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第五章 第一节
一、选择题
1．(文)假如向量a＝(k,1)与b＝(6，k＋1)共线且方向相反，那么k的值为( )
A．－3 B．2
C．－ D．
[答案] A
[解析] ∵a与b共线且方向相反，∴存在λ<0，使a＝λb，∴，解之得k＝－3.
(理)(2022·北京东城模拟)已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.假如c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向
[答案] D
[解析] ∵c∥d，∴存在λ，使得c＝λd，
即ka＋b＝λ(a－b)，
∴解得
此时c＝－d.∴c与d反向．
2．(文)(2022·南通中学月考)设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则( )
A.＋＝0 B．＋＝0
C.＋＝0 D．＋＋＝0
[答案] B
[解析] 如图，依据向量加法的几何意义，＋＝2⇔P是AC的中点，故＋＝0.
(理)设平面内有四边形ABCD和点O，若＝a，＝b，＝c，＝d，且a＋c＝b＋d，则四边形ABCD为( )
A．菱形 B．梯形
C．矩形 D．平行四边形
[答案] D
[解析] 解法一：设AC的中点为G，则＋＝b＋d＝a＋c＝＋＝2，∴G为BD的中点，∴四边形ABCD的两对角线相互平分，∴四边形ABCD为平行四边形．
解法二：＝－＝b－a，
＝－＝d－c＝－(b－a)＝－，
∴AB綊CD，∴四边形ABCD为平行四边形．
3.(2022·山东烟台期末)如图，O为线段A0A2021外一点，若A0，A1，A2，A3，…，A2021中任意相邻两点的距离相等，＝a，OA2021＝b，用a，b表示＋＋＋…＋OA2021，其结果为( )
A．1006(a＋b) B．1007(a＋b)
C．2022(a＋b) D．2022(a＋b)
[答案] B
[解析] 设A0A2021的中点为A，则A也是A1A2022，…，A1006A1007的中点，由向量的中点公式可得＋OA2021＝2＝a＋b，同理可得＋OA2022＝＋OA2011＝…＝OA1006＋OA1007＝a＋b，
故＋＋＋＋…＋OA2021＝1007×2＝1007(a＋b)，选B.
4．如图所示，在△ABC中，＝，＝3，若＝a，＝b，则等于( )
A.a＋b B．－a＋b
C.a＋b D．－a＋b
[答案] B
[解析] ∵＝3，∴＝，
∵＝，∴＝，
∴＝－＝－
＝－(＋)
＝－＝－
＝－＝b－a.
5．(2022·北京东城期末)在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是( )
A．[0,1] B．[0，]
C．[0，] D．[，2]
[答案] C
[解析] 由题意可求得AD＝1，CD＝，
所以＝2.
由于点E在线段CD上，
所以＝λ(0≤λ≤1)．
由于＝＋，
又＝＋μ＝＋2μ＝＋，
所以＝1，即μ＝.
由于0≤λ≤1，所以0≤μ≤，故选C.
6．(2021·湖北黄冈中学月考)已知向量i与j不共线，且＝i＋mj，＝ni＋j，m≠1，若A，B，D三点共线，则实数m，n满足的条件是( )
A．m＋n＝1 B．m＋n＝－1
C．mn＝1 D．mn＝－1
[答案] C
[解析] ∵A、B、D三点共线，∴与共线，
∵i与j不共线，∴1×1－mn＝0，∴mn＝1.
二、填空题
7．(2021·成都七中期中)已知|a|＝6，|b|＝6，若ta＋b与ta－b的夹角为钝角，则t的取值范围为________．
[答案] (－，0)∪(0，)
[解析] 由条件知(ta＋b)·(ta－b)＝t2|a|2－|b|2＝36t2－72<0，∴t2<2，∴－<t<，当t＝0时，两向量夹角为π，∴t的取值范围是(－，0)∪(0，)．
8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足＝＋，则＝________.
[答案]
[解析] ∵＝＋，＋＝1，
∴A、B、C三点共线，
∵＝－＝－＝，∴＝.
