2021届高三数学第一轮复习北师大版素能提升训练-8-6-Word版含解析.docx

用向量方法证明立体几何中的有关问题典例(2022陕西卷)(1)如图，证明命题“a是平面内的一条直线，b是外的一条直线(b不垂直于)，c是直线b在上的投影，若ab，则ac”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并推断其真假(不需证明)审题视角本题考查三垂线逆定理的证明，同时以立体几何为背景考查了命题的有关学问，具有较好的创新性在第(1)问的证明中，利用平面对量基本定理，运用向量方法使问题得以解决使用向量方法能够用代数运算代替空间线面关系的规律推理，使证明和运算过程具有程序化解析证明：(1)如图，记cbA，P为直线b上异于点A的任意一点，过P作PO，垂足为O，则Oc.PO，a，直线POa，又ab，b平面PAO，PObP，a平面PAO，又c平面PAO，ac.(2)逆命题为：a是平面内的一条直线，b是外的一条直线(b不垂直于)，c是直线b在上的投影，若ac，则ab.逆命题为真命题利用空间向量解决立体几何方法的一般步骤是：适当地选取基底a，b，c，一般状况下要知道a，b，c的长度和两线的夹角用a，b，c表示已知条件和明确需要解决的问题，将立体几何问题转化为空间向量问题依据具体问题的要求通过空间向量的运算进行计算和证明1如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为始终角梯形，其中BAAD，CDAD，CDAD2AB，PA底面ABCD，E是PC的中点(1)求证：BE平面PAD；(2)若BE平面PCD，求异面直线PD与BC所成角的余弦值；求二面角EBDC的余弦值解：设ABa，PAb，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(a,0,0)，P(0,0，b)，C(2a,2a,0)，D(0,2a,0)，E.(1)证明：，(0,2a,0)，(0,0，b)，所以，BE平面PAD，BE平面PAD.(2)BE平面PCD，BEPC，即0，又(0，a，)，(2a,2a，b)，2a20，即b2a.(0,2a，2a)，(a,2a,0)，cos，异面直线PD与BC所成角的余弦值为.平面BDE和平面BDC中，(0，a，a)，(a,2a,0)，(a,2a,0)，平面BDE的一个法向量为n1(2,1，1)；平面BDC的一个法向量为n2(0,0,1)，cos，所以二面角EBDC的余弦值为.