《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习讲义-第九章-第8讲-二项分布及其应用.docx

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2、独立重复试验在n次独立重复试验中，用X表示大事A发生的次数，设每次试验中大事A发生的概率是p，此时称随机变量X听从二项分布，记作XB(n，p)，并称p为成功概率计算公式用Ai(i1，2，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3An) P(A1)P(A2)P(An)在n次独立重复试验中，大事A恰好发生k次的概率为P(Xk)Cpk(1p)nk(k0，1，2，n)做一做1若大事E与F相互独立，且P(E)P(F)，则P(EF)的值等于_答案：2设随机变量XB，则P(X3)等于_答案：1辨明两个易误点(1)两大事互斥是指两大事不行能同时发生，两大事相互独立是指一个大事的发生与否对另一个大事发生的概率没

3、有影响，两个大事相互独立不愿定互斥(2)P(B|A)是在A发生的条件下B发生的概率，而P(A|B)是在B发生的条件下A发生的概率2理解大事中常见词语的含义：(1)A，B中至少有一个发生的大事为AB；(2)A，B都发生的大事为AB；(3)A，B都不发生的大事为；(4)A，B恰有一个发生的大事为AB；(5)A，B至多一个发生的大事为AB.做一做3已知P(B|A)，P(AB)，则P(A)等于()A.B.C. D.解析：选C.由P(AB)P(A)P(B|A)，可得P(A).4投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面对上”为大事A，“骰子向上的点数是3”为大事B，则大事A，B中至少有一个发生的

4、概率是()A. B.C. D.解析：选C.依题意，得P(A)，P(B)，且大事A，B相互独立，则大事A，B中至少有一个发生的概率为1P()1P()P()1，故选C._条件概率_如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示大事“豆子落在正方形EFGH内”，B表示大事“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则P(B|A)_ 解析依题意得，P(A)，P(AB)，则由条件概率的意义可知，P(B|A).答案规律方法条件概率的两种求解方法：(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)求P(B|A)(2)基本大事法：借助古典概型概率公式，先求大事A包含

5、的基本大事数n(A)，再求大事AB所包含的基本大事数n(AB)，得P(B|A).1.在10个球中有6个红球和4个白球(除颜色外完全相同)，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸到红球的条件下，求其次次也摸到红球的概率解：记A表示“其次次摸到红球”，B表示“第一次摸到红球”，则A|B表示“第一次摸到红球，其次次又摸到红球”法一：直接利用A|B的含义求解由题意，大事B发生后，袋中还有9个球，其中5个红球，4个白球，则A发生的概率为，即P(A|B).法二：用公式求解P(B)，而AB表示两次都摸到红球，则P(AB)，所以P(A|B)._相互独立大事的概率_(2022高考陕西卷)在一块耕地上种植一种作物，每

6、季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体状况如下表：作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率解(1)设A表示大事“作物产量为300 kg”，B表示大事“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)0.5，P(B)0.4，利润产量市场价格成本X全部可能的取值为500101 0004 000，50061 0002 000，300101 0002 000，

7、30061 000800.P(X4 000)P()P()(10.5)(10.4)0.3，P(X2 000)P()P(B)P(A)P()(10.5)0.40.5(10.4)0.5，P(X800)P(A)P(B)0.50.40.2，所以X的分布列为X4 0002 000800P0.30.50.2(2)设Ci表示大事“第i季利润不少于2 000元”(i1，2，3)，由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知，P(Ci)P(X4 000)P(X2 000)0.30.50.8(i1，2，3)，3季的利润均不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)P(C1)P(C2)P(C3)0.830.512；3季

8、中有2季利润不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)P(C1C2C3)P(C1C2C3)30.820.20.384，所以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.5120.3840.896.规律方法求相互独立大事同时发生的概率的方法主要有：(1)利用相互独立大事的概率乘法公式直接求解(2)正面计算较繁琐或难以入手时，可从其对立大事入手计算2.(2021湖北武汉调研)某次飞镖竞赛中，规定每人至多放射三镖在M处每射中一镖得3分，在N处每射中一镖得2分，假如前两次得分之和超过3分即停止放射，否则放射第三镖某选手在M处的命中率q10.25，在N处的命中率为q2.该选手选择先在M处放射

