2021届高三数学第一轮复习北师大版素能提升训练-9-2-Word版含解析.docx

巧做对称点，妙解几何题
[典例]　(2022·正定模拟)已知两点A(2,3)、B(4,1)，直线l：x＋2y－2＝0，在直线l上求一点P.
(1)使|PA|＋|PB|最小；(2)使|PA|－|PB|最大．
[审题视角]　当A、B在直线l的同侧，A点关于l的对称点A1，直线A1B与l的交点P使|PA|＋|PB|最小．直线AB与l的交点P使|PA|－|PB|最大．当A、B在直线l的异侧，直线AB与l的交点P使|PA|＋|PB|最小．A点关于l的对称点A1，直线A1B与l的交点P使|PA|－|PB|最大．
[解析]　(1)可推断A、B在直线l的同侧，设A点关于l的对称点A1的坐标为(x1，y1)．
则有解得
由两点式求得直线A1B的方程为y＝(x－4)＋1，直线A1B与l的交点可求得为P(，－)，它使|PA|＋|PB|最小．
(2)由两点式求得直线AB的方程为y－1＝－(x－4)，即x＋y－5＝0.
直线AB与l的交点可求得为P(8，－3)，它使|PA|－|PB|最大．

很多问题都隐含着对称性，要留意深刻挖掘，充分利用对称变换来解决，如角平分线、线段中垂线、光线反射等，恰当地利用平面几何的学问对解题能起到事半功倍的效果．

1．光线从A(－4，－2)点射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1,6)，求BC所在的直线方程．
解：作出草图，如图所示．设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，则易得A′(－2，－4)，D′(1,6)．由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与点C.

故BC所在的直线方程为＝，即10x－3y＋8＝0.