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课时提升作业(三十五)
一、选择题
1.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现预备接受提高售价，削减进货量的方法来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要削减10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )
(A)12元 (B)16元
(C)12元到16元之间 (D)10元到14元之间
2.函数f(x)= +lg(x2-5x+4)的定义域是( )
(A)［0,1) (B)［0,1］
(C)［0,4) (D)(4,+∞)
3.（2021·清远模拟）在R上定义运算*：a*b=ab+2a+b，则满足x*(x-2)<0的实数x的取值范围为( )
(A)（0，2） (B)（-2，1）
(C)（-∞，-2）∪(1,+∞) (D)(-1,2)
4.假如一个钝角三角形的边长是三个连续自然数，那么最长边的长度为( )
(A)3 (B)4 (C)6 (D)7
5.已知函数y=f(x)的图象如图，则不等式f(3x-x2)<0的解集为( )
(A){x|1<x<2} (B){x|0<x<3}
(C){x|x<1或x>2} (D){x|x<0或x>3}
6.已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围
是( )
(A)（2，+∞） (B)(-2,+∞)
(C)(-∞,-3) (D)(-∞,-3)∪(2,+∞)
7.（2021·厦门模拟）对于实数x，当n≤x<n+1(n∈Z)时，规定［x］=n，则不等式4［x］2-36［x］+45<0的解集为( )
(A){x|2≤x<8} (B){x|2<x≤8}
(C){x|2≤x≤8} (D){x|2<x<8}
8.（力气挑战题）已知不等式xy≤ax2+2y2，若对任意x∈［1,2］及y∈［2,3］，该不等式恒成立，则实数a的范围是( )
(A)-≤a≤-1 (B)-3≤a≤-1
(C)a≥-3 (D)a≥-1
二、填空题
9.（2021·广州模拟）不等式x2-(a+1)x+a≤0的解是区间［-4，3］的子集时，a的取值范围是_______.
10.若关于x的不等式ax2-6x+a2<0的解集为(-∞,m)∪(1,+∞)，则m等于______.
11．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，猜想六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是_______．
12.已知f(x)=则不等式x+x·f(x)≤2的解集是_______.
三、解答题
13．已知函数y＝的定义域为R.
（1）求a的取值范围.
（2）若函数的最小值为，解关于x的不等式x2－x－a2-a＜0.
14.（2021·中山模拟）解关于x的不等式x2-a(a+1)x+a3＜0，其中a∈R.
15.(力气挑战题)某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP公司可供选择.公司A每小时收费1.5元；公司B在用户每次上网的第1小时内收费1.7元,第2小时内收费1.6元,以后每小时削减0.1元（若用户一次上网时间超过17小时,按17小时计算）.假设该同学一次上网时间总是小于17小时,那么该同学如何选择ISP公司较省钱？
答案解析
1.【解析】选C.设每件提高x(0≤x≤10)元，即每件获利润（2+x）元，每天可销售（100-10x）件．设每天获得总利润为y元，由题意有y=(2+x)(100-10x)=-10x2+80x+200，
要使每天利润在320元以上，
则有-10x2+80x+200>320，
即x2-8x+12<0，解得2<x<6.
故每件定价在12元到16元之间时，能确保每天赚320元以上.
2.【解析】选A.依题意有解得所以0≤x<1，即函数定义域是［0,1).
3.【解析】选B.由定义可知x*(x-2)=x(x-2)+2x+x-2=x2+x-2，因此不等式x*(x-2)<0即x2+x-2<0，解得-2<x<1.
4.【思路点拨】设出三边的长度，然后由余弦定理，使其最长边所对的角的余弦值小于0即可得到边长的取值范围，再结合边长是自然数得到解.
【解析】选B.设三角形的三边长分别为n-1,n,n+1(n>1)，则n+1对的角为钝角，所以(n-1)2+n2<(n+1)2，解得0<n<4，所以n=2,3.当n=2时，三边长为1，2，3,1+2=3,不符合题意．当n=3时，三边长为2,3,4符合题意.故最长边的长度为4.
5.【解析】选A.由图象可知，当x>2时，f(x)<0，所以由f(3x-x2)<0，得3x-x2>2，解得1<x<2，即解集为{x|1<x<2}.
6.【解析】选A.原不等式等价于(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0对一切实数恒成立，明显a＝－2时，解集不是R，不合题意，从而有
解得
所以解得a＞2.