9、一镖，以后都在N处放射，用X表示该选手竞赛结束后所得的总分，其分布列为X02345P0.03P1P2P3P4(1)求随机变量X的分布列；(2)试比较该选手选择上述方式放射飞镖得分超过3分的概率与选择都在N处放射飞镖得分超过3分的概率的大小解：(1)设该选手在M处射中为大事A，在N处射中为大事B，则大事A，B相互独立，且P(A)0.25，P()0.75，P(B)q2，P()1q2.依据分布列知：当X0时，P( )P()P()P()0.75(1q2)20.03，所以1q20.2，q20.8.当X2时，P1P( B B)P()P(B)P()P()P()P(B)0.75q2(1q2)20.24，当X3

10、时，P2P(A)P(A)P()P()0.25(1q2)20.01，当X4时，P3P(BB)P()P(B)P(B)0.75q0.48，当X5时，P4P(ABAB)P(AB)P(AB)P(A)P()P(B)P(A)P(B)0.25q2(1q2)0.25q20.24.所以随机变量X的分布列为：X02345P0.030.240.010.480.24(2)该选手选择上述方式放射飞镖得分超过3分的概率为0.480.240.72.该选手选择都在N处放射飞镖得分超过3分的概率为P(BBBBBB)P(BB)P(BB)P(BB)2(1q2)qq0.896.所以该选手选择都在N处放射飞镖得分超过3分的概率大_独立重

11、复试验与二项分布(高频考点)_独立重复试验与二项分布是高中数学的重要内容，也是高考命题的热点，多以解答题的形式呈现，试题难度较大，多为中高档题目高考对独立重复试验与二项分布的考查主要有以下两个命题角度：(1)已知二项分布，求二项分布列；(2)已知随机变量听从二项分布，求某种状况下的概率(2022高考四川卷节选)一款击鼓小玩耍的规章如下：每盘玩耍都需击鼓三次，每次击鼓要么毁灭一次音乐，要么不毁灭音乐；每盘玩耍击鼓三次后，毁灭一次音乐获得10分，毁灭两次音乐获得20分，毁灭三次音乐获得100分，没有毁灭音乐则扣除200分(即获得200分)设每次击鼓毁灭音乐的概率为，且各次击鼓毁灭音乐相互独立(1)

12、设每盘玩耍获得的分数为X，求X的分布列(2)玩三盘玩耍，至少有一盘毁灭音乐的概率是多少？解(1)X可能的取值为10，20，100，200.依据题意，有P(X10)C，P(X20)C，P(X100)C，P(X200)C.所以X的分布列为X1020100200P(2)设“第i盘玩耍没有毁灭音乐”为大事Ai(i1，2，3)，则P(A1)P(A2)P(A3)P(X200).所以“三盘玩耍中至少有一次毁灭音乐”的概率为1P(A1A2A3)11.因此，玩三盘玩耍至少有一盘毁灭音乐的概率是.规律方法(1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验在这种试验中，每一次试验只有两种结果

13、，即某大事要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的(2)二项分布满足的条件：每次试验中，大事发生的概率是相同的各次试验中的大事是相互独立的每次试验只有两种结果：大事要么发生，要么不发生随机变量是这n次独立重复试验中大事发生的次数3.某气象站天气预报的精确率为80%，计算(结果保留到小数点后第2位)：(1)5次预报中恰有2次精确的概率；(2)5次预报中至少有2次精确的概率；(3)5次预报中恰有2次精确，且其中第3次预报精确的概率解：令X表示5次预报中预报精确的次数，则XB，故其分布列为P(Xk)C(k0，1，2，3，4，5)(1)“5次预报中恰有2次精确”的概率为P(X2)C

14、100.05.(2)“5次预报中至少有2次精确”的概率为P(X2)1P(X0)P(X1)1CC10.000 320.006 40.99.(3)“5次预报中恰有2次精确，且其中第3次预报精确”的概率为C0.02.方法思想辨明大事的属性，正确求解概率的综合问题(2022高考山东卷)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其他状况记0分对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C

15、上的概率为，在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响求： (1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；(2)两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望解(1)记Ai为大事“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i0，1，3)，则P(A3)，P(A1)，P(A0)1.记Bj为大事“小明对落点在B上的来球回球的得分为j分”(j0，1，3)，则P(B3)，P(B1)，P(B0)1.记D为大事“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”由题意，DA3B0A1B0A0B1A0B3，由大事的独立性和互斥性，得P(D)P(A3B0A1B0A0B1A0B3

16、)P(A3B0)P(A1B0)P(A0B1)P(A0B3)P(A3)P(B0)P(A1)P(B0)P(A0)P(B1)P(A0)P(B3)，所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.(2)由题意，随机变量可能的取值为0，1，2，3，4，6，由大事的独立性和互斥性，得P(0)P(A0B0)，P(1)P(A1B0A0B1)P(A1B0)P(A0B1)，P(2)P(A1B1)，P(3)P(A3B0A0B3)P(A3B0)P(A0B3)，P(4)P(A3B1A1B3)P(A3B1)P(A1B3)，P(6)P(A3B3).可得随机变量的分布列为：012346P所以数学期望E()012346.

