2021届高三数学第一轮复习北师大版素能提升训练-8-8-Word版含解析.docx

利用空间向量破解二面角问题
[典例]　(2022·全国高考)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD.

(1)证明：DC1⊥BC；
(2)求二面角A1－BD－C1的大小．
[审题视角]　(1)通过证明线线垂直得到线面垂直，进而得到待证的线线垂直．(2)依据垂直关系建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，通过计算两个法向量所成的角的余弦值即可求出二面角的大小．
[解析]　(1)由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D为AA1的中点，故DC＝DC1.
又AC＝AA1，可得DC＋DC2＝CC，所以DC1⊥DC.
而DC1⊥BD，DC∩BD＝D，
所以DC1⊥平面BCD.
BC⊂平面BCD，故DC1⊥BC.
(2)由(1)知BC⊥DC1，且BC⊥CC1，则BC⊥平面ACC1，所以CA、CB、CC1两两相互垂直．
以C为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.

由题意知A1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2)，则＝(0,0，－1)，＝(1，－1,1)，＝(－1,0,1)．
设n＝(x，y，z)是平面A1B1BD的法向量，则
即
可取n＝(1,1,0)．
同理，设m是平面C1BD的法向量，则
可取m＝(1,2,1)．
从而cos〈n，m〉＝＝.
故二面角A1－BD－C1的大小为30°.

第1步：证明线线垂直得到线面垂直．
第2步：由线面垂直得到待证的线线垂直．
第3步：依据垂直关系建立适当的空间直角坐标系．
第4步：确定或设出待证点的坐标．
第5步：求出两个法向量．
第6步：通过两个法向量夹角的余弦值确定二面角大小．
第7步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范．第(1)问中，利用勾股定理或三角形相像判定线线垂直，在考题中频频毁灭．第(2)问中，没有线段的长度，可以设出，使问题变得简洁易处理．

1．(2022·重庆)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点．

(1)求点C到平面A1ABB1的距离；
(2)若AB1⊥A1C，求二面角A1－CD－C1的平面角的余弦值．
解：(1)由AC＝BC，D为AB的中点，得CD⊥AB.又CD⊥AA1，故CD⊥平面A1ABB1，CD即为点C到平面A1ABB1的距离为CD＝＝.
(2)如图，取D1为A1B1的中点，连结DD1，则DD1∥AA1∥CC1.

又由(1)知CD⊥面A1ABB1故CD⊥A1D，CD⊥DD1，所以∠A1DD1为所求二面角A1－CD－C1的平面角．
因A1D为A1C在面A1ABB1上的射影，又已知AB1⊥A1C，由三垂线定理的逆定理得AB1⊥A1D，从而∠A1AB1、∠A1DA都与∠B1AB互余，因此∠A1AB＝∠A1DA，所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A.因此＝，即AA＝AD·A1B1，得AA1＝2.
从而A1D＝＝2.，所以，在Rt△A1DD1中，
cos∠A1DD1＝＝＝.