故a的取值范围是(2，＋∞)．
7.【思路点拨】先利用换元法将不等式化为一元二次不等式，求得［x］的范围，再结合［x］的含义得出x的范围.
【解析】选A.令t=［x］，则不等式化为4t2-36t+45<0，解得，而t=［x］，所以，由［x］的定义可知x的取值范围是2≤x<8，即不等式解集为{x|2≤x<8}.
8.【思路点拨】将参数a分别到不等式的一边，然后求不等式另一边的最大值，令通过换元，转化为二次函数在闭区间上的最值问题.
【解析】选D.由xy≤ax2+2y2可得a≥，令t=，g(t)=-2t2+t,由于x∈［1,2］,y∈［2,3］，所以t∈［1,3］，于是g(t)=-2t2+t=-2(t-)2+，因此g(t)的最大值为g(1)=-1，故要使不等式恒成立，实数a的范围是a≥-1.
【方法技巧】换元法的妙用
本题中涉及三个变量，但通过分别变量，将不等式的一边化为只含有x,y两个变量的式子，然后通过换元法求出该式的最值，从而得到参数a的取值范围.其中换元法起到了关键作用，一般地，形如a［f(x)］2+bf(x)+c的式子，不论f(x)的具体形式如何，都可接受换元法，将其转化为二次函数、二次不等式或二次方程加以解决，但留意的是换元后确定要留意新元的取值范围.
【变式备选】若不等式a·4x-2x+1>0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是__________．
【解析】不等式可变形为a>
令()x=t，则t>0，
且y=()x-()x=t-t2=-(t-)2+，因此当t=时，y取最大值，故实数a的取值范围是a>.
答案：a>
9.【解析】原不等式可化为(x-a)(x-1)≤0，当a＜1时，不等式的解集为［a,1］，此时只要a≥-4，即-4≤a＜1；当a=1时，不等式的解为x=1，此时符合要求；当a＞1时，不等式的解集为［1,a］，此时只要a≤3，即1＜a≤3.综合上述三种状况得-4≤a≤3.
答案：［-4,3］
10.【解析】由已知可得a<0且1和m是方程ax2-6x+a2=0的两根，于是a-6+a2=0，解得a=-3，或a=2（舍），代入得-3x2-6x+9=0，
所以方程另一根为-3，即m=-3.
答案：-3
11．【思路点拨】把一到十月份的销售额相加求和，列出不等式，求解．
【解析】七月份：500(1+x%)，八月份：500(1+x%)2．
所以一至十月份的销售总额为：
3 860+500+2［500(1+x%)+500(1+x%)2］≥7 000，解得1+x%≤-2.2（舍）或1+x%≥1.2,
∴xmin=20.
答案：20
12.【解析】原不等式等价于解得0≤x≤1或x<0，即不等式解集为(-∞,1］.
答案：(-∞,1］
13．【解析】（1）∵函数y＝的定义域为R，
∴ax2+2ax+1≥0恒成立.
当a=0时，1≥0，不等式恒成立；
当a≠0时，则解得0<a≤1.
综上，0≤a≤1.
（2）由于函数的最小值为，所以g(x)=ax2+2ax+1的最小值为，因此解得a=，于是不等式可化为x2-x-<0，即4x2-4x-3<0，解得-<x<，故不等式x2－x－a2-a＜0的解集为{x|-<x<}.
14.【解析】原不等式可化为（x-a）(x-a2)＜0.
当a＜a2，即a＞1或者a＜0时，不等式的解集为(a,a2);
当a=a2，即a=0或者a=1时，不等式的解集为;
当a＞a2，即0＜a＜1时，不等式的解集为(a2,a).
15.【解析】假设一次上网x（x＜17)小时,则公司A收取的费用为1.5x元,
公司B收取的费用为1.7+(1.7-0.1)+(1.7-0.2)+…+［1.7-(x-1)×0.1］=（元）.
由 (0＜x＜17),
整理得x2-5x＜0,解得0＜x＜5,
故当0<x<5时，A公司收费低于B公司收费，当x=5时,A，B两公司收费相等，当5<x<17时，B公司收费低，
所以当一次上网时间在5小时以内时,选择公司A的费用少；为5小时时，选择公司A与公司B费用一样多；超过5小时小于17小时,选择公司B的费用少.
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