资源描述
保密★启用前 试卷类型：A
2021—2022学年第一学期期中考试
高三理科数学试题
留意事项：
1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，考试时间为120分钟，
满分150分．
2．把选择题选出的答案标号涂在答题卡上．
3．第Ⅱ卷用黑色签字笔在答题纸规定的位置作答，否则不予评分．
第Ⅰ卷 选择题（共50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、已知全集，，则（ ）
A． B． C． D．
2、若为实数，且，则a=( )
A． 一4 B． 一3 C． 3 D． 4
3、下列命题中正确的个数是（ ）
①若是的必要而不充分条件,则是的充分而不必要条件；
②命题“对任意,都有”的否定为“存在,使得”；
③若p∧q为假命题，则p与q均为假命题；
④命题“若x2—4x+3=0，则x=3”的逆否命题是“若x≠3，则x2－4x+3≠0”
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4、把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ）
A． B． C． D．
5、已知函数，其中，则的开放式中的系数为（ ）
A. 120 B. C. 60 D . 0
6、已知变量满足约束条件，则的最大值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
7、若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8、在锐角中，角所对的边分别为，若，，，
则的值为（ ）
A. B. C． D．
9、如图，设E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB＝3，AC＝6，则·＝( )
A．8 B．10 C．11 D．12
10、已知函数对定义域内的任意都有，且当时，其导数满足，若，则（ ）
第Ⅱ卷 非选择题（共100分）
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11、已知函数，则= .
12、若存在，使不等式成立，则实数的最小值为 ．
13、已知与的夹角为，若，且，则在方向上的正射影的数量为 .
14、已知向量==,若，则的最小值为 .
15、已知函数的图像经过四个象限，则实数的取值范围为 .
三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16、（本题满分12分）已知，，，（）
（1）求函数的值域；
（2）设的内角，，的对边分别为，，，若，，，求的值．
17、（本题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°
（I）求证：PB⊥AD；
（II）若PB=，求二面角A—PD—C的余弦值。
18、（本题满分12分）某旅游景点估量2022年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位：万人)与x的关系近似地满足p(x)＝x(x＋1)(39－2x)(x∈N*，且x≤12)．已知第x个月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的近似关系是q(x)＝
(1)写出2022年第x个月的旅游人数f(x)(单位：人)与x的函数关系式；
(2)试问2022年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？
19、（本题满分12分）等差数列的前项和为，且，.数列的前项和为，且.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
20、（本题满分13分）已知椭圆过点（0，1），其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线轴正半轴和y轴分别交于Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足.
（I）求椭圆的标准方程；
（II）若，试证明：直线过定点并求此定点.
21、（本小题满分14分） 已知函数。
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，争辩函数在其定义域内的单调性；
（3）若函数的图象上存在一点，使得以为切点的切线将其图象分割为两部分，且分别位于切线的两侧（点P除外），则称为函数的“转点”，问函数是否存在这样的一个“转点”，若存在，求出这个“转点”，若不存在，说明理由。
2021—2022学年第一学期期中考试答案
DDCDA BAADBC
11、 12、 13、 14、6 15、
三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16、（本题满分12分）
已知，，，（）
（1）求函数的值域；
（2）设的内角，，的对边分别为，，，若，，，求的值．
解：
……………………………2分
，，，从而有，
所以函数的值域为． ……………………………4分
（2）由得，又由于，所以，
从而，即． ……………………………6分
由于，所以由正弦定理得，
故或
当时，，从而
当时，，又，从而
综上的值为1或2. ……………………………10分
（用余弦定理类似给分）。
17、（本题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°
（I）求证：PB⊥AD；
（II）若PB=，求二面角A—PD—C的余弦值。
(Ⅰ)证明：取AD的中点E，连接PE，BE，BD．
∵PA＝PD＝DA，四边形ABCD为菱形，且∠BAD＝60°，∴△PAD和△ABD为两个全等的等边三角形，
则PE⊥AD， BE⊥AD，∴AD⊥平面PBE， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
又PB平面PBE，∴PB⊥AD； ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
(Ⅱ)解：在△PBE中，由已知得，PE＝BE＝，PB＝，则PB2＝PE2＋BE2，
∴∠PEB＝90°，即PE⊥BE，又PE⊥AD，∴PE⊥平面ABCD；
A
B
C
D
P
E.