17、名师点评对于概率问题的综合题，首先要精确地确定大事的性质，把问题化归为古典概型、互斥大事、独立大事、独立重复试验四类大事中的某一种；其次推断大事是AB还是AB大事，确定大事至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘大事公式；最终选用相应的求古典概型、互斥大事、条件概率、独立大事、n次独立重复试验的概率公式求解甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床生产的正品率是0.9，乙机床生产的正品率是0.95.(1)从甲机床生产的产品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率(用数字作答)；(2)从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率(用数字作答)解：(1)任取甲机床生

18、产的3件产品中恰有2件正品的概率为pC0.920.10.243.(2)法一：设“任取甲机床生产的1件产品是正品”为大事A，“任取乙机床生产的1件产品是正品”为大事B，则任取甲、乙两台机床生产的产品各1件，其中至少有1件正品的概率为：P(AB)P(A)P(B)0.90.950.90.050.10.950.995.法二：设“任取甲机床生产的1件产品是正品”为大事A，“任取乙机床生产的1件产品是正品”为大事B，运用对立大事的概率公式，可知所求的概率为：1P( )10.10.050.995.1(2021包头模拟)某一批花生种子，假如每1粒发芽的概率为，那么播下3粒这样的种子恰有2粒发芽的概率是()A.

19、B.C. D.解析：选C.用X表示发芽的粒数，独立重复试验听从二项分布XB，P(X2)C.2(2022高考课标全国卷)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A0.8 B0.75C0.6 D0.45解析：选A.已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可依据条件概率公式，得P0.8.3(2021广州调研)设大事A在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若大事A至少发生一次的概率为，则大事A恰好发生一次

20、的概率为()A. B.C. D.解析：选C.假设大事A在每次试验中发生说明试验成功，设每次试验成功的概率为p，由题意得，大事A发生的次数XB(3，p)，则有1(1p)3，得p，则大事A恰好发生一次的概率为C.4从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，大事A“取到的2个数之和为偶数”，大事B“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)()A. B.C. D.解析：选B.P(A)，P(B)，又AB，则P(AB)P(B)，所以P(B|A).5假如XB，则使P(Xk)取最大值的k值为()A3 B4C5 D3或4解析：选D.观看选项，接受特殊值法P(X3)C，P(X4)C，P(X5)C，经比较，P(X3)P

21、(X4)P(X5)，故使P(Xk)取最大值时k3或4.6大事A，B，C相互独立，假如P(AB)，P(C)，P(AB)，则P(B)_，P(B)_解析：由得P(A)，P(B).P(B)P()P(B).答案：7某大厦的一部电梯从底层动身后只能在第18，19，20层停靠，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率都为，用表示5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(4)_解析：考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故B，即有P(k)C，k0，1，2，3，4，5.故P(4)C.答案：8已知甲有5张红卡、2张蓝卡和3张绿卡，乙有4张红卡、3张蓝卡和3张绿卡他们

22、分别从自己的10张卡片中任取一张进行打卡玩耍竞赛设大事A1，A2，A3表示甲取出的一张卡分别是红卡、蓝卡和绿卡；大事B表示乙取出的一张卡是红卡，则下列结论中正确的是_(写出全部正确结论的编号)P(B)；P(A1|B)；大事B与大事A1相互独立；A1，A2，A3是彼此相互独立的大事；A1，A2，A3是两两互斥的大事解析：由于P(B)，所以错误；由于大事B与大事A1相互独立，所以P(A1|B)P(A1)，所以错误，正确；A1，A2，A3是两两互斥的大事，所以错误，正确答案：9抛掷红、蓝两颗骰子，设大事A为“蓝色骰子的点数为3或6”，大事B为“两颗骰子的点数之和大于8”(1)求P(A)，P(B)，P

