1、第五章第一节一、选择题1(文)假如向量a(k,1)与b(6，k1)共线且方向相反，那么k的值为()A3B2CD答案A解析a与b共线且方向相反，存在0，使ab，解之得k3.(理)(2022北京东城模拟)已知向量a，b不共线，ckab(kR)，dab.假如cd，那么()Ak1且c与d同向Bk1且c与d反向Ck1且c与d同向Dk1且c与d反向答案D解析cd，存在，使得cd，即kab(ab)，解得此时cd.c与d反向2(文)(2022南通中学月考)设P是ABC所在平面内的一点，2，则()A.0B0C.0D0答案B解析如图，依据向量加法的几何意义，2P是AC的中点，故0.(理)设平面内有四边形ABCD和
2、点O，若a，b，c，d，且acbd，则四边形ABCD为()A菱形B梯形C矩形D平行四边形答案D解析解法一：设AC的中点为G，则bdac2，G为BD的中点，四边形ABCD的两对角线相互平分，四边形ABCD为平行四边形解法二：ba，dc(ba)，AB綊CD，四边形ABCD为平行四边形3.(2022山东烟台期末)如图，O为线段A0A2021外一点，若A0，A1，A2，A3，A2021中任意相邻两点的距离相等，a，OA2021b，用a，b表示OA2021，其结果为()A1006(ab)B1007(ab)C2022(ab)D2022(ab)答案B解析设A0A2021的中点为A，则A也是A1A2022，A
3、1006A1007的中点，由向量的中点公式可得OA20212ab，同理可得OA2022OA2011OA1006OA1007ab，故OA2021100721007(ab)，选B.4如图所示，在ABC中，3，若a，b，则等于()A.abBabC.abDab答案B解析3，()ba.5(2022北京东城期末)在直角梯形ABCD中，A90，B30，AB2，BC2，点E在线段CD上，若，则的取值范围是()A0,1B0，C0，D，2答案C解析由题意可求得AD1，CD，所以2.由于点E在线段CD上，所以(01)由于，又2，所以1，即.由于01，所以0，故选C.6(2021湖北黄冈中学月考)已知向量i与j不共线
4、，且imj，nij，m1，若A，B，D三点共线，则实数m，n满足的条件是()Amn1Bmn1Cmn1Dmn1答案C解析A、B、D三点共线，与共线，i与j不共线，11mn0，mn1.二、填空题7(2021成都七中期中)已知|a|6，|b|6，若tab与tab的夹角为钝角，则t的取值范围为_答案(，0)(0，)解析由条件知(tab)(tab)t2|a|2|b|236t2720，t22，t，当t0时，两向量夹角为，t的取值范围是(，0)(0，)8在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足，则_.答案解析，1，A、B、C三点共线，.9(文)(2021保定调研)已知两点A(1,0)，B(1,1
5、)，O为坐标原点，点C在其次象限，且AOC135，设(R)，则的值为_答案解析由AOC135知，点C在射线yx(x0)上，设点C的坐标为(a，a)，a0，则有(a，a)(1，)，得a1，a，消掉a得.(理)(2022北京房山期末统考)如图，半径为的扇形AOB的圆心角为120，点C在上，且COB30，若，则_.答案解析以O为坐标原点，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系所以C(1,0)，A(0,1)，B(cos30，sin30)，即B(，)则有(1,0)，(0,1)，(，)(0,1)(，)(，)(1,0)，.三、解答题10(文)如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中
6、点，已知c，d，试用c、d表示、.解析解法一：c，d，由得(2dc)，(2cd)解法二：设a，b，由于M、N分别为CD、BC的中点，所以b，a，于是有：解得即(2dc)，(2cd)(理)如图，在ABC中，AMAB13，ANAC14，BN与CM交于P点，且a，b，用a，b表示.分析由已知条件可求、，BN与CM相交于点P，B、P、N共线，C、P、M共线，因此，可以设，利用同一向量的两种a，b的线性表示及a、b不共线求解；也可以设，用a、b，来表示与，利用与共线及a、b不共线求解解题方法很多，但无论什么方法，都要抓住“共线”来作文章解析由题意知：a，b，ba，ab.设，则ba，ab.b(ba)ab，