z
x
y
以点E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则E(0,0,0)， C(－2,,0)，D(－1,0,0)，P(0,0,)，
则＝(1,0,)，＝(－1,,0)，
由题意可设平面APD的一个法向量为m＝(0,1,0)；．．．．．．．．．．．．．．．．7分
设平面PDC的一个法向量为n＝(x,y,z)，
由 得：令y＝1，则x＝，z＝－1，∴n＝(,1,－1)；
则m·n＝1，∴cos<m, n >＝＝＝， ．．．．．．．．．．．．．11分
由题意知二面角A－PD－C的平面角为钝角，所以，二面角A－PD－C的余弦值为－．．．．．．．．12分
18、（本题满分12分）某旅游景点估量2022年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位：万人)与x的关系近似地满足p(x)＝x(x＋1)(39－2x)(x∈N*，且x≤12)．已知第x个月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的近似关系是q(x)＝
(1)写出2022年第x个月的旅游人数f(x)(单位：人)与x的函数关系式；
(2)试问2022年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？
(1)当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37，
当2≤x≤12，且x∈N*时，
f(x)＝p(x)－p(x－1)＝x(x＋1)(39－2x)－(x－1)x(41－2x)＝－3x2＋40x，
验证x＝1也满足此式，
所以f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12)．
(2)第x个月旅游消费总额为
g(x)＝
即g(x)＝
①当1≤x≤6，且x∈N*时，
g′(x)＝18x2－370x＋1 400，令g′(x)＝0，
解得x＝5或x＝(舍去)．
当1≤x<5时，g′(x)>0，
当5<x≤6时，g′(x)<0，
∴当x＝5时，g(x)max＝g(5)＝3 125(万元)．
②当7≤x≤12，且x∈N*时，g(x)＝－480x＋6 400是减函数，
∴当x＝7时，g(x)max＝g(7)＝3 040(万元)．
综上，2022年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3 125万元．
19、（本题满分12分）等差数列的前项和为，且，.数列的前项和为，且.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【解析】（1）由题意，，得，.…………3分
，当时，，当时，，
得，所以的通项公式为.………………7分
（2），
当为偶数时，
；………………10分
当为奇数时，（法一）为偶数，
（法二）
所以，………………14分
20、（本题满分13分）已知椭圆过点（0，1），其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线轴正半轴和y轴分别交于Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足.
（I）求椭圆的标准方程；
（II）若，试证明：直线过定点并求此定点.
21、（本小题满分14分）
已知函数。
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，争辩函数在其定义域内的单调性；
（3）若函数的图象上存在一点，使得以为切点的切线将其图象分割为两部分，且分别位于切线的两侧（点P除外），则称为函数的“转点”，问函数是否存在这样的一个“转点”，若存在，求出这个“转点”，若不存在，说明理由。
【解析】（1）当时，，则，………………1分
由此得点处切线的斜率，……………………………………………2分
所以曲线在点处的切线方程为，即.…………3分
（2）对求导，得……………………4分①当时，， 在上递增，在上递减； ……5分
②当时，设， 由于，则
i）当时，，所以，于是在上单调递增；……6分
ii）当时，，方程的两根为
，
易知，则，
所以在上单调递增，在上单调递减；………………7分
综上所述：当时，在上递增，在上递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，
在上单调递减 ………………8分
8. ，设，
则在点处的切线方程为.………9分
令，则.
.…………………………………10分
①当时，，有；，有.
所以在上单调递增，在上单调递减，于是，
故都在切线的同侧，此时不存在“转点”.……………………………………11分
②当时，取，即.
,
所以在上单调递增.…………………………………………………………12分
又，所以当时，；当时，.
于是的图象在切线的两侧，所以为函数的一个“转点”.…13分
综上所述：当时，存在是函数的一个“转点”；
当时，不存在“转点” . …………………14分
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