23、(AB)；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率解：(1)P(A).两颗骰子的点数之和共有36个等可能的结果，点数之和大于8的结果共有10个P(B).当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个，故P(AB).(2)由(1)知P(B|A).10在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题规定每位考生必需且只须在其中选做一题设4名考生选做每一道题的概率均为.(1)求其中甲、乙两名同学选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第22题的同学个数为，求的概率分布列解：(1)设大事A表示“甲选做第21题”，大事B表示“乙选做第21题”，则甲、乙两名

24、同学选做同一道题的大事为“AB”，且大事A、B相互独立故P(AB )P(A)P(B)P()P()(1)(1).(2)随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，且B(4，)则P(k)C()k(1)4kC()4(k0，1，2，3，4)P(0)C()4，P(1)C()4，P(2)C()4，P(3)C()4，P(4)C()4.故变量的分布列为：01234P1某商场为吸引顾客消费推出一项促销活动，活动规章如下：顾客消费额每满100元就可抽一次奖，例如：顾客消费额为299元可抽奖两次，所得奖金金额是两次抽奖获得的奖金金额的和顾客每一次抽奖，得100元奖金的概率为，得50元奖金的概率为，得10元奖金的概率为.

25、(1)假如某位顾客恰好消费了100元，并按规章参与抽奖活动，求该顾客得到的奖金金额不低于20元的概率；(2)假设某位顾客消费额为230元，并按规章参与抽奖活动，所获得的资金金额为X(元)，求X的分布列解：设顾客抽奖一次，获得奖金为100元、50元、10元分别为大事A、B、C，依据题意得P(A)，P(B)，P(C).(1)假如某位顾客恰好消费了100元，依据规章，该顾客可抽一次奖，得到的奖金金额不低于20元为大事“AB”，依据题意得P(AB)P(A)P(B)，该顾客得到的奖金金额不低于20元的概率为.(2)假设某位顾客消费额为230元，由题意，该顾客可抽奖两次，设所获得的奖金金额为X(元)，则X

26、的全部可能取值为：20，60，100，110，150，200.依据题意得：P(X20)P(C)P(C)；P(X60)2P(B)P(C)；P(X100)P(B)P(B)；P(X110)2P(A)P(C)；P(X150)2P(A)P(B)；P(X200)P(A)P(A).故X的分布列为：X2060100110150200P2.(2021四川成都模拟)某人向一目标射击4次，每次击中目标的概率为.该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为136，击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比(1)设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；(2)若目标被击中2次，A表示大事“第一部分至少被击中1

27、次或其次部分被击中2次”，求P(A)解：(1)依题意知XB(4，)，P(X0)C()0(1)4，P(X1)C()1(1)3，P(X2)C()2(1)2，P(X3)C()3(1)1，P(X4)C()4(1)0.即X的分布列为X01234P(2)设Ai表示大事“第一次击中目标时，击中第i部分”，i1，2.Bi表示大事“其次次击中目标时，击中第i部分”，i1，2.依题意知P(A1)P(B1)0.1，P(A2)P(B2)0.3，AA111B1A1B1A2B2，所求的概率为P(A)P(A11)P(1B1)P(A1B1)P(A2B2)P(A1)P(1)P(1)P(B1)P(A1)P(B1)P(A2)P(B

28、2)0.10.90.90.10.10.10.30.30.28.3一个口袋中有2个白球和n个红球(n2，且nN*)，每次从袋中摸出两个球(每次摸球后把这两个球放回袋中)，若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖(1)试用含n的代数式表示一次摸球中奖的概率；(2)若n3，求三次摸球恰有一次中奖的概率；(3)记三次摸球恰有一次中奖的概率为f(p)，当n为何值时，f(p)取最大值？解：(1)一次摸球从n2个球中任选两个，有C种选法，其中两球颜色相同有CC种选法，因此一次摸球中奖的概率为.(2)若n3，则一次摸球中奖的概率为，三次摸球是独立重复试验，三次摸球中恰有一次中奖的概率是C(1)2.(3)设一次摸球中奖的概率是p，则三次摸球恰有一次中奖的概率是f(p)Cp(1p)23p36p23p，0p1.f(p)9p212p33(p1)(3p1)，f(p)在(0，)上是增函数，在(，1)上是减函数，当p时，f(p)取最大值，p(n2，且nN*)，n2.故n2时，f(p)取最大值

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