9．(文)(2021·保定调研)已知两点A(1,0)，B(1,1)，O为坐标原点，点C在其次象限，且∠AOC＝135°，设＝－＋λ(λ∈R)，则λ的值为________．
[答案]
[解析] 由∠AOC＝135°知，点C在射线y＝－x(x<0)上，设点C的坐标为(a，－a)，a<0，则有(a，－a)＝(－1＋λ，λ)，得a＝－1＋λ，－a＝λ，消掉a得λ＝.
(理)(2022·北京房山期末统考)如图，半径为的扇形AOB的圆心角为120°，点C在上，且∠COB＝30°，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.
[答案]
[解析] 以O为坐标原点，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系．所以C(1,0)，A(0,1)，B(cos30°，－sin30°)，即B(，－)．
则有＝(1,0)，＝(0,1)，＝(，－)．
∴＝λ＋μ＝λ(0,1)＋μ(，－)＝(μ，λ－μ)＝(1,0)，
∴⇒∴λ＋μ＝.
三、解答题
10．(文)如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知＝c，＝d，试用c、d表示、.
[解析] 解法一：＝－＝c－，①
＝－＝d－，②
由①②得＝(2d－c)，＝(2c－d)．
解法二：设＝a，＝b，由于M、N分别为CD、BC的中点，所以＝b，＝a，于是有：
解得
即＝(2d－c)，＝(2c－d)．
(理)如图，在△ABC中，AMAB＝13，ANAC＝14，BN与CM交于P点，且＝a，＝b，用a，b表示.
[分析] 由已知条件可求、，∵BN与CM相交于点P，∴B、P、N共线，C、P、M共线，因此，可以设＝λ，＝μ，利用同一向量的两种a，b的线性表示及a、b不共线求解；也可以设＝λ，用a、b，λ来表示与，利用与共线及a、b不共线求解．解题方法很多，但无论什么方法，都要抓住“共线”来作文章．
[解析] 由题意知：＝＝a，＝＝b，＝－＝b－a，＝－＝a－b.
设＝λ，＝μ，则＝b－λa，＝a－μb.
∴＝－＝b－(b－λa)＝λa＋b，
＝－＝a－(a－μb)＝a＋μb，
∴λa＋b＝a＋μb，而a，b不共线．∴λ＝且＝μ.∴λ＝.因此＝a＋b.
一、选择题
11．在数列{an}中，an＋1＝an＋a(n∈N*，a为常数)，若平面上的三个不共线的非零向量，，满足＝a1＋a2022，三点A、B、C共线且该直线不过O点，则S2022等于( )
A．1007 B．1008
C．2022 D．2022
[答案] A
[解析] 由题意知，a1＋a2022＝1，
又数列{an}为等差数列，
所以S2022＝×2022＝1007，故选A.
12．(2021·绥化模拟)已知点P为△ABC所在平面上的一点，且＝＋t，其中t为实数，若点P落在△ABC的内部，则t的取值范围是( )
A．0<t< B．0<t<
C．0<t< D．0<t<
[答案] D
[解析] 如图，设＝，
过D作DE∥AC，交BC于E，
过E作EF∥AB交AC于F，
由平行四边形法则知＝＋＝＋，
当0<t<时，＝t，＝＋t，此时点P落在△ABC内部，否则点P落在△ABC的边上或外部，∴选D.
13．在△ABC中，点P是AB上的一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则t的值为( )
A. B．
C. D．
[答案] C
[解析] ∵＝＋，
∴3＝2＋，即2－2＝－，
∴2＝，
因此P为AB的一个三等分点，如图所示．
∵A，M，Q三点共线，
∴＝x＋(1－x)
＝＋(x－1)(0<x<1)，
∵＝－，∴＝＋(－1).
∵＝－＝－＋，
且＝t(0<t<1)，
∴＋(－1)＝t(－＋)，
∴＝且－1＝－t，解得t＝，故选C.
