等腰直角三角形的面积公式.docx

等腰直角三角形的面积公式等腰直角三角形是一种具有一条直角边和两个相等的斜边的三角形。其面积公式可以用不同的方法来推导，以下将介绍两种常见的推导方式。1. 推导方法一：设等腰直角三角形的两个斜边长度均为a，直角边为b，如下图所示：!Trigonometry(以b为底，分别作两条垂线，分割出两个直角三角形，如下图所示：!Trigonometry(由于等腰直角三角形的两个斜边相等，所以可以推导出以下两个等式：1. $a2=b2- (fracb2)2$2. $a2=(fracb2)2+h2$其中，h为等腰直角三角形的高。将上述两个等式相等，得到：$b2- (fracb2)2=(fracb2)2+h2$化简后得到：$h=fracb2$所以，等腰直角三角形的面积为：$S=frac12bh=frac12b cdot fracb2=frac14b2$2. 推导方法二：考虑以等腰直角三角形的斜边为直径作圆，如下图所示：!Trigonometry(圆心为O，直角顶点为A，圆上一点为B。则，角AOB为直角，角A和角B均为$45circ$，因为圆的周角为$360circ$，所以角OAB和角OBA均为$67.5circ$。因此可以用三角函数来表示OA和AB：$OA=asin 67.5circ$AB=acos 67.5circ$等腰直角三角形的面积可以表示为：$S=frac12ab$因为a和b相等，所以可以将上述公式改写为：$S=frac12a2$又因为$a=OA+AB$，所以有：$a=asin 67.5circ+acos 67.5circ$a=a(sin 67.5circ+cos 67.5circ)$a=a(fracsqrt22+fracsqrt22)$a=asqrt2$将a代入等式$S=frac12a2$中，得到：$S=frac12(asqrt2)2=frac12a2$同为$frac12a2$，所以两种推导方式的结果都为：$S=frac14b2$