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第五章 第一节
一、选择题
1．下列命题中为假命题的是( )
A．向量与的长度相等
B．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相同
[答案] D
[解析] 由定义可知，A、B、C正确．由于共线的单位向量方向可以相同或相反，故D错误．
2．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则( )
A．＋＝0 B．＋＝0
C．＋＝0 D．＋＋＝0
[答案] C
[解析] 解法1：由向量加法的平行四边形法则易知，与的和向量过AC边上的中点，长度是AC边上的中线长的二倍，结合已知条件可知P为AC边中点，故＋＝0.
解法2：∵＋＝2，
∴＋＋＋＝0，即＋＝0.
3．(2022·新课标Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC、CA、AB的中点，则＋＝( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] 如图，
＋＝－(＋)－(＋)
＝－(＋)＝(＋)＝.
4．(文)下列命题中真命题是( )
①a∥b⇔存在唯一的实数λ，使得a＝λb
②a∥b⇔存在不全为0的实数λ1和λ2使λ1a＋λ2b＝0
③a与b不共线⇔若λ1a＋λ2b＝0，则λ1＝λ2＝0
④a与b不共线⇔不存在实数λ1、λ2，使得λ1a＋λ2b＝0
A．①③ B．②③
C．①④ D．②④
[答案] B
(理)已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－B．假如c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向
[答案] D
[解析] 考查向量相等及向量平行的条件．
∵c∥d，∴c＝λd，∴ka＋b＝λ(a－b)，
∴，∴k＝－1，λ＝－1.故选D．
5．非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是( )
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
[答案] A
[解析] ＝λ，得－＝λ(－)，
即＝(1＋λ)－λ.
又2＝x＋y，
∴消去λ得x＋y＝2.
6．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．梯形 D．菱形
[答案] C
[解析] ＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，
∴∥，且||＝2||，∴四边形ABCD为梯形．故选C．
二、填空题
7．化简：
(1)－－＝________
(2)(－)－(－)＝________
[答案] (1) (2)0
[解析] 运用三角形法则求和向量时，应“始终相接，始指向终”；求差向量时，应“同始连终，指向被减”．
(1)－－＝－＝.
(2)解法1：(－)－(－)＝－－＋＝(＋)－(＋)＝－＝0.
解法2：(－)－(－)＝－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝0.
8．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.
[答案] －
[解析] 由已知得a＋λb＝－k(b－3a)，
∴，解得.
9．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的外形为________．
[答案] 直角三角形
[解析] ＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，∴|＋|＝|－|，
故A、B、C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．
三、解答题
10．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，其中e1，e2为两个非零不共线向量．问：是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？
[分析] 运用向量共线的条件，确定是否存在实数k，使是d＝kC．
[解析] d＝λa＋μb＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)
＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2.
要使c∥d，则应存在实数k，使d＝kc，
即(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2＝k(2e1－9e2)＝2ke1－9ke2，
∵e1，e2不共线，∴∴λ＝－2μ.
故存在这样的实数λ，μ，满足λ＝－2μ，就能使d与c共线.
一、选择题
1．(2022·福建高考)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于( )
A． B．2
C．3 D．4
[答案] D
[解析] 本题考查了平面对量平行四边形法则，
＋＋＋＝(＋OC)＋(＋)
＝2＋2＝4.
2．(文)已知P是△ABC所在平面内的一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P确定在( )
A．△ABC的内部
B．AC边所在直线上
C．AB边所在直线上
D．BC边所在直线上
[答案] B
[解析] 本题考查平面对量的共线问题，由＝λ＋得－＝λ，∴＝λ.则与为共线向量，又与有一个公共点P，∴C、P、A三点共线，即点P在直线AC上．故选B．
(理)设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与( )
A．反向平行 B．同向平行
C．相互垂直 D．既不平行也不垂直
[答案] A
[解析] ＋＋＝＋＋＋＋－＝＋＋－－－＝(－)＋＝＋＝－，故选A．
二、填空题
3．在△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是________．
[答案]
[解析] 由＋＋＝，得＋＋＋＝0，即＝2，所以点P是CA边上的三等分点，如图所示．故＝＝.
4．在△ABC中，点M满足＋＋＝0，若＋＋m＝0，则实数m的值为______．
[答案] －3
[解析] 由＋＋＝0知M为△ABC的重心，
设BC的中点为D，则有＋＝2，而＝，
故2＋m＝0，∴m＝－3.
三、解答题
5．设a，b是两个不共线的非零向量，若a与b起点相同，t∈R，t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在一条直线上？
[解析] 设a－tb＝λ[a－(a＋b)](λ∈R)，
化简整理得(λ－1)a＋(t－λ)b＝0，
∵a与b不共线，
∴由平面对量基本定理有∴
故t＝时，a，tb，(a＋b)的终点在一条直线上．
6．在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上＝，＝，BE与CD交于点P，且＝a，＝b，用a，b表示.
[解析] 取AE的三等分点M，使AM＝|AE|，连接DM.
设|AM|＝t，则|ME|＝2t.
又|AE|＝|AC|，
∴|AC|＝12t，|EC|＝9t，且DM∥BE.
＝＋＝＋
＝＋(＋AC)
＝＋(－＋)
＝＋＝a＋B．
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