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等腰直角三角形的面积公式
等腰直角三角形是一种具有一条直角边和两个相等的斜边的三角形。其面积公式可以用不同的方法来推导，以下将介绍两种常见的推导方式。

1. 推导方法一：

设等腰直角三角形的两个斜边长度均为a，直角边为b，如下图所示：

![Trigonometry](

以b为底，分别作两条垂线，分割出两个直角三角形，如下图所示：

![Trigonometry](

由于等腰直角三角形的两个斜边相等，所以可以推导出以下两个等式：

1. $a^2=b^2- (\\frac{b}{2})^2$

2. $a^2=(\\frac{b}{2})^2+h^2$

其中，h为等腰直角三角形的高。

将上述两个等式相等，得到：

$b^2- (\\frac{b}{2})^2=(\\frac{b}{2})^2+h^2$

化简后得到：

$h=\\frac{b}{2}$

所以，等腰直角三角形的面积为：

$S=\\frac{1}{2}bh=\\frac{1}{2}b \\cdot \\frac{b}{2}=\\frac{1}{4}b^2$

2. 推导方法二：

考虑以等腰直角三角形的斜边为直径作圆，如下图所示：

![Trigonometry](

圆心为O，直角顶点为A，圆上一点为B。

则，角AOB为直角，角A和角B均为$45^{\\circ}$，因为圆的周角为$360^{\\circ}$，所以角OAB和角OBA均为$67.5^{\\circ}$。

因此可以用三角函数来表示OA和AB：

$OA=a\\sin 67.5^{\\circ}$

$AB=a\\cos 67.5^{\\circ}$

等腰直角三角形的面积可以表示为：

$S=\\frac{1}{2}ab$

因为a和b相等，所以可以将上述公式改写为：

$S=\\frac{1}{2}a^2$

又因为$a=OA+AB$，所以有：

$a=a\\sin 67.5^{\\circ}+a\\cos 67.5^{\\circ}$

$a=a(\\sin 67.5^{\\circ}+\\cos 67.5^{\\circ})$

$a=a(\\frac{\\sqrt{2}}{2}+\\frac{\\sqrt{2}}{2})$

$a=a\\sqrt{2}$

将a代入等式$S=\\frac{1}{2}a^2$中，得到：

$S=\\frac{1}{2}(a\\sqrt{2})^2=\\frac{1}{2}a^2$

同为$\\frac{1}{2}a^2$，所以两种推导方式的结果都为：

$S=\\frac{1}{4}b^2$