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双基限时练(十二)
1．双曲线－＝1的焦距是10，则实数m的值为( )
A．－16 B．4
C．16 D．81
解析 2c＝10，∴c＝5，∴9＋m＝25，∴m＝16.
答案 C
2．已知双曲线－＝1上一点P到双曲线的一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为( )
A．3 B．5
C．6 D．9
解析 由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝6，观看选项知D正确．
答案 D
3．若k∈R，则“k＞3”是“方程－＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析 当k>3时，k－3>0，k＋3>0，∴方程－＝1表示双曲线．反之，若该方程表示双曲线，则(k－3)(k＋3)>0，∴k>3，或k<－3.故k>3是方程－＝1表示双曲线的充分不必要条件．
答案 A
4．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是( )
A．16 B．18
C．21 D．26
解析 如图所示，由双曲线的定义知，|AF2|－|AF1|＝8，(1)
|BF2|－|BF1|＝8，(2)
又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝5，(3)
∴由(1)，(2)，(3)得|AF2|＋|BF2|＝21.
故△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝26.
答案 D
5．双曲线－＝1的焦距为( )
A．3 B．4
C．3 D．4
解析 由双曲线－＝1，知c2＝12，∴c＝2，
∴2c＝4.
答案 D
6．已知双曲线的焦点在y轴上，且它的一个焦点在直线5x－2y＋20＝0上，两焦点关于原点对称，＝，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝－1 D.－＝－1
解析 令x＝0，y＝10，∴双曲线的焦点坐标F1(0，－10)，F2(0,10)，∴c＝10，又＝，∴a＝6，∴b2＝c2－a2＝100－36＝64，故双曲线方程为－＝1，故选D.
答案 D
7．双曲线－＝1的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上，若·＝0，则点P到x轴的距离为________．
解析 设|PF1|＝m，|PF2|＝n(m>n)．由－＝1，
得a＝3，b＝4，c＝5，∴m－n＝6.
又PF1⊥PF2，∴m2＋n2＝4c2.
∴m2＋n2－(m－n)2＝2mn＝4×25－36＝64.
∴mn＝32.由△F1PF2的面积相等得2c|y|＝mn.
∴|y|＝.
答案
8．双曲线－＝1的焦点在y轴上，则m的取值范围是__________．
解析 依题意得⇒
⇒－2<m<－1.
答案 (－2，－1)
9．已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上一点，且·＝0，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为________________．
解析 由题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
由·＝0，知PF1⊥PF2，
则|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2.
又c＝，∴|PF1|2＋|PF2|2＝20.
又由双曲线的定义知
|PF1|－|PF2|＝±2a.
平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4a2.
∴4a2＝20－2×2＝16，
a2＝4，从而b2＝c2－a2＝1，
故双曲线方程为－y2＝1.
答案 －y2＝1
10．已知定点A(3,0)和定圆C：(x＋3)2＋y2＝16，动圆和圆C相外切，并且过点A，求动圆圆心P的轨迹方程．
解 设P的坐标为(x，y)．
∵圆P与圆C外切且过点A，
∴|PC|－|PA|＝4.
∵|AC|＝＝6＞4，
∴点P的轨迹是以C，A为焦点，实轴长为2a＝4的双曲线的右支，
∵a＝2，c＝3，
∴b2＝c2－a2＝5.
∴动圆圆心P的轨迹方程为－＝1(x≥2)．
11．已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2＋5y2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sinB－sinA＝sinC.
(1)求线段AB的长度．
(2)求顶点C的轨迹方程．
解 (1)将椭圆方程化为标准形式为＋y2＝1，∴a2＝5，b2＝1，c2＝a2－b2＝4，依题意可得A(－2,0)，B(2,0)，故|AB|＝4.
(2)∵sinB－sinA＝sinC，由正弦定理，得
|CA|－|CB|＝|AB|＝2<|AB|＝4，
即动点C到两定点A，B的距离之差为定值，
∴动点C的轨迹是双曲线的右支，并且c＝2，a＝1，∴b2＝c2－a2＝3.
故顶点C的轨迹方程为x2－＝1(x>1)．
12．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1、F2是双曲线的左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试推断△MF1F2的外形．
解 (1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝.故可设双曲线方程为－＝1.依题意得解得a2＝3，b2＝2.
故双曲线的标准方程为－＝1.
(2)不妨设M在双曲线的右支上，
则有|MF1|－|MF2|＝2.
又|MF1|＋|MF2|＝6，
解得|MF1|＝4，|MF2|＝2.
又|F1F2|＝2c＝2，
因此在△MF1F2中，|MF1|边最长，
由余弦定理可得
cos∠MF2F1＝
＝<0.
所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2是钝角三角形．
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