2022高考总复习(人教A版)高中数学-选修4-4-第2讲-参数方程.docx

第2讲　参数方程

1．参数方程和一般方程的互化
(1)曲线的参数方程和一般方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到一般方程．
(2)假如知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入一般方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程，在参数方程与一般方程的互化中，必需使x，y的取值范围保持全都．
2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程
名称
一般方程
参数方程
直线
y－y0＝k(x－x0)

(t为参数)
圆
(x－x0)2＋(y－y0)2＝R2

(θ为参数且0≤θ≤2π)
椭圆
＋＝1(a>b>0)

(t为参数且0≤t≤2π)
抛物线
y2＝2px(p>0)
(t为参数)

__参数方程与一般方程的互化____________

　(1)(2022·高考湖南卷改编)求曲线C：(t为参数)的一般方程．
(2)(2021·西安质检)若直线3x＋4y＋m＝0与圆(θ为参数)相切，求实数m的值．
[解]　(1)∵x＝2＋t，∴t＝x－2，代入y＝1＋t，得y＝x－1，即x－y－1＝0.
(2)圆消去参数θ，化为一般方程是(x－1)2＋(y＋2)2＝1.由于直线与圆相切，所以圆心(1，－2)到直线的距离等于半径，即＝1，解得m＝0或m＝10.
[规律方法]　消去参数的方法一般有三种：
(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数；
(2)利用三角恒等式消去参数；
(3)依据参数方程本身的结构特征，选用一些机敏的方法从整体上消去参数．
[留意]　将参数方程化为一般方程时，要留意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必需依据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围．
　1.将下列参数方程化为一般方程．
(1)　(2)
解：(1)两式相除，得k＝，
将其代入得x＝，
化简得所求的一般方程是4x2＋y2－6y＝0(y≠6)．
(2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)，x＝1－sin 2θ∈[0，2]，得y2＝2－x.
即所求的一般方程为y2＝2－x，x∈[0，2]．
__参数方程的应用______________________

　(2022·高考课标全国卷Ⅰ)已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的一般方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
[解]　(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．
直线l的一般方程为2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为d＝|4cos θ＋3sin θ－6|，
则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝.
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.
[规律方法]　1.解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要留意一般方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．
2．依据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：
过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2.
(1)弦长l＝|t1－t2|；
(2)弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；
(3)|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.
　2.(2021·东北三校联考)已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l经过定点P(3，5)，倾斜角为.
(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；
(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．
解：(1)曲线C的标准方程：(x－1)2＋(y－2)2＝16，
直线l的参数方程：(t为参数)．
(2)将直线l的参数方程代入圆C的标准方程可得t2＋(2＋3)t－3＝0，
设t1，t2是方程的两个根，则t1t2＝－3，所以|PA||PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝3.
__极坐标方程与参数方程的综合__________

　(2022·高考辽宁卷)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
(1)写出C的参数方程；
(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
[解]　(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得
由x＋y＝1，得x2＋＝1，
即曲线C的方程为x2＋＝1.
故C的参数方程为(t为参数)．
(2)由解得或
不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k＝，
于是所求直线方程为y－1＝，
化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，
即ρ＝.

[规律方法]　涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为一般方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
　3.(2021·云南省统一检测)已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，当t＝1时，曲线C1上的点为A，当t＝－1时，曲线C1上的点为B.以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝ .
(1)求A、B的极坐标；
(2)设M是曲线C2上的动点，求|MA|2＋|MB|2的最大值．
解：(1)当t＝1时，，
即A的直角坐标为A(－1，)；
当t＝－1时，，
即B的直角坐标为B(1，－)．
∴A的极坐标为A，B的极坐标为B.
(2)由ρ＝，得ρ2(4＋5sin2θ)＝36，
∴曲线C2的直角坐标方程为＋＝1.
设曲线C2上的动点M的坐标为M(3cos α，2sin α)，
则|MA|2＋|MB|2＝10 cos2α＋16≤26，
∴|MA|2＋|MB|2的最大值为26.

