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双基限时练(十二)
1．下列函数，既是奇函数，又在区间(0，＋∞)上是减函数的是( )
A．f(x)＝－x2 B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝x3
答案 C
2．若函数y＝f(x)的定义域是[0,1]，则下列函数中，可能为偶函数的是( )
A．y＝[f(x)]2 B．y＝f(2x)
C．y＝f(－x) D．y＝f(|x|)
解析 由0≤|x|≤1知，－1≤x≤1，定义域关于原点对称，∴y＝f(|x|)可能是偶函数．
答案 D
3．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( )
A．f(x)f(－x)是奇函数 B．f(x)|f(－x)|是奇函数
C．f(x)－f(－x)是偶函数 D．f(x)＋f(－x)是偶函数
答案 D
4．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,2)
解析 ∵f(x)为偶函数，且f(2)＝0，∴f(－2)＝0.
画出示意图，易知f(x)<0的解集是(－2,2)，故选D.
答案 D
5．若奇函数f(x)在[3,7]上是增函数，且最小值为5，则f(x)在[－7，－3]上是( )
A．增函数且最小值为－5
B．增函数且最大值为－5
C．减函数且最小值为－5
D．减函数且最大值为－5
解析 由题意知f(x)在[－7，－3]上也是增函数，且有最大值f(－3)＝－f(3)＝－5.故选B.
答案 B
6．定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，则( )
A．f(3)<f(－2)<f(1) B．f(1)<f(－2)<f(3)
C．f(－2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(1)<f(－2)
解析 依题意知f(x)在[0，＋∞)上是减函数，所以
f(3)<f(2)<f(1)．
又f(x)为偶函数，所以f(－2)＝f(2)．
则f(3)<f(－2)<f(1)成立．
答案 A
7．设函数f(x)是定义在[－5,5]上的奇函数，当x∈[0,5]时，f(x)的图象如右图，则不等式f(x)<0的解集为________．
解析 利用奇函数的性质，画出x∈[－5,5]内的图象，由图象知，f(x)<0的解集为(－3,0)∪(3,5]．
答案 (－3,0)∪(3,5]
8．已知f(x)与g(x)都是定义在R上的奇函数，若F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2，且F(－2)＝5，则F(2)＝________.
解析 ∵f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝－g(x)
F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2，F(－2)＝5，
∴F(－2)＝af(－2)＋bg(－2)＋2＝－af(2)－bg(2)＋2，而F(2)＝af(2)＋bg(2)＋2.
∴F(2)＋F(－2)＝4，∴F(2)＝4－F(－2)＝4－5＝－1.
答案 －1
9．函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它是减函数，若实数a，b满足f(a)＋f(b)>0，则a＋b________0(填“>”“<”或“＝”)．
解析 f(a)＋f(b)>0，∴f(a)>－f(b)．
又f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(a)>f(－b)，又∵f(x)为减函数，
∴a<－b，∴a＋b<0.
答案 <
10．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．
解 由f(m)＋f(m－1)>0，
得f(m)>－f(m－1)，即f(m)>f(－m＋1)．
又∵f(x)在[0,2]上为减函数且f(x)在[－2,2]上为奇函数，∴f(x)在[－2,2]上为减函数．
∴即
得－1≤m<.
11．已知函数f(x)对一切x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12)．
解 (1)证明：令x＝y＝0，得
f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，
∴f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.
对任意x，总存在y＝－x，有
f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，
∴f(－x)＋f(x)＝0，
即f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数．
(2)∵f(x)是奇函数，且f(－3)＝a，
∴f(3)＝－a.
由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令x＝y，得
f(2x)＝2f(x)，
∴f(12)＝2f(6)＝4f(3)＝－4a.
12．已知定义在R上的函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象经过原点，且对任意的实数x都有f(1＋x)＝f(1－x)成立．
(1)求实数a，b的值；
(2)若函数g(x)是定义在R上的奇函数，且满足当x≥0时，g(x)＝f(x)，试求g(x)的解析式．
解 (1)∵函数图象经过原点，∴b＝0，
又由于对任意的实数x都有f(1＋x)＝f(1－x)成立．
∴f(x)的对称轴为x＝1，
∴a＝－2.
(2)当x≥0时，g(x)＝f(x)＝x2－2x，
当x<0时，－x>0，g(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，
∵g(x)为奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，
∴g(x)＝－x2－2x，
∴g(x)＝
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