14．(2021·河南省试验中学期中)e1、e2是平面内不共线的两向量，已知＝e1－ke2，＝2e1＋e2，＝3e1－e2，若A，B，D三点共线，则k的值是( )
A．1 B．2
C．－1 D．－2
[答案] B
[解析] ＝－＝e1－2e2，
∵A、B、D共线，∴与共线，∴1×(－2)－(－k)×1＝0，∴k＝2.
二、填空题
15．(2022·江苏苏州一模)如图，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．
[答案] 2
[解析] 连接AO，则＝(＋)
＝＋，
∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，
∴m＋n＝2.
16．(2022·吉林长春一模)设O在△ABC的内部，且有＋2＋3＝0，则△ABC的面积和△AOC的面积之比为________．
[答案] 3
[解析] 设AC，BC的中点分别为M，N，则已知条件可化为(＋)＋2(＋)＝0，即2＋4＝0，所以＝－2，说明M，O，N三点共线，即O为中位线MN上的一个三等分点，S△AOC＝S△ANC＝··S△ABC＝S△ABC，所以＝3.
三、解答题
17．(文)已知四点A(x,0)、B(2x,1)、C(2，x)、D(6,2x)．
(1)求实数x，使两向量、共线．
(2)当两向量与共线时，A、B、C、D四点是否在同一条直线上？
[解析] (1)＝(x,1)，＝(4，x)．
∵∥，
∴x2－4＝0，即x＝±2.
(2)当x＝±2时，∥.
当x＝－2时，＝(6，－3)，＝(－2,1)，
∴∥.此时A、B、C三点共线，
从而，当x＝－2时，A、B、C、D四点在同一条直线上．
但x＝2时，A、B、C、D四点不共线．
(理)已知△ABC中，＝a，＝b，对于平面ABC上任意一点O，动点P满足＝＋λa＋λb，则动点P的轨迹是什么？其轨迹是否过定点，并说明理由．
[解析] 依题意，由＝＋λa＋λb，
得－＝λ(a＋b)，
即＝λ(＋)．
如图，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，对角线交于O，
则＝λ，
∴A、P、D三点共线，
即P点的轨迹是AD所在的直线，由图可知P点轨迹必过△ABC边BC的中点(或△ABC的重心)．
18．(文)(2022·郑州市质检)已知向量m＝(cosA，－sinA)，n＝(cosB，sinB)，m·n＝cos2C，A，B，C为△ABC的内角．
(1)求角C的大小；
(2)若AB＝6，且·＝18，求AC，BC的长．
[解析] (1)m·n＝cosAcosB－sinAsinB＝cos(A＋B)，
由于A＋B＋C＝π，所以cos(A＋B)＝－cosC＝cos2C，
即2cos2C＋cosC－1＝0，
故cosC＝或cosC＝－1，
又0<C<π，所以C＝.
(2)由于·＝18，所以CA·CB＝36， ①
由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos60°，
及AB＝6得，AC＋BC＝12， ②
由①、②解得AC＝6，BC＝6.
(理)(2022·山西高校附中月考)设向量a＝(1，cos2θ)，b＝(2,1)，c＝(4sinθ，1)，d＝(sinθ，1)，其中θ∈(0，)．
(1)求a·b－c·d的取值范围；
(2)若函数f(x)＝|x－1|，比较f(a·b)与f(c·d)的大小．
[解析] (1)∵a·b＝2＋cos2θ，c·d＝2sin2θ＋1＝2－cos2θ
∴a·b－c·d＝2cos2θ，
∵0<θ<，∴0<2θ<，
∴0<2cos2θ<2，∴a·b－c·d的取值范围是(0,2)．
(2)∵f(a·b)＝|2＋cos2θ－1|＝|1＋cos2θ|＝2cos2θ，
f(c·d)＝|2－cos2θ－1|＝|1－cos2θ|＝2sin2θ，
∴f(a·b)－f(c·d)＝2(cos2θ－sin2θ)＝2cos2θ，
∵0<θ<，∴0<2θ<，∴2cos2θ>0，
∴f(a·b)>f(c·d)．
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