2021届高三数学第一轮复习北师大版素能提升训练-8-6-Word版含解析.docx

用向量方法证明立体几何中的有关问题
[典例]　(2022·陕西卷)

(1)如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真；
(2)写出上述命题的逆命题，并推断其真假(不需证明)．
[审题视角]　本题考查三垂线逆定理的证明，同时以立体几何为背景考查了命题的有关学问，具有较好的创新性．在第(1)问的证明中，利用平面对量基本定理，运用向量方法使问题得以解决．使用向量方法能够用代数运算代替空间线面关系的规律推理，使证明和运算过程具有程序化．
[解析]　证明：(1)如图，记c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P作PO⊥π，垂足为O，则O∈c.

∵PO⊥π，aπ，∴直线PO⊥a，
又a⊥b，b平面PAO，PO∩b＝P，
∴a⊥平面PAO，又c平面PAO，
∴a⊥c.
(2)逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b.
逆命题为真命题．

利用空间向量解决立体几何方法的一般步骤是：
①适当地选取基底{a，b，c}，一般状况下要知道a，b，c的长度和两线的夹角．
②用a，b，c表示已知条件和明确需要解决的问题，将立体几何问题转化为空间向量问题．
③依据具体问题的要求通过空间向量的运算进行计算和证明．

1．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为始终角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD＝AD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．

(1)求证：BE∥平面PAD；
(2)若BE⊥平面PCD，
①求异面直线PD与BC所成角的余弦值；
②求二面角E—BD—C的余弦值．
解：设AB＝a，PA＝b，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(a,0,0)，P(0,0，b)，C(2a,2a,0)，D(0,2a,0)，E.
(1)证明：＝，＝(0,2a,0)，＝(0,0，b)，
所以＝＋，
BE⃘平面PAD，∴BE∥平面PAD.
(2)∵BE⊥平面PCD，∴BE⊥PC，即·＝0，
又＝(0，a，)，＝(2a,2a，－b)，
∴·＝2a2－＝0，即b＝2a.
①＝(0,2a，－2a)，＝(a,2a,0)，
cos<，>＝＝，
∴异面直线PD与BC所成角的余弦值为.
②平面BDE和平面BDC中，＝(0，a，a)，＝(－a,2a,0)，＝(a,2a,0)，
∴平面BDE的一个法向量为n1＝(2,1，－1)；
平面BDC的一个法向量为n2＝(0,0,1)，
cos<n1，n2>＝－，
所以二面角E－BD－C的余弦值为.