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第五章 第三节
一、选择题
1.(2021·广东揭阳一中期中)已知a=(0,2),b=(1,1),则下列结论中正确的是( )
A.(a-b)⊥(a+b) B.(a-b)⊥b
C.c∥b D.|a|=|b|
[答案] B
[解析] 明显a与b不共线,且|a|=2,|b|=,∴C、D错误;
又a-b=(-1,1),∵(a-b)·b=0,∴(a-b)⊥b,故选B.
2.在△ABC中,“·<0”是“△ABC为钝角三角形”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 当·<0时,A为钝角,△ABC确定是钝角三角形,而当△ABC是钝角三角形时,不愿定有·<0.因此“·<0”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件.故选A.
3.(2021·天津六校联考)△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,2=+且||=||,则向量在向量方向上的射影为( )
A. B.
C.- D.-
[答案] A
[解析] 由题意知,△ABC的边BC过圆心O,
∴∠BAC=90°.||=||=1,∴在向量方向上的射影为||cos60°=.
4.(文)(2021·沈阳铁路试验中学期中)若向量a,b的夹角为,且|a|=2,|b|=1,则a与a+2b的夹角为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 由条件知a·b=1,∴a·(a+2b)=|a|2+2a·b=6,|a+2b|2=|a|2+4a·b+4|b|2=4+4+4=12,
∴cos〈a,a+2b〉===,
∴〈a,a+2b〉=.
(理)(2022·大连测试)已知向量|a|=1,|b|=2,〈a,b〉=,则|a+b|为( )
A.9 B.7
C.3 D.
[答案] D
[解析] 依题意得|a+b|=
===,选D.
5.(文)(2022·保定模拟)在△ABC中,AB=4,AC=3,·=1,则BC=( )
A. B.
C.2 D.3
[答案] D
[解析] 设BC=x(x>0),∵·=1,
∴3x·cosC=1,又cosC=,
∴3x·=1,∴x=3.
(理)(2022·河北石家庄调研)已知点G是△ABC的重心,若∠A=120°,·=-2,则||的最小值是( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 在△ABC中,延长AG交BC于D,
∵点G是△ABC的重心,
∴AD是BC边上的中线,且AG=AD.
∵·=||||cos120°=-2,∴||||=4.
∵=,2=+,
∴=(+).
∴2=[(+)]2
=(2+2·+2)
≥[2||||+2×(-2)]=,
∴2≥,∴||≥,
∴||的最小值是.
6.(文)(2021·重庆理,10)在平面上,⊥,||=||=1,=+.若||<,则||的取值范围是( )
A.(0,] B.(,]
C.(,] D.(,]
[答案] D
[解析] 由于⊥,所以以A为原点,分别以,所在直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系.设B1(a,0),B2(0,b),O(x,y),
则=+=(a,b),即P(a,b).
由||=||=1,得(x-a)2+y2=x2+(y-b)2=1.
所以(x-a)2=1-y2≥0,(y-b)2=1-x2≥0.
由||<,得(x-a)2+(y-b)2<,
即0≤1-x2+1-y2<.
所以<x2+y2≤2,即<≤.
所以||的取值范围是(,],故选D.
(理)(2021·辽宁理,9)已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB为直角三角形,则必有( )
A.b=a3
B.b=a3+
C.(b-a3)(b-a3-)=0
D.|b-a3|+|b-a3-|=0
[答案] C
[解析] 依题意,a≠0.由于△ABC是直角三角形,则O不行能为直角顶点,若∠A为直角,则有b=a3;若∠B为直角,则有⊥,·=(a,a3)·(a,a3-b)=a2+a3(a3-b)=0,所以b=a3+,选C.
二、填空题
7.(2021·湖南岳阳一中月考)平面对量a,b,e满足:|e|=1,a·e=1,b·e=2,|a-b|=2,则向量a-b与e的夹角为________.
[答案]
[解析] 设a-b与e的夹角为θ,则cosθ===-,
∵θ∈[0,π],∴θ=.
8.已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A、B、C三点共线,则k=________.
[答案] -
[解析] ∵A、B、C三点共线,∴与共线,
∵=-=(4-k,-7),
=-=(-2k,-2),
∴-2(4-k)-(-7)·(-2k)=0,∴k=-.
9.已知M、N为平面区域内的两个动点,向量a=(1,3),则·a的最大值是________.
[答案] 40
[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图,由于a=(1,3),直线AB:3x-y-6=0,显见a是直线AB的一个方向向量,由于M、N是△ABC围成区域内的任意两个点,故当M、N分别为A、B点时,·a取最大值,求得A(0,-6),B(4,6),∴==(4,12),∴·a=40.
三、解答题
10.(文)已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),c=(-1,0).
(1)求向量b+c的长度的最大值;
(2)设α=,且a⊥(b+c),求cosβ的值.
[分析] (1)由向量坐标运算定义可求b+c,由模的定义得到关于α的三角函数关系式,化为一个角的一个三角函数,即可求得最值,或依据向量模的三角不等式|a+b|≤|a|+|b|求解.
