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2022—2021年度第一学期高三期末检测
数学（文）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知集合，集合，则( )
A． B． C． D．
2、函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3、已知角的终边与单位圆交于点，则等于（ ）
A． B． C． D．1
4、设满足约束条件，则的最大值为（ ）
A． B．0 C．1 D．3
5、为了得到的图象，只需把的图象上全部点的（ ）
A．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
B．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变
C．纵坐标缩短到原来倍，横坐标不变
D．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
6、过点作圆的两条切线，切点分别，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
7、某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，
则正视图中的的值是（ ）
A．2 B．
C． D．3
8、已知的重心为，角所对的边分别为
若，则（ ）
A． B． C． D．
9、函数的图象是（ ）
10、已知函数，其中是自然数的底数，若直线与函数的图象有三个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。.
11、已知向量，若，则
12、设正项等比数列前n项积为，若，则的值为
13、已知，若恒成立，则实数的最大值为
14、已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则该双曲线的方程为
15、设点是函数图象上的两端点，为坐标原点，且点满足，点在函数的图象上，且满足实数），则称的最大值为函数的“高度”，函数上的“高度”
为
三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16、（本小题满分12分）
已知函数的周期为。
（1）求的解析式；
（2）在中，角的对边分别是，且，，求
17、（本小题满分12分）
已知数列中，为其前n项和，且对任意，都有。
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前n项和
18、（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，平面,
为的中点，为上且
（1）求证：平面；
（2）若，求四周体的体积。
19、（本小题满分12分）
已知袋子中放有大小和外形相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个，若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是。
（1）求的值；
（2）从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为，其次次取出的小球标号为。
①记“”为大事，求大事的概率；
②在区间内任取2个实数，求大事“恒成立”的概率为。
20、（本小题满分13分）
已知椭圆的长轴的一个端点是抛物线的焦点，离心率是。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知动直线与椭圆相交于两点，且在轴上存在点，使得与的取值无关，试求点的坐标。
21、（本小题满分14分）
已知函数为自然数的底数）
（1）若曲线在点处的切线平行于x轴，求的值；
（2）争辩的极值状况；
（3）当时，若直线与曲线没有公共点，求的取值范围。
高三文科数学答案
一． 选择题：CDACD ADBBD
二． 填空题：11. 12. 3 13. 10 14. 15. 4
三．解答题
16．解：（1）. ……4分
所以， …………5分
所以. …………6分
（2）由，得，由于，所以，所以，所以. ……9分
由得，，所以，
又，所以， ……………11分
所以. ………12分
17.解：（1）由得，，而，所以. ………2分
当时，，
且当时，此式也适合， ………4分所以数列的通项公式为. ………6分
(2)， ………8分
所以. 12分
18.（1）证明：由于，
，所以，
又，所以，
所以，
所以为的中点， ………3分
又为的中点，所以，
而平面,所以平面
又，
所以，可得平面
又，
所以平面平面，而平面，
所以平面. ………6分
(2)由于，所以平面，
又，，，
所以， ………9分
所以
. ………12分
19．解：（1）依题意共有小球个，标号为的小球个，从袋子中随机抽取 个小球，取到标号为的小球的概率为，得；…3分
（2）①从袋子中不放回地随机抽取个小球共有种结果，而满足 的结果有种，故； ……6分
②由①可知，，故，（）可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为
＝,由几何概型得概率为
. ………12分
20.解：（1）的焦点为， ………1分
依据条件可知椭圆的焦点在轴上，且，
由于离心率，所以，
故， ………4分
故所求方程为. ………6分
（2）将代入得，
， ………7分
设，
则，， ………8分
……10分
， ………12分
要使上式与无关，则有，解得，
所以点的坐标为. ………13分
21.解：（1）由，得.
又在点处的切线平行于轴，
得，解得. …4分
(2) .
①当时，，为上增函数，
所以无极值； ………6分
②当时，令得.
当时，， 在上递减，
当时，， 在上递增，
故在处取得微小值，无极大值，……8分
综上，当时，无极值；
当时在处取得微小值，无极大值. ……9分
（3）当时，.
直线与曲线没有公共点等价于关于的方程
在上没有实数解，
即关于的方程在上没有实数解. ………11分
①当时，方程为，在上没有实数解；………10分
②当时，方程为.
令，则有. 令，得，
当变化时，的变化状况如下表：
负
0
正
减
增
当时，，从而，
所以当时，方程没有实数解，
解得， ………13分
综上，的取值范围为. ………14分
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