2021届高三数学第一轮复习北师大版素能提升训练-8-8-Word版含解析.docx

利用空间向量破解二面角问题典例(2022全国高考)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCAA1，D是棱AA1的中点，DC1BD.(1)证明：DC1BC；(2)求二面角A1BDC1的大小审题视角(1)通过证明线线垂直得到线面垂直，进而得到待证的线线垂直(2)依据垂直关系建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，通过计算两个法向量所成的角的余弦值即可求出二面角的大小解析(1)由题设知，三棱柱的侧面为矩形由于D为AA1的中点，故DCDC1.又ACAA1，可得DCDC2CC，所以DC1DC.而DC1BD，DCBDD，所以DC1平面BCD.BC平面BCD，故DC1BC.(2)由(1)知BCDC1，且BCCC1，则BC平面ACC1，所以CA、CB、CC1两两相互垂直以C为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.由题意知A1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2)，则(0,0，1)，(1，1,1)，(1,0,1)设n(x，y，z)是平面A1B1BD的法向量，则即可取n(1,1,0)同理，设m是平面C1BD的法向量，则可取m(1,2,1)从而cosn，m.故二面角A1BDC1的大小为30.第1步：证明线线垂直得到线面垂直第2步：由线面垂直得到待证的线线垂直第3步：依据垂直关系建立适当的空间直角坐标系第4步：确定或设出待证点的坐标第5步：求出两个法向量第6步：通过两个法向量夹角的余弦值确定二面角大小第7步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范第(1)问中，利用勾股定理或三角形相像判定线线垂直，在考题中频频毁灭第(2)问中，没有线段的长度，可以设出，使问题变得简洁易处理1(2022重庆)如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，ACBC3，D为AB的中点(1)求点C到平面A1ABB1的距离；(2)若AB1A1C，求二面角A1CDC1的平面角的余弦值解：(1)由ACBC，D为AB的中点，得CDAB.又CDAA1，故CD平面A1ABB1，CD即为点C到平面A1ABB1的距离为CD.(2)如图，取D1为A1B1的中点，连结DD1，则DD1AA1CC1.又由(1)知CD面A1ABB1故CDA1D，CDDD1，所以A1DD1为所求二面角A1CDC1的平面角因A1D为A1C在面A1ABB1上的射影，又已知AB1A1C，由三垂线定理的逆定理得AB1A1D，从而A1AB1、A1DA都与B1AB互余，因此A1ABA1DA，所以RtA1ADRtB1A1A.因此，即AAADA1B1，得AA12.从而A1D2.，所以，在RtA1DD1中，cosA1DD1.