(2)∵α=,∴a已知,由a⊥(b+c)⇔a·(b+c)=0可得到关于cosβ的方程,解方程即可.
[解析] (1)解法1:b+c=(cosβ-1,sinβ),则
|b+c|2=(cosβ-1)2+sin2β=2(1-cosβ).
∵-1≤cosβ≤1,∴0≤|b+c|2≤4,即0≤|b+c|≤2.
当cosβ=-1时,有|b+c|=2,所以向量b+c的长度的最大值为2.
解法2:∵|b|=1,|c|=1,|b+c|≤|b|+|c|=2,
当cosβ=-1时,有b+c=(-2,0),即|b+c|=2.
所以向量b+c的长度的最大值为2.
(2)解法1:由已知可得b+c=(cosβ-1,sinβ),
a·(b+c)=cosαcosβ+sinαsinβ-cosα
=cos(α-β)-cosα.
∵a⊥(b+c),∴a·(b+c)=0,
即cos(α-β)=cosα.
由α=,得cos(-β)=cos,
即β-=2kπ±(k∈Z),∴β=2kπ+或β=2kπ,k∈Z,于是cosβ=0或cosβ=1.
解法2:若α=,则a=(,).
又由b=(cosβ,sinβ),
c=(-1,0)得a·(b+c)=(,)·(cosβ-1,sinβ)=cosβ+sinβ-.
∵a⊥(b+c),∴a·(b+c)=0,即cosβ+sinβ=1.
∴sinβ=1-cosβ,平方后化简得cosβ(cosβ-1)=0,
解得cosβ=0或cosβ=1.经检验,cosβ=0或cosβ=1即为所求.
(理)(2021·浙江联谊学校期中)已知a=(cos,sin),b=(cos,-sin),且θ∈[0,].
(1)求的最值;
(2)是否存在k的值使|ka+b|=|a-kb|?
[解析] (1)由已知得
a·b=coscos-sinsin=cos2θ,
∵θ∈[0,],
∴|a+b|===2cosθ,
∴==cosθ-,
令cosθ=t,t∈[,1],
∴cosθ-=t-,(t-)′=1+>0,
∴y=t-为增函数,其最大值为,最小值为-,
∴的最大值为,最小值为-.
(2)假设存在k的值满足题设条件,则|ka+b|2=3|a-kb|2.
∵|a|=|b|=1,a·b=cos2θ,
∴cos2θ=,
∵θ∈[0,],∴-≤cos2θ≤1,
∴-≤≤1,
∴存在2-≤k≤2+或k=-1.
一、选择题
11.(2022·沈阳市二检)已知▱ABCD中,=(2,8),=(-3,4),对角线AC与BD相交于点M,则的坐标为( )
A.(-,-6) B.(-,6)
C.(,-6) D. (,6)
[答案] B
[解析] =(+)=(-,6),故选B.
12.(文)已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),a与b的夹角为60°,直线xcosα-ysinα=0与圆(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=的位置关系是( )
A.相切 B.相交
C.相离 D.随α,β值的变化而变化
[答案] B
[解析] |a|=1,|b|=1,a·b=cosαcosβ+sinαsinβ
=cos(α-β),
∵〈a,b〉=60°,
∴cos60°=,∴cos(α-β)=,圆心(cosβ,-sinβ)到直线xcosα-ysinα=0的距离
d==|cos(α-β)|=<,
∴直线与圆相交.
(理)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A,与抛物线的准线的交点为B,点A在抛物线的准线上的射影为C,若=,·=48,则抛物线的方程为( )
A.y2=8x B.y2=4x
C.y2=16x D.y2=4x
[答案] B
[解析] 如图,△ABC为直角三角形,
由抛物线定义及条件知,|AC|=|AF|=|FB|=|AB|,∴∠ABC=,设|AC|=t,则|AB|=2t,∴|BC|=t,
∴·=||·||·cos∠ABC
=2t·t·cos=3t2=48,
∴t=4,∴p=|DF|=2,
∴抛物线方程为y2=4x,故选B.
13.(文)(2022·东北三省三校二模)已知△ABC中,||=10,·=-16,D为边BC的中点,则||等于( )
A.6 B.5
C.4 D.3
[答案] D
[解析] ∵BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA,∴100=AB2+AC2+32,∴AB2+AC2=68.2=+,∴4||2=|+|2=2+2+2·=68-32=36,
∴||=3.
(理)(2021·天津河东区一模)已知平面对量|p|=2,|q|=3,p、q的夹角为,如图,若=5p+2q,=p-3q,D为BC的中点,则||的长为( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] p·q=|p|·|q|cos=2×3×=6.
||2=(5p+2q)2=25p2+20p·q+4q2=200+120+36=356.
||2=(p-3q)2=p2-6p·q+9q2=8-36+81=53.
·=(5p+2q)·(p-3q)=5p2-13p·q-6q2=-92.
∵=,
∴||2=(2+2·+2)
=(356-184+53)=,
∴||=.
14.(文)(2022·甘肃省三诊)已知O是坐标原点,点A(-2,1),若点M(x,y)为平面区域上的一个动点,则·的取值范围是( )
A.[-1,0] B.[-1,2]
C.[0,1] D.[0,2]
[答案] B
[解析] ·=-2x+y,画出不等式组,表示的平面区域如图所示.
