2021届高三数学第一轮复习北师大版素能提升训练-4-2-Word版含解析.docx

由“平方”产生增解而致误
[典例]　(2022·九江调研)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝，则tanθ的值为(　　)
A．－或－　　　　　　 B．－
C．－ D．－
[审题视角]　由sinθ＋cosθ＝两边平方扩大了θ的取值范围引起增解．
[解析]　解法一：由sinθ＋cosθ＝两边平方得sinθ·cosθ＝－，由sinθ·cosθ＝＝＝－，
解得tanθ＝－或tanθ＝－，
由于θ∈(0，π)，0<sinθ＋cosθ＝(－1)<1，
∴θ∈(，π)，|sinθ|>|cosθ|.
∴|tanθ|>1，即θ∈(，π)
∴tanθ<－1，tanθ＝－，舍去．
故tanθ＝－.
解法二：由sinθ＋cosθ＝，
两边平方得sinθ·cosθ＝－，
∴(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθ·cosθ，
＝1＋＝＝()2.
∵θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝(－1)<1，
∴θ∈(，π)．∴sinθ－cosθ>0.
∴sinθ－cosθ＝.
由
得sinθ＝，cosθ＝－.
∴tanθ＝－.
[答案]　C

已知sinθ±cosθ及θ的范围求值时，若使用平方处理往往会由于扩大角的范围而产生增解，对于sinθ＋cosθ在各象限的取值范围，可结合下列图像记忆．

1．(2022·泰安模拟)已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，则tanθ＝________.
解析：方法一：由于sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝，所以sinθcosθ＝－.
由根与系数的关系，知sinθ，cosθ是方程x2－x－＝0的两根，所以x1＝，x2＝－.
又sinθcosθ＝－<0，
所以sinθ>0，cosθ<0.
所以sinθ＝，cosθ＝－.
所以tanθ＝＝－.
方法二：同方法一，得sinθcosθ＝－，
所以＝－.
齐次化切，得＝－，
即60tan2θ＋169tanθ＋60＝0，
解得tanθ＝－或tanθ＝－.
又θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝>0，sinθcosθ＝－<0.
所以θ∈(，)，所以tanθ＝－.
答案：－
2．(2022·辽宁)已知sinα－cosα＝，α∈(0，π)，则tanα＝(　　)
A．－1　　　　　　　　　　　B．－
C. D．1
解析：由题意知，sinα－cosα＝，sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝2，sin2α＝－1，∵α∈(0，π)．
∴2α∈(0,2π)，∴2α＝π，α＝π，
∴tanα＝tanπ＝－1.
答案：A