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第4讲 三角函数的图象与性质
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2021·石家庄模拟)函数f(x)＝tan的单调递增区间是 ( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析 当kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)时，函数y＝tan单调递增，解得－＜x＜＋(k∈Z)，所以函数y＝tan的单调递增区间是(k∈Z)，故选B.
答案 B
2．(2022·新课标全国Ⅰ卷)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的全部函数为 ( )
A．①②③ B．①③④
C．②④ D．①③
解析 ①y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期为π；
②由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π；
③y＝cos的最小正周期T＝＝π；
④y＝tan的最小正周期T＝，因此选A.
答案 A
3．(2022·云南统一检测)已知函数f(x)＝cos23x－，则f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ( )
A. B. C. D.
解析 由于f(x)＝－＝cos 6x，所以最小正周期T＝＝，相邻两条对称轴之间的距离为＝，故选C.
答案 C
4．已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)是偶函数，则θ的值为 ( )
A．0 B. C. D.
解析 据已知可得f(x)＝2sin，若函数为偶函数，则必有θ＋＝
kπ＋(k∈Z)，又由于θ∈，故有θ＋＝，解得θ＝，经代入检验符合题意．
答案 B
5．(2021·金华十校模拟)关于函数y＝tan，下列说法正确的是 ( )
A．是奇函数
B．在区间上单调递减
C.为其图象的一个对称中心
D．最小正周期为π
解析 函数y＝tan是非奇非偶函数，A错误；在区间上单调递增，B错误；最小正周期为，D错误．∵当x＝时，tan＝0，∴为其图象的一个对称中心，故选C.
答案 C
二、填空题
6．函数y＝cos的单调减区间为________．
解析 由y＝cos＝cos得2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，故kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数的单调减区间为(k∈Z)．
答案 (k∈Z)
7．函数y＝lg(sin x)＋的定义域为________．
解析 要使函数有意义必需有
即解得
∴2kπ＜x≤＋2kπ(k∈Z)，
∴函数的定义域为.
答案 (k∈Z)
8．函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为________．
解析 y＝sin2x＋sin x－1，令t＝sin x，t∈[－1，1]，则有y＝t2＋t－1＝－，
画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t＝－及t＝1时，函数取最值，代入y＝t2＋t－1，
可得y∈.
答案
三、解答题
9．已知函数f(x)＝，求f(x)的定义域，推断它的奇偶性，并求其值域．
解 由cos 2x≠0得2x≠kπ＋，k∈Z，
解得x≠＋，k∈Z，
所以f(x)的定义域为.
由于f(x)的定义域关于原点对称，
且f(－x)＝
＝＝f(x)．
所以f(x)是偶函数，
当x≠＋，k∈Z时，
f(x)＝＝
＝＝3cos2x－1.
所以f(x)的值域为.
10．(2022·天津卷)已知函数f(x)＝cos x·sin－cos2x＋，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值．
解 (1)由已知，得
f(x)＝cos x·－cos2x＋
＝sin x·cos x－cos2x＋
＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋
＝sin 2x－cos 2x
＝sin.
所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由于f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数．
F ＝－，f ＝－，f ＝.
所以，函数f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为－.
力气提升题组
(建议用时：25分钟)
11．已知函数f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在区间上的最小值是－2，则ω的最小值等于 ( )
A. B. C．2 D．3
解析 ∵f(x)＝2sin ωx(ω＞0)的最小值是－2，此时ωx＝2kπ－，k∈Z，∴x＝－，k∈Z，∴－≤－≤0，k∈Z，∴ω≥－6k＋且k≤0，k∈Z，∴ωmin＝.
答案 B
12．(2022·成都诊断)若f(x)＝3sin x－4cos x的一条对称轴方程是x＝a，则a的取值范围可以是 ( )
A. B.
C. D.
解析 由于f(x)＝3sin x－4cos x＝5sin(x－φ)，则sin(a－φ)＝±1，所以a－φ＝kπ＋，k∈Z，即a＝kπ＋＋φ，k∈Z，而tan φ＝且0＜φ＜，所以＜φ＜，所以kπ＋＜a＜kπ＋π，k∈Z，取k＝0，此时a∈，故选D.
答案 D
13．已知定义在R上的函数f(x)满足：当sin x≤cos x时，f(x)＝cos x，当sin x＞cos x时，f(x)＝sin x.
给出以下结论：
①f(x)是周期函数；
②f(x)的最小值为－1；
③当且仅当x＝2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值；
④当且仅当2kπ－＜x＜(2k＋1)π(k∈Z)时，f(x)＞0；
⑤f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是2π.
其中正确的结论序号是________．
解析 易知函数f(x)是周期为2π的周期函数．
函数f(x)在一个周期内的图象如图所示．
由图象可得，f(x)的最小值为－，当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时，
f(x)取得最小值；当且仅当2kπ－＜x＜(2k＋1)π(k∈Z)时，f(x)＞0；f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是2π.
所以正确的结论的序号是①④⑤.
答案 ①④⑤
14．(2021·武汉调研)已知函数f(x)＝a＋b.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；
(2)若x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5，8]，求a，b的值．
解 f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b
＝asin＋a＋b.
(1)当a＝－1时，f(x)＝－sin＋b－1，
由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
(2)∵0≤x≤π，
∴≤x＋≤，
∴－≤sin≤1，依题意知a≠0.
(ⅰ)当a＞0时，∴a＝3－3，b＝5.
(ⅱ)当a＜0时，∴a＝3－3，b＝8.
综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.
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