当点M的坐标为(1,1)时,·取最小值-1,当点M的坐标为(0,2)时,·=2,故选B.
(理)(2022·郑州市质检)如图所示,点A、B、C是圆O上的点,线段OC与线段AB交于圆内一点P, 若=m+2m,=λ,则λ=( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] ∵=-,=-,又=λ,
∴-=λ-λ,
∴=(1-λ)+λ,∴1-λ+λ=1,设=k;∵=m+2m,∴=+,∴+=1,∴k=3m,∴=+,∴λ=.
二、填空题
15.(2022·石家庄市质检)若向量a,b是两个相互垂直的单位向量,则向量a-b在向量b方向上的投影为________.
[答案] -
[解析] 设a-b与b的夹角为θ,
∴cosθ=,
∴a-b在b方向上的投影为
|a-b|cosθ===-.
16.(2022·海南六校联考)在矩形ABCD中,AB=3,BC=,=2,点F在边CD上,若·=3,则·=________.
[答案] -4
[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系,
设F(x,),∵=(3,0),=(x,),
∴·=3x=3,∴x=1,
又∵=2,∴E(3,),
∴=(3,),=(-2,),
∴·=-6+2=-4.
三、解答题
17.(文)设角A,B,C是△ABC的三个内角,已知向量m=(sinA+sinC,sinB-sinA),n=(sinA-sinC,sinB),且m⊥n.
(1)求角C的大小;
(2)若向量s=(0,-1),t=,试求|s+t|的取值范围.
[解析] (1)由题意得m·n=(sin2A-sin2C)+(sin2B-sinAsinB)=0,即sin2C=sin2A+sin2B-sinAsinB,由正弦定理得c2=a2+b2-ab,再由余弦定理得cosC==.
由于0<C<π,所以C=.
(2)由于s+t==(cosA,cosB),
所以|s+t|2=cos2A+cos2B=cos2A+cos2
=+=cos2A-sin2A+1
=-sin+1.
由于0<A<,所以-<2A-<,则
-<sin≤1,
所以-≤-sin(2A-)<,
所以≤|s+t|2<,故≤|s+t|<.
(理)(2021·甘肃嘉峪关市一中三模)已知△ABC的内角是A、B、C,a、b、c分别是其所对的边长,向量m=(,cos(π-A)-1),n=(cos(-A),1),m⊥n.
(1)求角A的大小;
(2)若a=2,cosB=,求b的长.
[解析] (1)∵m⊥n,∴m·n=cos(-A)+cos(π-A)-1
=sinA-cosA-1=2sin(A-)-1=0,
∴sin(A-)=,∵0<A<π,∴-<A-<,∴A-=,∴A=.
(2)∵cosB=,∴sinB=,
由正弦定理=,
∴=,∴b=.
18.(文)(2021·苏南四校月考)已知向量m=(sinx,-1),n=(cosx,3).
(1)当m∥n时,求的值;
(2)设函数f(x)=(m+n)·m,求f(x)的单调增区间;
(3)已知在锐角△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,c=2asin(A+B),对于(2)中的函数f(x),求f(B+)的取值范围.
[解析] (1)由m∥n,可得3sinx=-cosx,
于是tanx=-.
∴===-.
(2)∵f(x)=(m+n)·m
=(sinx+cosx,2)·(sinx,-1)
=sin2x+sinxcosx-2
=+sin2x-2
=sin(2x-)-,
∵2kπ-≤2x-≤2kπ+,
∴kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
∴所求增区间为:[kπ-,kπ+](k∈Z).
(3)∵在△ABC中,A+B=π-C,∴sin(A+B)=sinC,
由正弦定理知:sinC=2sinA·sinC,
∵sinC≠0,∴sinA=,∴A=.
又△ABC为锐角三角形,于是<B<,
∴f(B+)=sin[2(B+)-]-=sin2B-.
由<B<得<2B<π,
∴0<sin2B≤1,得-<sin2B-≤-.
即f(B+)∈(-,-].
(理)(2022·福建泉州质检)已知向量a=(2,2),向量b与向量a的夹角为,且a·b=-2.
(1)求向量b;
(2)若t=(1,0)且b⊥t,c=(cosA,2cos2),其中A,C是△ABC的内角,若三角形ABC的三内角A,B,C依次成等差数列,试求|b+c|的取值范围.
[解析] (1)设b=(x,y),则2x+2y=-2,①
且|b|==1,∴=1②
由①②解得或所以b=(-1,0)或b=(0,-1).
(2)由于A,B,C依次成等差数列,所以B=.
由于b⊥t,且t=(1,0),所以b=(0,-1).
所以b+c=(cosA,2cos2-1)=(cosA,cosC),
所以|b+c|2=cos2A+cos2C=1+(cos2A+cos2C)
=1+cos(A+C)cos(A-C)=1-cos(A-C).
由于-<A-C<,所以-<cos(A-C)≤1,
∴<|b+c|2<,所以≤|b+c|<.
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