函数f（x）存在微小值，且微小值为0，可求a的值；
（2）对任意x∈[0，]，不等式f（x）≥ex（1﹣sinx）恒成立，等价于对任意x∈[0，]，不等式exsinx﹣ax≥0恒成立，构造新函数，分类争辩，确定函数的单调性，即可求a的取值范围．
解答： 解：（1）∵f（x）=ex﹣ax，∴f′（x）=ex﹣a，
当a≤0时，f′（x）＞0，函数在R上是增函数，从而函数不存在极值，不合题意；
当a＞0时，由f′（x）＞0，可得x＞lna，由f′（x）＜0，可得x＜lna，∴x=lna为函数的微小值点，
由已知，f（lna）=0，即lna=1，∴a=e；
（2）不等式f（x）≥ex（1﹣sinx），即exsinx﹣ax≥0，
设g（x）=exsinx﹣ax，则g′（x）=ex（sinx+cosx）﹣a，g″（x）=2excosx，
x∈[0，]时，g″（x）≥0，则g′（x）在x∈[0，]时为增函数，∴g′（x）=g′（0）=1﹣a．
①1﹣a≥0，即a≤1时，g′（x）＞0，g（x）在x∈[0，]时为增函数，∴g（x）min=g（0）=0，此时g（x）≥0恒成立；
②1﹣a＜0，即a＞1时，存在x0∈[0，]，使得g′（x0）＜0，从而x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，∴g（x）在[0，x0]上是减函数，
∴x∈（0，x0）时，g（x）＜g（0）=0，不符合题意．
综上，a的取值范围是（﹣∞，1]．
点评： 本题考查导数学问的运用，考查函数的单调性与极值，考查分类争辩的数学思想，考查同学分析解决问题的力气，属于中档题．

四、选修4-4：极坐标与参数方程请考生在题（22）（23）中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分．做题时在答题卡上把所选题目对应的题号打勾．（本小题满分10分）
22．已知圆的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcos（）+6=0．
（Ⅰ）将极坐标方程化为一般方程；并选择恰当的参数写出它的参数方程；
（Ⅱ）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．

考点： 简洁曲线的极坐标方程．
专题： 坐标系和参数方程．
分析： （Ⅰ）ρ2﹣4ρcos（）+6=0开放化为ρ2﹣+6=0，把代入可得圆的直角坐标方程，配方利用sin2α+cos2α=1可得圆的参数方程．
（Ⅱ）由圆的参数方程可得：，l利用正弦函数的单调性即可得出最值．
解答： 解：（Ⅰ）ρ2﹣4ρcos（）+6=0开放化为ρ2﹣+6=0，
把代入可得x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，配方为（x﹣2）2+（y﹣2）2=2，
可得圆的参数方程为．
（Ⅱ）由圆的参数方程可得：
，
∵，
∴x+y最大值为6，最小值为2．
点评： 本题考查了把圆的极坐标方程化为直角坐标方程及参数方程，考查了圆的参数方程的应用、正弦函数的单调性，考查了推理力气与计算力气，属于中档题．

五、选修4-5：不等式选讲
23．已知f（x）=|x+l|+|x﹣2|，g（x）=|x+1|﹣|x﹣a|+a（a∈R）．
（Ⅰ）解不等式f（x）≤5；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．
考点： 确定值不等式的解法．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： （Ⅰ）f（x）=|x+l|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣1和2对应点的距离之和，而﹣2 对应点到﹣1和2对应点的距离之和正好等于5，3对应点到﹣1和2对应点的距离之和正好等于5，从而得到不等式f（x）≤5的解集．
（Ⅱ）由题意可得|x﹣2|+|x﹣a|≥a 恒成立，而|x﹣2|+|x﹣a|的最小值为|2﹣a|=|a﹣2|，故有|a﹣2|≥a，由此求得a的范围．
解答： 解：（Ⅰ）f（x）=|x+l|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣1和2对应点的距离之和，
而﹣2 对应点到﹣1和2对应点的距离之和正好等于5，3对应点到﹣1和2对应点的距离之和正好等于5，
故不等式f（x）≤5的解集为[﹣2，3]．
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，即|x﹣2|+|x﹣a|≥a 恒成立．
而|x﹣2|+|x﹣a|的最小值为|2﹣a|=|a﹣2|，∴|a﹣2|≥a，
∴（2﹣a）2≥a2，解得a≤1，故a的范围（﹣∞，1]．
点评： 本题主要考查确定值不等式的解法，体现了等价转化数学思想，属于中档题．