1．(2022·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，求线段AB的长．
解：将直线l的参数方程代入抛物线方程y2＝4x，得＝4，解得t1＝0，t2＝－8.
所以AB＝|t1－t2|＝8.
2．在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，求|AB|的最小值．
解：曲线C1：(θ为参数)的直角坐标方程为(x－3)2＋(y－4)2＝1，知C1是以(3，4)为圆心，1为半径的圆；曲线C2：ρ＝1的直角坐标方程是x2＋y2＝1，可知C2是以原点为圆心，1为半径的圆，题意就是求分别在两个圆C1和C2上的两点A，B的最短距离．由圆的方程知，这两个圆相离，所以|AB|min＝－1－1＝5－1－1＝3.
3．(2021·东北三校联合模拟)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ2＝，直线l的极坐标方程为ρ＝.
(1)写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；
(2)设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值．
解：(1)C1：x2＋2y2＝2，l：y＋x＝4.
(2)设Q(cos θ，sin θ)，则点Q到直线l的距离
d＝＝
≥＝，
当且仅当θ＋＝2kπ＋(k∈Z)，即θ＝2kπ＋(k∈Z)时取等号．
4．(2021·山西省忻州市第一次联考)在直角坐标平面内，直线l过点P(1，1)，且倾斜角α＝.以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ＝4sin θ.
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设直线l与圆C交于A、B两点，求|PA|·|PB|的值．
解：(1)∵ρ＝4sin θ，∴ρ2＝4ρsin θ，则x2＋y2－4y＝0，
即圆C的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0.
(2)由题意，
得直线l的参数方程为(t为参数)．
将该方程代入圆C方程x2＋y2－4y＝0，
得(1＋t)2＋(1＋t)2－4(1＋t)＝0，
即t2＝2，∴t1＝，t2＝－.
即|PA|·|PB|＝|t1t2|＝2.
5．(2021·石家庄第一次模拟)在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为：(α为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为：ρ＝cos θ.
(1)求曲线C2的直角坐标方程；
(2)若P，Q分别是曲线C1和C2上的任意一点，求|PQ|的最小值．
解：(1)∵ρ＝cos θ，
∴x2＋y2＝x，
即(x－)2＋y2＝.
(2)设P(2cos α，sin α)，易知C2(，0)，
∴|PC2|＝　
＝　
＝　，
当cos α＝时，|PC2|取得最小值，|PC2|min＝，
∴|PQ|min＝.
6．(2021·河北唐山模拟)极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)．
(1)求C的直角坐标方程；
(2)直线l：(t为参数)与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|＋|EB|的值．
解：(1)在ρ＝2(cos θ＋sin θ)中，
两边同乘ρ，得ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)，
则C的直角坐标方程为x2＋y2＝2x＋2y，
即(x－1)2＋(y－1)2＝2.
(2)将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，化简得t2－t－1＝0，
点E对应的参数t＝0，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝1，t1t2＝－1，
所以|EA|＋|EB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|
＝＝.

1．(2021·新乡许昌平顶山其次次调研)已知直线l：(t为参数)，曲线C1：(θ为参数)．
(1)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；
(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
解：(1)l的一般方程为y＝(x－1)，C1的一般方程为x2＋y2＝1.
联立方程，解得l与C1的交点为A(1，0)，B，
则|AB|＝1.
(2)C2的参数方程为(θ为参数)．故点P的坐标是.
从而点P到直线l的距离d＝
＝，
当sin＝－1时，d取得最小值，且最小值为(－1)．
2．(2021·高考辽宁卷)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos (θ－)＝2.
(1)求C1与C2交点的极坐标；
(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数)，求a，b的值．
解：(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
解得
所以C1与C2交点的极坐标为(4，)，(2，)．
注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)．
故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0，
由参数方程可得y＝x－＋1.
所以解得
3．(2021·贵州省六校联考)在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acos θ(a>0)，过点P(－2，－4)的直线l：(t为参数)与曲线C相交于M，N两点．
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的一般方程；
(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值．
解：(1)把代入ρsin2θ＝2acos θ，得y2＝2ax(a>0)，
由(t为参数)，消去t得x－y－2＝0，
∴曲线C的直角坐标方程和直线l的一般方程分别是y2＝2ax(a>0)，x－y－2＝0.

(2)将(t为参数)代入y2＝2ax，
整理得t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0.
设t1，t2是该方程的两根，
则t1＋t2＝2(4＋a)，t1·t2＝8(4＋a)，
∵|MN|2＝|PM|·|PN|，∴(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1·t2＝t1·t2，
∴8(4＋a)2－4×8(4＋a)＝8(4＋a)，∴a＝1.
4．(2021·吉林长春调研)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sin.
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)点P(x，y)是直线l与圆面ρ≤4sin的公共点，求x＋y的取值范围．
解：(1)由于圆C的极坐标方程为ρ＝4sin，
所以ρ2＝4ρsin＝4ρ.
又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以x2＋y2＝2y－2x，
所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0.
(2)设z＝x＋y，
由圆C的方程x2＋y2＋2x－2y＝0，得(x＋1)2＋(y－)2＝4，
所以圆C的圆心是(－1，)，半径是2.
将代入z＝x＋y，得z＝－t，
又直线l过C(－1，)，圆C的半径是2，所以－2≤t≤2，
所以－2≤－t≤2，即x＋y的取值范围是[－2，2]．