7、a(ab)ab，abab，而a，b不共线且.因此ab.一、选择题11在数列an中，an1ana(nN*，a为常数)，若平面上的三个不共线的非零向量，满足a1a2022，三点A、B、C共线且该直线不过O点，则S2022等于()A1007B1008C2022D2022答案A解析由题意知，a1a20221，又数列an为等差数列，所以S202220221007，故选A.12(2021绥化模拟)已知点P为ABC所在平面上的一点，且t，其中t为实数，若点P落在ABC的内部，则t的取值范围是()A0tB0tC0tD0t答案D解析如图，设，过D作DEAC，交BC于E，过E作EFAB交AC于F，由平行四边形法则
8、知，当0t时，t，t，此时点P落在ABC内部，否则点P落在ABC的边上或外部，选D.13在ABC中，点P是AB上的一点，且，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又t，则t的值为()A.BC.D答案C解析，32，即22，2，因此P为AB的一个三等分点，如图所示A，M，Q三点共线，x(1x)(x1)(0x1)，(1).，且t(0t1)，(1)t()，且1t，解得t，故选C.14(2021河南省试验中学期中)e1、e2是平面内不共线的两向量，已知e1ke2，2e1e2，3e1e2，若A，B，D三点共线，则k的值是()A1B2C1D2答案B解析e12e2，A、B、D共线，与共线，1(2)(k)10，
9、k2.二、填空题15(2022江苏苏州一模)如图，在ABC中，点O是BC的中点过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，n，则mn的值为_答案2解析连接AO，则()，M，O，N三点共线，1，mn2.16(2022吉林长春一模)设O在ABC的内部，且有230，则ABC的面积和AOC的面积之比为_答案3解析设AC，BC的中点分别为M，N，则已知条件可化为()2()0，即240，所以2，说明M，O，N三点共线，即O为中位线MN上的一个三等分点，SAOCSANCSABCSABC，所以3.三、解答题17(文)已知四点A(x,0)、B(2x,1)、C(2，x)、D(6,2x)(1)求实数x
10、，使两向量、共线(2)当两向量与共线时，A、B、C、D四点是否在同一条直线上？解析(1)(x,1)，(4，x)，x240，即x2.(2)当x2时，.当x2时，(6，3)，(2,1)，.此时A、B、C三点共线，从而，当x2时，A、B、C、D四点在同一条直线上但x2时，A、B、C、D四点不共线(理)已知ABC中，a，b，对于平面ABC上任意一点O，动点P满足ab，则动点P的轨迹是什么？其轨迹是否过定点，并说明理由解析依题意，由ab，得(ab)，即()如图，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，对角线交于O，则，A、P、D三点共线，即P点的轨迹是AD所在的直线，由图可知P点轨迹必过ABC边BC的中
11、点(或ABC的重心)18(文)(2022郑州市质检)已知向量m(cosA，sinA)，n(cosB，sinB)，mncos2C，A，B，C为ABC的内角(1)求角C的大小；(2)若AB6，且18，求AC，BC的长解析(1)mncosAcosBsinAsinBcos(AB)，由于ABC，所以cos(AB)cosCcos2C，即2cos2CcosC10，故cosC或cosC1，又0C，所以C.(2)由于18，所以CACB36，由余弦定理AB2AC2BC22ACBCcos60，及AB6得，ACBC12，由、解得AC6，BC6.(理)(2022山西高校附中月考)设向量a(1，cos2)，b(2,1)，c(4sin，1)，d(sin，1)，其中(0，)(1)求abcd的取值范围；(2)若函数f(x)|x1|，比较f(ab)与f(cd)的大小解析(1)ab2cos2，cd2sin212cos2abcd2cos2，0，02，02cos22，abcd的取值范围是(0,2)(2)f(ab)|2cos21|1cos2|2cos2，f(cd)|2cos21|1cos2|2sin2，f(ab)f(cd)2(cos2sin2)2cos2，0，020，f(ab)f(cd)
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